Dang bai tap cac yeu to cua so phuc 1ld0f

CÁC YẾU TỐ CỦA SỐ PHỨC I Phương pháp giải  Số phức (dạng đại số) z a bi  ( ,a b ,i là đơn vị ảo, 2 1i   ) Gọi a là phần thực, b là phần ảo của z z là số thực phần ảo của z bằng 0 z a  z là số[.]

CÁC YẾU TỐ CỦA SỐ PHỨC

I Phương pháp giải

 Số phức (dạng đại số): z a bi  ( a b,  ,i là đơn vị ảo, i2  1)

Gọi a là phần thực, b là phần ảo của z

z là số thực phần ảo của z bằng 0  z a

z là số ảo  phần thực của z bằng 0  z bi

0

z là số phức duy nhất vừa là số thực vừa là số ảo

z là số thực  z z ; z là số ảo  z z

 Số phức liện hiệp của số phức: z a bi a b   ,   là z a bi 

Kết quả z z z z z z zz z z ;       ;  

 Môn đun của số phức: z a bi a b   ,  

2 2

z  a b  zz

Kết quả

; z z z; z

zz z z

z z z z



  

 

     

 

Chú ý

1) z2 z z2; 2 z2  z là số thực

2) z  0với mọi z và z    0 z 0

3) z z    z z với mọi z z, 

4) Để kiểm tra số phức là số thực hay số ảo, ngoài cách tính ra cụ thể phần thực, phần

ảo thì ta có thể tìm số phức liên hiệp của nó rồi so sánh

II Ví dụ minh họa

Bài toán 1 Tìm số phức liên hiệp z và z tính với:

a) z   2 i 3

b) z 2 2  i

Giải

a) z   2 i 3 nên số phức liên hiệp z   2 i 3 và môđun z  a2 b2  4 3   7

b) z 2 2  i nên số phức liên hiệp z 2 2  i và môđun z  2 4   6

Bài toán 2 Tìm phần ảo của số phức z biết   2 

z i  i

Giải

2 1 2 2 2 2 1 1 2

z i  i   i  i

1 2 2 1i  i 2 1 4 2 2i i 2 5 2i

Do đó z  5 2i Vậy phần ảo của z là  2

Bài toán 3 Tìm phần thực và phần ảo của số phức

3

1

  

  



i z

i

Giải

 

3 3

3

1 3

1 3



  

   

i i

z

2 3

1 3 3

1 3 3

  

  

i i i

   

2

4 1 4 1

i



Vậy phần thực 2 và phần ảo 2

Bài toán 4 Tìm môđun của số phức z biết: 2 1 1z    i  z 1 1   i 2 2i

Giải

Đặt z x yi x y  , , 

Ta có 2 1 1z    i  z 1 1   i 2 2i

 

2 x yi 1 1   i x yi 1 1 i 2 2i

2x 1 yi  1 i x 1 yi 1 i 2 2i

2x 2y 1 2x 2y 1 i x y 1 x y 1i 2 2i

3x 3y x y 2i 2 2i

1

3

x

x y







   



Do đó 1 1

3 3

z  i Vậy môđun 2

3

z 

Bài toán 5 Cho số phức z thỏa mãn 4

1

z

 Tính 1 1 i z  

Giải

Đặt z a bi a b   ,  

1

z

          



2, 1 1

a b

b a

         



       

Với a 1,b  2 thì: 1 1   i z    1 1 i 1 2  i  3i  3

Với a  2,b 1 thì: 1 1   i z    1 1 i      2 i 3i 3

Bài toán 6 Cho z2a  1 3b 5i với a b, 

Tìm các số a, b để z là số thực

Tìm các số a, b để z là số ảo

Giải

a) z là số thực 3 5 0 5

3

     

b) z là số ảo 2 1 0 1

2

Bài toán 7 Hỏi mỗi số sau đây là số thực hau số ảo với z là số phức tùy ý cho trước sao cho biểu thức xác định:

a)  2

2

z  z

b)

 3

3

z z

z z





Giải

Ta tính các số phức liên hiệp:

a)  2 2  2

z  z z z z  z Vậy  2

2

z  z là số thực

b)

3

z z

z z



 là số ảo

Bài toán 8 Chứng minh rằng hai số phức phân biệt z1, z2 thỏa mãn điều kiện z1  z2 khi

và chỉ khi 1 2

1 2

z z

z z



 là số ảo

Giải

Với điều kiện z z1 2 ta có:

1 2

1 2

z z

z z



 là số ảo 11 22 11 22

z z z z

z z z z

   

z z z z1 2 1 2 z z z z1 2 1 2 0 2z z z z1 1 2 2 0 z1 z2

Bài toán 9 Tìm số phức z thỏa mãn từng trường hợp:

a) iz   2 i 0

b) 2 3  i z z   1

Giải

a) Ta có: iz 2 i 0 iz i 2 z 2 i 1 2i

i

 

         

Vậy z  1 2i

b) Ta có: 2 3  i z z     1 1 3i z   1

i

i

  



Bài toán 10 Tìm số phức z thỏa mãn:

a) z 2 3i z   1 9i

b)  2 2  2

z i  z  z i

Giải

a) Đặt z x yi x y  , , 

Ta có: z 2 3i z    1 9i x yi    2 3i x yi    1 9i

 x 3y 3x 3y i 1 9i

     

  Kết quả z 2 i

b) Đặt z x yi x y  , ,   Khi đó  2 2  2

z i  z  z i

 

 2    2  

x  y  x y i x y  x  y  x y i



 

   



2 3 7 0

x y



 

 



 

2

0

2 10 21 0 0

x

 



      

497 4 497

     

Vậy 497 7

36 3

z  i

Bài toán 11 Cho số phức z thỏa mãn

1 3

1

i z

i





 Tìm môđun của số phức z iz

1

i

i



 Tìm môđun của số phức w z  1 i

Giải

a) Ta có  3

3

1 3 1 3 3 9 3 3

z

1 3 3 9 3 3 8 4 4

  nên z  4 4i

Do đó z iz       4 4i i 4 4i        4 4 4 4i i 8 8i

Suy ra z iz  8 2

b) Ta có  2 2 1 2  7 8    2 3 7 8

1

i

i





 2 4 7 4 7 3 2

2

i

i





Do đó w z     1 i 4 3i

Kết quả w 5 

Bài toán 12 Cho số phức z thỏa mãn:

a) 5 

2 1

z i

i z



 

 Tính môđun của số phức

2

1

w  z z

b) (1 )( 1) 2 i z  z 2 i Tính môđun của số phức w z2 12z

z

Giải

a) Đặt z x yi x y  , , 

5x 5 y 1 i 2 i x 1 yi

3x y 2 x 7y 6i 0

     

Do đó z  1 i nên có: 2  2

w  z z     i i   i

Kết quả w   2 3i  13

b) Ta có   1 1 2 2  3 1 3 1 3

3

i

i

 



Do đó: w z 2 12z i 2 12i 1 3i w 10

    

Bài toán 13 Tìm số phức z thỏa mãn:

a) z 1 1

z i

 

 và z 3i  z i

b) z  5và phần thực của z bằng hai lần phần ảo của nó

Giải

a) Đặt z x yi  với x y, 

Ta có z 3i  z i

       2 2

nên z 1 1 z 1 z i x 1 i x x 12 1 x2 x 1

z i

               



Vậy z  1 i

b) Giả sử z a bi  , với a b, 

Ta có:

2 2



 

2 5 5

a b

 









Vậy có hai số phức cần tìm:

z  i z i

Bài toán 14 Tìm số phức z thỏa mãn

a) z  2 và z là số ảo

b) z  2 và z 2 thuần ảo

Giải

a) Giả sử z a bi  , với a b, 

Ta có:

2 2

2

b

 

Vậy có 2 số phức: z  2i

b) Gọi z x yi  với x y,  thì z2 x2 y2 2xyi

z 2 thuần ảo nên x2y2   0 x y hay x y

Ta có: z  2 x2y2  2 2x2    2 x 1

Vậy có 4 số phức z  1 ,i z   1 i

Bài toán 15 Tìm số phức z thỏa mãn

a) z z    1 i 5 và 2 z  1 z có là số ảo b) 2z i   z z 2i và 2 z  1 z là số thực

Giải

a) Đặt z x yi x y  , , 

Khi đó: z z    1 i 5   1 2 y 1i  5

 2

3 2

1 2 1 5

1 2

y y

y







     

  



mà: 2 z i z    2 xyi x    1 y i

   

x 2 x y 1 y   2 x 1 y xy i

nên 2 z  1 z là số ảo khi và chỉ khi phần thực: x2 x  y 1 y  0

Với 3

2

y ,ta có 2

1

2

x

x x

x







    

  



2

y  , ta có 2

1

2

x

x x

x







    

  



z  i z   i z  i z   i

b) Đặt z x yi x y  , ,  Khi đó

2z i   z z 2i  2x y 1 i  2y 2 i

 

4 x y 1 2y 2 x 4y

Ta có 2 z i z    2 xyi x    1 y i

   

x 2 x y 1 y   2 x 1 y xy i

nên2 z  1 z là số thực khi và chỉ khi phần ảo

2 x 1  y xy   0 x 2y  2 2x 4y  4 x2  2x  4 0

2

x   y  hay 1 5, 3 5

2

x   y 

z     i z     i

Bài toán 16 Tìm số phức z thỏa mãn

a) z 3i   1 iz và z 9

z

 là số ảo b) z i  2 và  z i z i   là số thực

Giải

a) Đặt z a bi a b  , ,  

Ta có z 3i      1 iz a b 3i   1 i a bi  

 3 1

     2 2 2

5 2 26

9 2

a i



9

z

z

 là số ảo khi và chỉ khi a3 5a   0 a 0,a  5

Vậy các số phức cần tìm là z 2 ,i z 5 2 ,  i z  5 2  i

b) Giả sử z x yi x y  , , 

Ta có  z i z i   x  1 yi x     y 1 ix x      1 y y  1 x y  1i

Suy ra  z i z i   là số thực    x y 1 0

z i  x  y   x    x

Do đó x 1,y 0 hoặc x  1,y 2

Vậy z 1,z   1 2i

Bài toán 17 Giả sử z1, z2 là hai nghiệm phương trình 6z i   2 3iz và thỏa mãn

1 2

1

3

z z  .Tính z z1 2

Giải

Gọi z x yi x y  , , 

Ta có 6z i   2 3iz  6x6y 1 i  2 3  y 3xi

  2  2   2 2

6x 6y 1 2 3y 3x

Suy ra 1 2 1

3

z  z 

z z  z z z z  z  z  z z z z

Mà 1 2 1

3

1

9 z z  z z z z 

9 z z z z z z 9 z z z z z z z z 9

nên 2 2 2  

2 1 1

9 9 3

z z  z  z  z z z z   

Vậy 1 2 1

3

z z 

Bài toán 18 Giả sử z1, z2 là các số phức thỏa mãn z12z22 z z1 2

Tính 1 2

z z

z z





Giải

z z z z z z z z  z z z  z

1  2  1 2  2 1  2  1  2 1  2  1

z z z z z z z z z z z z

Do đó

nên z z1 2  z1  z2

Vậy 1 2

1 2

z z

z z







Bài toán 19 Trong tất cả các số phức z thỏa mãn 1 3

2

z z

z    ,hãy tìm số phức có môđun nhỏ nhất

Giải

Đặt z x yi x y   ,  

2

z z

z     x yi  x

 2 2  2 2

z  x y  x  x  x  

Dấu = bằng xảy ra khi x    2 y 0

Vậy số phức z  2