Dang bai tap cac phep toan tren so phuc 0trwv

CÁC PHÉP TOÁN TRÊN SỐ PHỨC I Phương pháp giải  Tập hợp số phức  Số phức (dạng đại số) z a bi  ( ,a b ,i là đơn vị ảo, 2 1i   ) Gọi a là phần thực, b là phần ảo của z  Hai số phức bằng nhau  [.]

CÁC PHÉP TOÁN TRÊN SỐ PHỨC

I Phương pháp giải

 Tập hợp số phức:

 Số phức (dạng đại số): z a bi  ( a b,  ,i là đơn vị ảo, i2  1)

Gọi a là phần thực, b là phần ảo của z

 Hai số phức bằng nhau

a bi a b i a b a b         a a b b  

 Cộng, trừ số phức, nhân hai số phức:

a bi   a b i     a a   b b i 

a bi   a b i     a a   b b i 

a bi a b i       aa bb    ab ba i a b a b    , , ,    

 Số phức liên hiệp của số phức: z a bi a b   ,   là z a bi 

Kết quả z z z z z z zz z z ;       ;  

 Môn đun của số phức: z a bi z b   ,  

2 2

/ /z  a b  zz

 Số phức nghịch đảo của số phức z   1

2

0 :



 Chia hai số phức: Phép chia của z cho z 0:z z z. 1 z z z z2

 Với hai số phức z a bi  và z a b i      0 thì có:  2 2  2  2

      

z aa bb i a b ab i

Chú ý

1 i2   1,i3 i i2  i i, 4 i i2 2  1, , tổng quát

4m 1, 4m 1 , 4m 2 1, 4m 3 1

i  i  i i    i   

2 Do đó các tính chất giao hoán, kết hợp của phép nhân, tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng nên phép nhân hai số phức được thực hiện theo quy tắc đa thức thông thường

3 Tách các lũy thừa bậc bao về tích các lũy thừa bậc thấp và có :

1 i     1 i 2 2 ; 1i i i      1 i 2i 2i

4 Công thức tính tổng các cấp số nhân:

1

1

n n

q

q





II Ví dụ minh họa

Bài toán 1 Thực hiện phép tính

a) z 3 4i   9 2i

b) z   2 5i  11 3  i

Giải

a) Ta có: z 3 4i   9 2i     3 9 4 2 12 2i i  i

b) Ta có: z   2 5i  11 3  i        2 11 5 3i i 13 8i

Bài toán 2 Thực hiện phép tính:

a) z2 4 3 5  i  i  7 4 3  i

z  i   i  i

Giải

a) Ta có: z2 4 3 5  i  i  7 4 3  i  6 10 12 20i i i2  28 21  i

6 10 12 2 28 21 54 19i i i i

z  i   i  i   i i    i i i

              

Bài toán 3 Thực hiện phép tính

a)  3

2 3

z  i

4 5 4 3

z  i   i 

Giải

z  i   i i  i

8 36 54 27i i 46 9i

      

b) Ta có      5 5 5 5  2 2

z   i   i   i  i  i i  i

Bài toán 4 Thực hiện phép tính

a)  12

1

z i

b)  2015

1

z i

Giải

a) Ta có  12  2 6  6

2

z i  i    i i

 6 6  2 3  3

2i 64i 64 i 64 1 64

b) Ta có  2015   2014    2 1007

z i  i i  i  i 

   21007   1007

1 i 1 2i i 1 i 2i

  1007 1007   1007 2 503

1 i .2 i 1 i .2 i .i

Bài toán 5 Tìm nghịch đảo của số phức sau:

a) z  3 4i

b) z   3 2i

Giải

Ta có .zz z 2 với z a bi  thì:

2 2

2 2

1

z z a b

z a b



Áp dụng:

25 25 25

z a b





13 13 13

z a b

 



Bài toán 6 Thực hiện các phép tính sau:

 1 14 3 

A



5 6

4 3

i B

i

 





7 2

8 6

i C

i







Giải

 1 14 3      1 1 16 91 4 3   50 507 1

 5 6 4 3 

 



i

i

7 2 8 6 

i

i





Bài toán 7 Thực hiện phép tính:

a) 1 7 17

2

   

b) 1 33   1 10 2 3 2 3  1

1

i

  



Giải

a) Ta có 7 6  2 3  3

i i i i i  i i

             

b) Ta có  2

2 2

1

i



Nên 1 33 33  2 16.

1

i

  

1 i      1 i 2i 2i

Nên    10 5

1 10    2i   32i Từ đó tính được B 13 32  i

Bài toán 8 Thực hiện phép tính:      2 3  20

T     i i  i   i

Giải

Dùng công thức tổng của cấp số nhân có 21 số hạng:

 

   

21

1

1

q

C u



Ta có:  2 2

1 i     1 i 2 2i i

Nên:         21 20 10   10 10 10

1 i   1 i 1 i   1 i 2i    1 i .2   2 i.2

10 10

1 2 2

2 2 1

i

i



Vậy C  2 10 2 10  1 i

Bài toán 9 Cho hai số phức z và w Hãy phân tích thành nhân tử trên tập số phức: a) z2 w2

b) z4 w4

Giải

a) Ta có 2 2 2   2  

w

z   z iw  z iw z iw

b) Ta có 4 4  2 2 2 2  2 2  2  2

z wz wz iw z iw 