300 bai tap cuc tri cua ham so co dap an 2023

Dạng 1 Tìm cực trị của hàm số A Phương pháp giải & Ví dụ Phương pháp giải 1 Định nghĩa Cho hàm số y = f(x)xác định và liên tục trên khoảng (a;b) (có thể a là ∞; b là +∞) và điểm x0∈(a;b) Nếu tồn tại s[.]

Nếu tồn tại số h > 0 sao cho f(x)< f(x0 ) với mọi x ∈ (x0 - h;x0 + h) và x≠x_0 thì ta

nói hàm số f(x) đạt cực đại tại x0

Nếu tồn tại số h >0 sao cho f(x) >f(x0 ) với mọi x ∈ (x0 - h;x0 + h) và x ≠ x0 thì ta

nói hàm số f(x) đạt cực tiểu tại x0

2.Điều kiện đủ để hàm số có cực trị: Giả sử hàm số y=f(x) liên tục trên

K=(x0 - h;x0 + h)và có đạo hàm trên K hoặc trên K\{x0}, với h >0

Nếu f'(x)> 0 trên khoảng (x0 - h;x0) và f'(x) <0 trên (x0;x0 + h) thì x0 là một điểm

Nếu hàm sốy=f(x) đạt cực đại (cực tiểu) tại x0 thì x0 được gọi là điểm cực đại (điểm

cực tiểu) của hàm số; f(x0) được gọi là giá trị cực đại (giá trị cực tiểu) của hàm

số, kí hiệu là fCÑ (fCT), còn điểm M(x0;f(x0)) được gọi là điểm cực đại (điểm cực

Vậy hàm số đạt cực đại tại x = - 1, y = 6 và hàm số đạt cực tiểu tại x = 1,y = -2

Vậy hàm số đạt cực tiểu tại x = 0,y = -4 và hàm số đạt cực đại tại x = 2,y = 0

Vậy hàm số đã cho không có cực trị

Bài 3 Gọi A,B là hai điểm cực trị của đồ thị hàm số y = 2x3 - 3x2 - 12x + 1 Tìm

tọa độ A,B và phương trình đường thẳng qua hai điểm đó

Hiển thị đáp án

Tập xác định D = R

Tính y' = 6x2 - 6x - 12

Cho y'= 0 ⇔

Bảng biến thiên

Suy ra tọa độ hai điểm cực trị là A(-1;8), B(2;-19)

Vậy phương trình đường thẳng AB là 9x + y + 1 = 0

Bài 4 Cho hàm số y = x3 - 3x2 có đồ thị (C) Tìm các điểm cực đại, cực tiểu của đồ

thị (C)và khoảng cách giữa hai điểm cực trị đó

Vậy tọa độ hai điểm cực trị là A(-1;8),B(2;-19) Khi đó AB =

Bài tập trắc nghiệm Tìm cực trị của hàm số cực hay

Câu 1: Cho hàm số y = f(x) có đồ thị như hình vẽ:

Đồ thị hàm số y = f(x) có mấy điểm cực trị?

A 2 B 1 C 0 D 3

Hiển thị đáp án

Đáp án : A

Câu 2: Cho hàm số y = x3 - 3x2 + 2 Khẳng định nào sau đây là đúng?

A Hàm số đạt cực đại tại x = 2 và đạt cực tiểu tại x = 0

B Hàm số đạt cực tiểu tại x = 2 và đạt cực đại x = 0

C Hàm số đạt cực đại tại x = -2và cực tiểu tại x = 0

D Hàm số đạt cực đại tại x = 0và cực tiểu tại x = -2

Hiển thị đáp án

Đáp án : B

Giải thích :

y' = 3x2 - 6x = 0 ⇔

Lập bảng biến thiên ta được hàm số đạt cực đại tại x = 2 và đạt cực tiểu tại x = 0

Câu 3: Cho hàm số y = x4 - 2x2 + 3 Khẳng định nào sau đây là đúng?

y(0) = 3; y(1) = y(-1) = 2 nên hàm số có hai cực trị

Câu 4: Gọi M, n lần lượt là giá trị cực đại, giá trị cực tiểu của hàm

số Khi đó giá trị của biểu thức M2 - 2n bằng:

A 8 B 7 C 9 D 6

Hiển thị đáp án

Đáp án : B

Giải thích :

Hàm số đạt cực đại tại x = -3 và yCD = -3

Hàm số đạt cực tiểu tại x = -1 và yCT = 1

⇒ M2 - 2n = 7

Phương pháp trắc nghiệm:

Bấm máy tính:

Bước 2: Giải phương trình bậc hai :

Bước 3: Nhập vào máy tính

y' = 3x2 + 34x - 24 = 0 ⇔

Lập bảng biến thiên ta thấy hàm số đạt cực đại tại x = -12

Dạng 2: Tìm tham số m để hàm số đạt cực trị tại một điểm

A Phương pháp giải & Ví dụ

Phương pháp giải

Trong dạng toán này ta chỉ xét trường hợp hàm số có đạo hàm tại x 0

Khi đó để giải bài toán này, ta tiến hành theo hai bước

Bước 1 Điều kiện cần để hàm số đạt cực trị tại x0 là y'(x0) = 0, từ điều kiện này ta tìm được giá trị của tham số

Bước 2 Kiểm lại bằng cách dùng một trong hai quy tắc tìm cực trị ,để xét xem giá

trị của tham số vừa tìm được có thỏa mãn yêu cầu của bài toán hay không?

Ví dụ minh họa

Ví dụ 1 Cho hàm số y = x3 - 3mx2 +(m2 - 1)x + 2, m là tham số thực Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số đã cho đạt cực tiểu tại x = 2

+ Lại có y'' = 12x2 - 4 ⇒ y''(1) = 8 > 0

⇒Hàm số đạt cực tiểu tại x = 1 ⇒ m = 0 không thỏa mãn

Vậy không có giá trị nào của m để hàm số đạt cực đại tại x = 1

B Bài tập vận dụng

Bài 1 Cho hàm số: y = 1/3 x3 - mx2 +(m2 - m + 1)x + 1 Với giá trị nào của m thì

hàm số đạt cực đại tại điểm x = 1

Với m = 1 thì y''(1) = 0 ⇒ hàm số không thể có cực trị

Với m = 2 thì y''(1) = -2 < 0 ⇒ hàm số có cực đại tại x = 1

♦ Vậy giá trị m cần tìm là m = 3.

Bài 3 Cho hàm số y = 1/3 x3 - (m+1) x2 + (m2 + 2m)x + 1 (m là tham số) Tìm tất

cả tham số thực m để hàm số đạt cực tiểu tại x = 2

Kiểm tra lại Ta có y'' = 2x + 2(2m - 1)

Khi m = 1 thì y'' = 2x + 2, suy ra y''(2) = 6 > 0 Do đó hàm số đạt cực tiểu tại x = 2 Vậy hàm số đạt cực tiểu tại x = 2 ⇔ m = 1

Câu 1 Với giá trị nào của tham số m thì hàm số y = 2(m2 - 3)sinx - 2msin2x + 3m

Tính y' = 2(m2 - 3)cosx - 4mcos2x; y'' =2(3 - m2 )sinx + 8msin2x

Để hàm số đã cho đạt cực đại tại x = π/3 ta có

Câu 3 Hàm số y = asin2x + bcos3x - 2x (0 < x < 2π) đạt cực trị tại x = π/2; x = π

Khi đó, giá trị của biểu thức P = a + 3b - 3ab là:

Do đó, giá trị của biểu thức P = a + 3b - 3ab = 1

Câu 4 Hàm số y = x3 - 3x2 + mx - 2 đạt cực tiểu tại x = 2 khi?

Hàm số đạt cực tiểu tại x = 2 khi:

Câu 5 Biết đồ thị hàm số y = x3 - 2x2 + ax + b có điểm cực trị là A(1;3) Khi đó giá trị của 4a - b là:

Khi đó ta có, 4a - b = 1

Dạng 3: Biện luận theo m số cực trị của hàm số

A Phương pháp giải & Ví dụ

Phương pháp giải

1 Cực trị của hàm số bậc ba

Cho hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d, a ≠ 0

y' = 0 ⇔ 3ax2 + 2bx + c = 0 (1) ; Δ'y' = b2 - 3ac

 Phương trình (1) vô nghiệm hoặc có nghiệm kép thì hàm số đã cho không có cực trị

 (C)có một điểm cực trị y' = 0 có 1 nghiệm x = 0 ⇔ -b/2a ≤ 0 ⇔ ab ≥ 0

 (C)có ba điểm cực trị y' = 0 có 3 nghiệm phân biệt ⇔ -b/2a > 0 ⇔ ab < 0

Ví dụ minh họa

Tính y' = 3x2 + 2mx + 4m + 3; Hàm số có hai cực trị y' = 0 có hai nghiệm thực phân biệt và đổi dấu Δ' > 0 ⇔ m2 - 12m - 9 > 0 (khi đó y' đổi dấu qua nghiệm)

• Với m = 0 ta có y = -x2 + x - 1, ta thấy hàm số đạt cực đại tại x = 1/2 Suy ra

m = 0 thỏa yêu cầu bài toán

Vậy hàm số đã cho luôn có cực trị với mọi m

Câu 1: Hàm số y = x4 + 2(m - 2)x2 + m2 - 2m + 3 có đúng 1 điểm cực trị thì giá trị của m là:

Đáp án : B

Giải thích :

y' = x2 + 2mx + m + 6

Hàm số có cực đại và cực tiểu y' = 0 có hai nghiệm phân biệt

Dạng 4: Bài toán liên quan đến cực trị của hàm số

A Phương pháp giải & Ví dụ

Phương pháp giải

1 Cực trị của hàm số bậc ba

Hàm số có cực trị y' = 0 có hai nghiệm phân biệt

Nếu hàm số y = ax 3 + bx 2 + cx + d(a ≠ 0) có hai điểm cực trị x1,x2 và

y = g(x).y^' + a.x + b thì đường thẳng đi qua hai điểm cực trị có phương trình y =

ax + b và giá trị cực trị là của hàm số là y1 = a.x1+b; y2 = a.x2 + b

Tìm điều kiện cuả tham số để hàm số có cực trị thỏa mãn hệ thức cho trước

- Tìm điều kiện để hàm số có cực trị

- Phân tích hệ thức để áp dụng vi-et cho phương trình bậc hai

2 Cực trị của hàm số bậc bốn trùng phương

Cho hàm số: y = ax4 + bx2 + c (a ≠ 0) có đồ thị là (C)

(C)có ba điểm cực trị y' = 0 có 3 nghiệm phân biệt ⇔ -b/2a > 0 ⇔ ab < 0

Khi đó hàm số có 3 điểm cực trị thì 3 điểm cực trị là 0;

Tọa độ 3 điểm cực trị tương ứng của đồ thị hàm số

là:

Nhận xét: tam giác ABC cân tại A, có A ∈Oy ;

Tam giác ABC vuông tại

hoặc ΔABC vuông cân tại A ⇔ BC2 = AB2 + AC2

Tam giác ABC đều

hoặc ΔABC đều ⇔ BC2 = AB2

Đặc biệt: Tam giác ABC có một góc bằng

120°

Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là

Bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC là

Phương trình đường tròn ngoại tiếp ΔABC là:

Ví dụ minh họa

Ví dụ 1 Cho hàm số y = x3 - 3(m + 1)x2 + 9x - 2m2 + 1 (C) Tìm giá trị của m để

đồ thị hàm số (C) có cực đại, cực tiểu tại x1, x2 sao cho |x1 - xc | = 2

Hướng dẫn

Ta có y' = 0 ⇔ x2 - 2(m + 1)x + 3 = 0 ĐK có 2 điểm cực trị Δ' = (m + 1)2 - 3 > 0

Khi đó

Ví dụ 3 Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho đồ thị hàm số y = x4 -

2mx2 + 2m4 - m có ba điểm cực trị đều thuộc các trục tọa độ

Hướng dẫn

Ta có y' = 4x3 - 4mx = 4x[x2 - m]

Hàm số đã cho có ba điểm cực trị khi và chỉ khi:

Khi đó ba điểm cực trị của đồ thị hàm số là:

A(0; 2m4 - m), B(-√m; 2m4 - m2 - m), C(√m; 2m4 - m2 - m)

Có A Oy.Khi đó ba điểm cực trị đều thuộc các trục tọa độ

⇔ yB = 0 = yC ⇔ 2m4 - m2 - m = 0 ⇔ m = 1

B Bài tập vận dụng

Câu 1:Cho hàm số y = 4x3 + mx2 - 3x + 1 Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số

có hai điểm cực trị x1,x2 thỏa x1 = -2x2

Hiển thị đáp án

Ta có y' = 12x2 + 2mx - 3 ĐK có 2 cực trị là: Δ' = m2 + 36 > 0

Câu 2:Cho hàm số y = (m + 2)x3 + 3x2 + mx - 5, m là tham số Tìm các giá trị của

m để các điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số đã cho có hoành độ là các số

dương

Hiển thị đáp án

Các điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số đã cho có hoành độ là các số dương

⇔ PT y' = 3(m + 2)x2 + 6x + m = 0 có 2 nghiệm dương phân biệt

Câu 3:Cho hàm số y = x3 + (1 - 2m)x2 + (2 - m)x + m + 2 (1) Tìm các giá trị của

m để đồ thị hàm số (1) có điểm cực đại, điểm cực tiểu , đồng thời hoành độ của

điểm cực tiểu nhỏ hơn 1

Hiển thị đáp án

y' = 3x2 + 2(1 - 2m)x + 2 - m = g(x)

YCBT ⇔ Phương trình y' = 0 có hai nghiệm phân biệt x1,x2thỏa mãn x1 < x2 < 1

Câu 4:Cho hàm số y = x3 + 3x2 + mx + m - 2 (m là tham số) có đồ thị là (Cm) Xác

định m để (Cm) có các điểm cực đại và cực tiểu nằm về hai phía đối với trục hoành

Câu 4: Tìm các giá trị của tham sốm để đồ thị hàm số: y = x4 -2m2x2 + 1 có ba điểm

cực trị là ba đỉnh của một tam giác vuông cân

Khi đó 3 điểm cực trị của đồ thị hàm số là : A(0; 1), B(m; 1 - m4 ), C(-m; 1 - m4 )

Do tính chất đối xứng, ta có ΔABC cân tại đỉnh A

đỉnh

Kết hợp điều kiện ta có: m = ±1 ( thỏa mãn)

Lưu ý: có thể sử dụng công thức b3/8a + 1 = 0

Câu 5: Tìm các giá trị của tham sốm để đồ thị hàm số: y = x4 - 2(m + 1)x2 + m2 có

ba điểm cực trị là ba đỉnh của một tam giác vuông cân

Hàm số có điểm 3 cực trị m > -1

Khi đó 3 điểm cực trị của đồ thị hàm số là : A(0; m2 ), B(-√(m + 1); -2m -1),C(√(m

+ 1);-2m - 1)

Do tính chất đối xứng, ta có ΔABC cân tại đỉnh A

Vậy ΔABC chỉ có thể vuông cân tại đỉnh

Kết hợp điều kiện ta có: m = 0 ( thỏa mãn)