Dang bai tap chung minh ve cuc tri

CHỨNG MINH VỀ CỰC TRỊ I Phương pháp giải Điều kiện cần để hàm số có cực trị Giả sử hàm số f đạt cực trị tại điểm 0x Khi đó, nếu f có đạo hàm tại 0x thì  0 0f x  Điều kiện đủ để hàm số có cực trị c[.]

CHỨNG MINH VỀ CỰC TRỊ

I Phương pháp giải

Điều kiện cần để hàm số có cực trị:

Giả sử hàm số f đạt cực trị tại điểm x0

Khi đó, nếu f có đạo hàm tại x0 thì f x0  0

Điều kiện đủ để hàm số có cực trị: có hai dấu hiệu:

- Cho y f x  liên tục trên khoảng (a;b) chứa x0, có đạo hàm trên các khoảng a x; 0và

x b0 ; :

Nếu f x đổi dấu từ âm sang dương thì f đạt cực tiểu tại x0

Nếu f x đổi dấu từ dương sang âm thì f đạt cực đại tại x0

- Cho y f x  có đạo hàm cấp hai trên khoảng (a;b) chứa x0:

Nếu f x0  0 và f x0  0 thì f đạt cực tiểu tại x0

Nếu f x0  0 và f x0  0 thì f đạt cực đại tại x0

Chú ý:

1) Giá trị cực đại (cực tiểu) f x 0 của hàm số f nói chung không phải là giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) của hàm số f trên tập hợp D; f x 0 chỉ là giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) của hàm

số f trên một khoảng (a;b) nào đó chứa điểm x0

2) Bài toán đơn điệu, cực trị không được đặt ẩn phụ

II Ví dụ minh họa

Bài toán 1 Chứng minh hàm số f x  x không có đạo hàm tại x 0 nhưng đạt cực trị tại điểm đó

Giải Hàm số xác định và liên tục tại Ta có:

Do đó hàm số không có đạo hàm tại x 0 và BBT

y

0

Vậy hàm số đạt CT 0;0

Bài toán 2 Chứng minh hàm số   2 0

2

x khi x

khi x





 





không có đạo hàm tại x 0 nhưng đạt cực trị tại điểm đó

Giải Hàm số xác định và liên tục trên

Ta có:   12 0

x khi x

khi x







1

2

        , do đó f không có đạo hàm tại x 0

BBT trên khoảng    ; 

Vậy hàm số đạt cực đại tại x 0 và y CĐ y 0  0.

Bài toán 3 Chứng minh rằng hàm số luôn luôn có cực đại và cực tiểu:

 

yx ax  b x a b  ab với mọi a, b

Giải

y  x  ax b

 



       nên y  0 luôn luôn có 2 nghiệm phân biệt x x1, 2 Bảng biến thiên:

y



CĐ

CT



Vậy hàm số luôn luôn có một cực đại và một cực tiểu

Bài toán 4 Chứng minh rằng hàm số luôn luôn có cực đại và cực tiểu:

y xa x b x c với mọi a, b, c thỏa mãn a b c

Giải

D y x b x c  xax c  xax b 

2

3x 2 a b c ab bc ca

3



  2  2 2

1

0

        với a b c

Do đó y  0 có 2 nghiệm phân biệt và đổi dấu 2 lần khi qua 2 nghiệm nên luôn luôn có một cực đại và một cực tiểu

Bài toán 5 Chứng minh rằng hàm số luôn luôn có cực đại và cực tiểu:

y



Giải

 

\

D m Ta có:

2

2

y

 



Xét hàm số   2

g x x  mx m

Ta có 2

2 2 0,



      và   2

2 2 0,

g m  m  m  m

Do đó y  0 luôn có hai nghiệm phân biệt khác m, y đổi dấu hai lần khi qua 2

nghiệm, vậy hàm số luôn luôn có cực đại và cực tiểu

Bài toán 6 Chứng minh đồ thị  

2

y

x m



 luôn luôn có cực đại, cực tiểu

và khoảng cách giữa cực đại, cực tiểu không đổi

Giải

 

\

D m Ta có

2

2

y

 



y  x  mxm   x m

Vì      4 0, m và g m     4 0, m nên đồ thị hàm số luôn luôn có cực đại, cực tiểu Hai cực trị 2; 3 , B 2;5

A  m   m 

Khoảng cách AB 16 16   4 2: không đổi