Dang bai tap cuc tri co tham so 0ccgf

CỰC TRỊ CÓ THAM SỐ I Phương pháp giải Điều kiện cần để hàm số có cực trị Giả sử hàm số f đạt cực trị tại điểm 0x Khi đó, nếu f có đạo hàm tại 0x thì  0 0f x  Điều kiện đủ để hàm số có cực trị có h[.]

CỰC TRỊ CÓ THAM SỐ

I Phương pháp giải

Điều kiện cần để hàm số có cực trị

Giả sử hàm số f đạt cực trị tại điểm x0

Khi đó, nếu f có đạo hàm tại x0 thì f x0  0

Điều kiện đủ để hàm số có cực trị: có hai dấu hiệu:

- Cho y f x  liên tục trên khoảng (a;b) chứa x0, có đạo hàm trên các khoảng a x; 0 và

x b0 ; :

Nếu f x đổi dấu từ âm sang dương thì f đạt cực tiểu tại x0

Nếu f x đổi dấu từ dương sang âm thì f đạt cực đại tại x0

- Cho y f x  có đạo hàm cấp hai trên khoảng (a;b) chứa x0:

Nếu f x0  0 và f x0  0 thì f đạt cực tiểu tại x0

Nếu f x0  0 và f x0  0 thì f đạt cực đại tại x0

Chú ý:

1) Hàm số f có thể đạt cực đại hoặc cực tiểu tại nhiều điểm trên tập hợp D, nhưng

không đạt tại các biên

2) Tung độ cực trị y f x  tại xx0 có 3 hướn tính:

Hàm số bất kỳ: dùng phép thế y0  f x 0

Hàm đa thức: chia đạo hàm yq x y   r x  y0 r x 0

Hàm hữu tỉ: đạo hàm riêng tử, riêng mẫu

  u x   

y f x

v x

 0    0 0

u x u x y

v x v x





Đặc biệt: Với hàm bậc 3 có CĐ, CT và nếu y f x q x y   r x  thì phương trình đường thẳng qua CĐ, CT là yr x 

II Ví dụ minh họa

Bài toán 1 Tìm m để hàm số:  2  3 2

y  m  m x  mx  x đạt cực đại tại x 1

Giải

D Ta có  2  2

y   m  m x  mx

Nếu hàm số đạt cực đại tại x 1 thì y 1  0

3m 3m 6 0 m 1

      hoặc m  2

y   m  m x m

Thử lại:

Với m 1 thì y   36x 12 nên y 1    24 0, hàm số đạt cực đại tại x 1

Với m  2 thì y  36x 24 nên y 1  12  0, hàm số đạt cực tiểu tại x 1 (loại)

Vậy với m 1 thì hàm số đạt cực đại tại x 1

Bài toán 2 Tìm m để hàm số: 2  

y

x m



 đạt cực tiểu tại x0

Giải

 

\

D m Ta có

2

y

x m

 



Nếu hàm số đạt cực tiểu tại x 0 thì

y   m      m m hoặc m 2

Thử lại:

Với m  1 thì

 

2

2

Do đó

 3  

2

1

x

        

Với m 2 thì

2

2

x x

Do đó

 3  

8

0 1 0 2

x

 nên x0 là điểm cực tiểu của hàm số Vậy giá trị cần

tìm m 2

Bài toán 3 Tìm hàm số   3 2

f x ax bx cxd sao cho hàm số f đạt cực tiểu tại điểm

 

0, 0 0

x f  và đạt cực đại tại điểm x 1, f  1  1

Giải

Ta có   2

f x  ax  bxc Vì f  0  0 nên d 0 Hàm số đạt cực tiểu tại điểm x 0 nên

 0 0

f  do đó c 0

Vì f  1  1 nên a b  1 Hàm số đạt cực đại tại điểm x 1 nên f 1  0 do đó 3a 2b 0



Thử lại:   3 2   2  

f x   x  x f x   x  x f x   x

 0 6 0

f   Hàm số đạt cực tiểu tại điểm x 0: thỏa mãn

 1 6 0

f    Hàm số đạt cực đại tại điểm x 1: thỏa mãn

Bài toán 4 Tìm các số thực p và q sao cho hàm số  

1

q

f x x p

x

  

 đạt cực đại tại điểm

  2; 2

Giải

Ta có  

 2

1

q

f x

x

  

 với mọi x 1

Nếu q 0 thì f x  0 với mọi x  1 Hàm số không có cực đại, cực tiểu: loại

Nếu q 0 thì phương trình:  

 

2

2

2 1

0 1

f x

x

  

 có hai nghiệm phân biệt x1    1 q

và x2    1 q

BBT:

y Hàm số đạt cực đại tại điểm 2; 2   khi và chỉ khi

 

1

p

       

Bài toán 5 Tìm a để đồ thị hàm số 1 2 1 2

7

y x  ax  x có 2 cực trị và hoành độ 2 điểm cực trị của hàm số đó thỏa mãn

2 2

1 2

2 2

2 1

7

x x

x  x 

Giải

D Ta có 2

1

y x ax

Vì y là hàm số bậc hai nên hàm số có 2 cực trị khi và chỉ khi y x  0 có hai nghiệm

         hoặc a 2

Gọi x1 và x2 là hai nghiệm của y x  0 thì S x1 x2  a P, x x1 2  1

Ta có:

2 2

 

2

2

P

Chọn giá trị a  5 hoặc a 5

Bài toán 6 Tìm m để hàm số:

y

x m



 có hai điểm cực trị nằm về hai phía

của trục Oy

Giải

Điều kiện xm Ta có

2

y

x m

 



Đồ thị có 2 cực trị ở 2 phía của trục tung

0

y

  có 2 nghiệm x x1, 2 m và x x1 2 0

      

Bài toán 7 Tìm m để hàm số: 2  

1

y

x



 có 2 cực trị và hai giá trị cực trị

trái dấu

Giải

Điều kiện: x 1

Ta có

 

2

2

1

y

x

 

 , đặt   2

g x mx  mx

Đồ thị có 2 cực trị    m 0,  0,g x     0 m 3 hoặc m 0

Ta có x1 x2 2,x x1 2 3

m

    nên y CĐ.y CT  0

2mx1 2 4m2mx2 2 4m 0

2

4m x x 2m 2 4m x x 2 4m 0

5

Bài toán 8 Tìm m để đồ thị 2   2

2

y

x



 có cực đại và cực tiểu, đồng thời

các điểm cực trị cùng với gốc tọa độ tạo thành tam giác vuông tại O

Giải

Điều kiện x  2,

2

2

y

x

  

 



 2 2

y   x m    x m

Hàm số có 2 cực trị khi m 0 là: A  2 m; 2 ,   B   2 m m;4  2

Tam giác OAB vuông tại O OAOB  0

4 2 6

m

    (thỏa mãn)

Bài toán 9 Tìm m để đồ thị hàm số: 3 2

yx  x mx có cực đại, cực tiểu và hai điểm

đó cách đều đường thẳng d y:   2x

Giải

D Ta có 2

y  x  xm Điều kiện có CĐ và CT là     9 3m   0 m 3

y x y  m x m

d y  m x m

Điều kiện CĐ, CT cách đều d y:   2x là d hoặc song song với d hoặc d đi qua trung điểm I1;m 1 của đoạn nối CĐ, CT

     

  hoặc m  1 2.1 m 0 hoặc m 1 (chọn)

Bài toán 10 Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị:

yx  mx  m  xm  m

Giải

Tập xác định D

y  x  mx m       x nên đồ thị luôn luôn có CĐ và CT với hoành độ x x1, 2 Lấy y x  chia cho y x  ta có:   1    

2

m

y x   x  y x  xm

Do đó: 1  1 1   1 1   1 

1

m

y  y x   x   y x  x m   x m

và 2  2 2   2 2   2 

1

m

y  y x   x   y x  x m   x m

nên đường thẳng qua CĐ, CT là y  2xm