Dang bai tap ung dung tinh don dieu vao chung minh bat dang thuc jsfqr

ỨNG DỤNG VÀO CHỨNG MINH BÁT ĐẲNG THỨC A Phương pháp giải Nếu  y f x xác định trên K có y 0  , x K  thì  f x đồng biến trên K nên có bất đẳng thức    x a f x f a   ;    x b f x f b[.]

ỨNG DỤNG VÀO CHỨNG MINH BÁT ĐẲNG THỨC

A Phương pháp giải

Nếu yf x  xác định trên K có y 0,  x K thì f x đồng biến trên K nên có bất đẳng  

thức:

   

x a f x f a ; x b f x   f b

Nếu yf x  xác định trên K có y 0,  x K thì f x nghịch biến trên K nên có bất  

đẳng thức:

   

x a f x f a ; x b f x   f b

Chú ý:

1) Có thể f x 0 chỉ tại một số hữu hạn điểm của K

2) Việc xét dấu y đôi khi phải cần đến y, y,… hoặc xét dấu bộ phận của hàm số, chẳng hạn tử số của một phân số có mẫu dương,

Nếu y 0 thì y đồng biến từ đó ta có đánh giá f x  rồi f x ,  

3) Hàm số f xác định trên K là một khoảng, đoạn hoặc nửa khoảng

- f đồng biến trên K nếu với mọi x , x1 2K, x1x2 f x   1 f x2

- f nghịch biến trên K nếu với mọi x , x1 2K, x1x2 f x   1 f x2

B Ví dụ minh họa

Bài toán 1 Chứng minh các bất đẳng thức sau:

a) sin xx với mọi x0, sin xx với mọi x0

b)

2 x cos x 1

2

  với mọi x0

Giải

a) Với x

2



 thì x 1 nên sin x 1 x 

Với 0 x

2



  thì hàm số f x  x sin x liên tục trên nửa khoảng 0;

2



 



  và

 

f x  1 cos x0 với mọi x 0;

2



 

 

Do đó hàm số đồng biến trên 0;

2



 



  nên f x   f 0 0 với mọi x 0;

2



 

Với x 0

2



   , giải tương tự thì f x   f 0 0

Với x

2



  thì x 1 nên sin x   1 x đpcm

b) Với x0 thì hàm số   x2

2

   liên tục trên nửa khoảng 0; và

 

g x  x sin x Theo a) thì g x 0 với mọi x0

Do đó hàm số g đồng biến trên 0; nên:

   

g x g 0 0 với mọi

2 x

2

     với mọi x0

Suy ra với mọi x0 ta có cos   x x 2 1 0

2



Bài toán 2 Chứng minh các bất đẳng thức với mọi x 0;

2



 

3 x tan x x

3

 

Giải

a) Hàm số f x tan xx liên tục trên nửa khoảng 0;

2



 



  và có đạo hàm

  12

cos x

   với mọi x 0;

2



 

  Do đó hàm số f đồng biến trên nửa khoảng 0;2



 



  nên

   

f x f 0 0 với mọi x 0;

2



 

f x tan x x

3

   liên tục trên nửa khoảng 0;

2



 



  và có đạo hàm

2

1

cos x

tan x x tan x x tan x x 0

2



  (suy ra từ a))

Do đó, hàm số f đồng biến trên nửa khoảng 0;

2



 



  và ta có f x   f 0 0 với mọi

x 0;

2



 

  đpcm

Bài toán 3 Chứng minh:

a)

3 x sin x x

6

  , x 0 b) 2sin xtan x3x x 0;

2



  

Giải

a) BĐT:

3 x

x sin x 0

6

   , x 0

Xét   x3

f x x sin x

6

   thì f liên tục trên 0;

2

    ; f x   x sin x

 

f x   1 cos x0 nên f nghịch biến trên 0;;

x 0 f x f 0 0 nên f nghịch biến trên 0;;

   

x 0 f x f 0 0 nên f nghịch biến trên 0;;

   

x 0 f x f 0 0: đpcm

b) Hàm số f x 2sin xtan x3x liên tục trên nửa khoảng 0;

2



 



 

và   12 2cos x3 3cos x 12 2

Do đó hàm số f đồng biến trên 0;

2



 



  nên f x   f 0 0

Bài toán 4 Chứng minh bất đẳng thức:

a) 8sin2 x sin 2x 2x

2   ,  x 0; b) tan x 4x

 , x 0;4



 

    

Giải

a) Xét hàm số   2 x

f x 8sin sin 2x 2x

2

   , x 0;

f x 4sin x2cos 2x 2 4sin x 1 sin x

 

2



    hoặc x 

Với x0; ta có f x 0 và dấu bằng chỉ xảy ra tại hai điểm Vậy f x đồng biến trên   nửa khoảng 0; nên f x   f 0 0 với mọi x0;  đpcm

b) Nếu x0 thì BĐT đúng

Nếu x0 thì BĐT tan x 4

x

, x 0;4



 

  

 

Xét   tan x

f x

x

 , x 0;

4



 

  

 

x

tan x

x sin x cos x 2x sin 2x cos x

f x

Vì 0 x

4



  nên 0 2x sin 2x 2x

2



    do đó f x 0 nên f đồng biến trên 0;

4



 

 

 , suy

f x f

4



 

     : đpcm

Bài toán 5 Chứng minh bất đẳng thức sau:

2

      , với x0

Giải

Xét hàm số   1

2

    trên 0; Ta có:

2 2 1 x

 với x0 nên f x  đồng biến trên nửa khoảng 0;

Do đó f x   f 0 0 với mọi x0

     trên 0;

g x

2 1 x

4 4 1 x 1 x

  nên g đồng biến trên

0;; do đóg x g 0 0

Suy ra g đồng biến trên 0; nên g x   g 0 0 với mọi x0;  đpcm

Bài toán 6 Chứng minh bất đẳng thức sau:

a b  c d 2abcd a b a c a d b c b d c d 0 với 4 số a, b, c, d dương

Giải

Không mất tính tổng quát giả sử a   b c d 0

Xem vế trái là hàm số f a , a  0

f a 4a 2bcd2a b  c d

  2  2 2 2

f a 12a 2 b  c d 0 nên f đồng biến trên 0;

   

a b f a f b Vì    2 2  

f b 2b b c 2bd c d 0 nên f a  đồng biến trên

0;: a 0 f a   f 0 0: đpcm

Bài toán 7 Cho x, y,z0 và x  y z 1

Chứng minh: 0 xy yz zx 2xyz 7

27

Giải

Giả sử z là số bé nhất thì 0 z 1

3

 

3

Và có T x y 21   z

 





Xét   3 2

f z  2z z 1, 0 z 1

3

  thì

f z  6z 2z2z 1 3z 0 trên f z đồng biến trên   0;1

3

 

 

 , do đó

T f z f

 

   

 

Bài toán 8 Cho x, y, z là các số thực không âm phân biệt

Chứng minh rằng:

x y z

 

Giải

Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với

Không mất tính tổng quát, giả sử x  y z 0

 , z0 thì f x 0 nên f đồng biến

Do đó      

 2

x y



2

2

x y

xy

x y



2

2

x y

xy

2xy 2xy

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

z 0

x 4xy y 0

x y 4xy 2xy







C Bài tập tự luyện