Dang bai tap chung minh don dieu

CHỨNG MINH ĐƠN ĐIỆU A Phương pháp giải Nếu   0f x  với mọi  ;x a b thì hàm số f đồng biến trên  ;a b Nếu   0f x  với mọi  ;x a b và   0f x  chỉ tại một số hữu hạn điểm của  ;a b[.]

CHỨNG MINH ĐƠN ĐIỆU

A Phương pháp giải

Nếu f x  0 với mọi x a b; thì hàm số f đồng biến trên  a b;

Nếu f x  0 với mọi x a b; và f x  0 chỉ tại một số hữu hạn điểm của  a b; thì hàm

số đồng biến trên khoảng  a b;

Nếu f x  0 với mọi x a b; thì hàm số nghịch biến trên  a b;

Nếu f x  0 với mọi x a b; và f x  0 chỉ tại một số hữu hạn điểm của  a b; thì hàm

số nghịch biến trên khoảng  a b;

Nếu hàm số f đồng biến trên  a b; và liên tục trên nửa khoảng a b; ; a b; ; đoạn  a b;

thì đồng biến trên nửa khoảng a b; ; a b; ; đoạn  a b; tương ứng

Nếu hàm số f nghịch biến trên  a b; và liên tục trên nửa khoảng a b; ; a b; ; đoạn  a b;

thì nghịch biến trên nửa khoảng a b; ; a b; ; đoạn  a b; tương ứng

Chú ý:

1) Dấu nhị thức bậc nhất: f x axb, a 0

a

 

2) Dấu tam thức bậc hai:   2

f x ax bxc, a 0

Nếu   0 thì f x  luôn cùng dấu với a

Nếu   0 thì f x  luôn cùng dấu với a, trừ nghiệm kép

Nếu   0 thì dấu "trong trái – ngoài cùng "

 

f x cùng dấu a 0 trái dấu a 0 cùng dấu a

3) Giả sử hàm số f xác định trên khoảng  a b; và x0  a b; Hàm số f được gọi là liên tục tại điểm x0 nếu:    

lim

x x f x f x

  Hàm số không liên tục tại điểm x0 được gọi là gián đoạn tại điểmx0

Hàm số f liên tục trên một khoảng  a b; nếu nó liên tục tại mọi điểm thuộc khoảng đó

Hàm số f liên tục trên nửa khoảng a b;  nếu nó liên tục trên khoảng  a b; và

   

lim  f x f b

Hàm số f liên tục trên nửa khoảng a b;  nếu nó liên tục trên khoảng  a b; và

   

lim

x a f x f a

Hàm số f liên tục trên đoạn  a b; nếu nó liên tục trên khoảng  a b; và lim    

x a

f a

f x



   

lim

x b

f x f b



B Ví dụ minh họa

Bài toán 1 Chứng minh rằng các hàm số sau đây đồng biến trên

a)   3 2

6 20 13

f x x  x  x b) f x  2x cosx 3 sinx

Giải a)   2

3 12 20

f x  x  x

Vì    36 20   0 nên f x  0 với mọi x, do đó hàm số đồng biến trên

3

x 

     

Vậy hàm số đồng biến trên

Bài toán 2 Chứng minh các hàm số sau nghịch biến trên :

a)   2

1

f x  x  x b) f x  cos 2x 2x 5

Giải

a) Ta có   2 1

1

x

f x

x



1

x   x  x x, x nên f x  0, x do đó hàm số f nghịch biến trên

b) f x   2 sin 2 x  1 0 với mọi x

f x   x   x   k    x  k

, k

Hàm f x  liên tục trên mỗi đoạn ;  1

   

  và f x  0 trên mỗi khoảng

   

   

Vậy hàm số nghịch biến trên

Cách khác: Ta chứng minh hàm số f nghịch biến trên :

,

x x

  , x x  f x  f x 

Thật vậy, lấy hai số a, b sao cho a x1 x2 b

Ta có: f x   2 sin 2 x  1 0 với mọi x a b;

Vì f x  0 chỉ tại một số hữu hạn điểm của khoảng  a b; nên hàm số f nghịch biến trên khoảng  a b;  đpcm

Bài toán 3 Chứng minh các hàm số sau đơn điệu trên :

3

y  x  x  x  Giải

y  x  x  x  với mọi x

1 0

2

y   x Vậy hàm số đồng biến trên

y   x  x  x   x  x x

Vì    16 21 0   nên 2

3x 8x 7 0

    với mọi x

Do đó y  0 với mọi x, y    0 x 0

Vậy hàm số nghịch biến trên

Bài toán 4 Chứng minh hàm số:

2

x

y

x





 đồng biến trên mỗi khoảng xác định của nó

b)

2

1

y

x



 nghịch biến trên mỗi khoảng xác định của nó

Giải a) D \  2 Ta có

 2

4

0 2

y x

 với mọi x 2

Vậy hàm số đồng biến trên mỗi khoảng   ; 2 và   2; 

b) D \  1

Ta có

2 2

0 1

y

x

 với mọi x 1 (vì     1 5 0)

Vậy hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng   ; 1 và   1; 

Bài toán 5 Chứng minh hàm số:   1 3 2

3

y f x  x  x  x a) nghịch biến trên đoạn   3; 1

b) đồng biến trên các nửa khoảng   ; 3 và   1; 

Giải a) D Ta có   2

4 3

f x x  x

f x  x  x    x hoặc x  1

BBT

y



–1

7 / 3





a) Ta có f x  0 trên khoảng   3; 1 nên f nghịch biến trên khoảng   3; 1 và f liên tục trên đoạn   3; 1 nên f nghịch biến trên đoạn   3; 1

b) Ta có f x  0 trên các khoảng   ; 3 và   1;  nên f đồng biến trên khoảng

  ; 3 và   1;  và f liên tục trên các nửa khoảng   ; 3 và   1;  nên f đồng biến trên các nửa khoảng   ; 3 và   1; 

Bài toán 6 Chứng minh hàm số: 2

1

x y x



 đồng biến trong khoảng  1;1 và nghịch biến trong các khoảng   ; 1 và 1; 

Giải Tập xác định D

y

y    x

y   x     x

2

y   x    x hoặc x 1

Từ đó suy ra đpcm

Bài toán 7 Chứng minh hàm số:  

sin sin

x a y

x b





 a b k ;k  đơn điệu trong mỗi khoảng xác định

Giải Hàm số gián đoạn tại các điểm x  b k k 

Vì        

2

sin

y

x b

 

2

sin

0 sin

b a

x b



 (do a b k)

Vì y  0 và y liên tục tại mọi điểm x  b k, nên y giữ nguyên một dấu trong mỗi

khoảng xác định, do đó hàm số đơn điệu trong mỗi khoảng đó

C Bài tập tự luyện

Câu 1: Hàm số nào sau đây đồng biến trên R?

A y = x 3 – 2x – 2 B y = x 2019 + x 2021 – 2

C y = -x 3 + x + 3 D y = x 2018 + x 2020 – 2

Câu 2: Hàm số nào sau đây đồng biến trên tập xác định của nó

3

x

y

x





4

3.

.

1

y x





Câu 3: Biết hàm sốy x  3 3 x nghịch biến trên tập K Hỏi trên tập K có thể chứa bao nhiêu số nguyên

Câu 4: Trong các hàm số sau, hàm số nào có khoảng đơn điệu khác so với các hàm số còn lại?

2

x

y

x





2

x y

x





5 2

x y x





2

x y

x







Câu 5: Cho các hàm số sau:

2

2

y

x

 



Trong các hàm số nói trên có bao nhiêu hàm số đồng biến trên tập xác định của nó?

Câu 6: Cho các hàm số sau:

2

3

(1) y 2; (3) y 2 2; (5) 2;

(2) 2016 1; (4) ; (6) y 3

Trong các hàm số trên có bao nhiêu hàm số luôn đồng biến trên ?

Câu 7: Cho các hàm số sau:

 

2017

3

Trong các hàm số trên có bao nhiêu hàm số luôn đồng biến trên tập xác định của

chúng?

Câu 8: Cho các hàm số sau:

2

1

3

Trong các hàm số trên có bao nhiêu hàm có khoảng đơn điệu chứa hữu hạn số nguyên?

Câu 9: Cho các hàm số sau:

Có bao nhiêu hàm số đồng biến trên tập xác định của nó trong các hàm số trên?

Câu 10: Cho hàm số y f x( )có bảng biến thiên như sau:

Hàm số y f x( )nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

A (-2; 0) B (-; -2) C (0; 2) D (0; +)