CHỨNG MINH HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC A Kiến thức cần nhớ Để chứng minh hai đường thẳng vuông góc với nhau, ta có các cách sau Hai đường thẳng đó cắt nhau và tạo ra một góc 90 Hai đường thẳng đó chứa h[.]
Trang 1CHỨNG MINH HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC
A Kiến thức cần nhớ
Để chứng minh hai đường thẳng vuông góc với nhau, ta có các cách sau:
- Hai đường thẳng đó cắt nhau và tạo ra một góc 90
- Hai đường thẳng đó chứa hai tia phân giác của hai góc kề bù
- Hai đường thẳng đó chứa hai cạnh của tam giác vuông
- Tính chất từ vuông góc đến song song : Có một đường thẳng thứ 3 vừa song song với đường thẳng thứ nhất vừa vuông góc với đường thẳng thứ hai
- Sử dụng tính chất đường trung trực của đoạn thẳng Tính chất : Mọi điểm cách đều hai đầu mút của đoạn thẳng thì nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng đó
- Sử dụng tính chất trực tâm của tam giác
- Sử dụng tính chất đường phân giác, trung tuyến ứng với cạnh đáy của tam giác cân
- Hai đường thẳng đó chứa hai đường chéo của hình vuông, hình thoi
- Sử dụng tính chất đường kính và dây cung trong đường tròn
- Sử dụng tính chất tiếp tuyến trong đường tròn
B Ví dụ minh họa
Ví dụ 1 Cho hai đường tròn O1 và O2 cắt nhau tại A và B Đường thẳng O A1 cắt O2
tại C , đường thẳng O A2 cắt O1 tại D, đường thẳng qua B song song với AD cắt O1 tại
E Chứng minh rằng nếu DE song song với AC thì O C2 vuông góc với CD
Hướng dẫn giải
Tứ giác ABED nội tiếp O AB2 BED
1 2
ACB AO B AO O
2
90 O AB 90 BED
Trang 22 2
2
1
90 O AD
Theo giả thiết, BE song song AD và DE song song O A1
ABC ACB
tam giác ABC cân tại AAB AC
Tứ giác O DCO có 1 2 CAO2 DAO1 (đối đỉnh)
Mà tam giác ADO1 và tam giác ACO2 cân
AO D AO C CO D DO C
tứ giác O DCO1 2 nội tiếp
Mặt khác AO O2 1 90 BED và O DA1 O AD1 BED
1 2 90 2 90 2
vuông góc với CD
Ví dụ 2 Cho tứ giácABCD nội tiếp đường tròn AC và BD cắt nhau tạiP,AD vàBCcắt nhau tại Q thỏa mãn PQ vuông góc vớiAC E là trung điểm AB Chứng minh rằngPE
vuông góc với BC
Hướng dẫn giải
Gọi K là giao điểm của đường tròn ngoại tiếp tam giác AQC và đường tròn ngoại tiếp tam giácQBD
Tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn, giao điểm của đường tròn (ABCD) và đường tròn (AQC) làA vàC , giao điểm của(ABCD) và đường tròn(QBD) làB vàD
Q,P,K
thẳng hàng
Trang 3ADB ACB QDB ACQ
tam giácQAC và tam giácQBD đồng dạng (g.g) QAC QBD
Theo giả thiết ta có QP vuông góc vớiAC,
KBQ 90
hayKBvuông góc vớiBC
Gọi H là trực tâm tam giácQACAH vuông góc vớiQC,QP vuông góc vớiACH nằm trênBK Theo tính chất trực tâm tam giác thìPH PK.
Theo giả thiết, EA EB PEsong song vớiKBPE vuông góc vớiBC
Ví dụ 3 Cho tam giác nhọnABC Tiếp tuyến tạiBvàC với đường tròn ngoại tiếp tam giác
ABC cắt nhau tạiP GọiD là điểm đối xứng của B qua AC, E là điểm đối xứng củaC qua
AB,Olà tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác PDE Chứng minh rằngAO vuông góc vớiBC
Hướng dẫn giải
Theo giả thiết tiếp tuyến tạiB vàC cắt nhau tạiP
PB PC
D là điểm đối xứng của B qua AC, E là điểm đối xứng của C qua AB
tam giácPBEvà tam giác PCD bằng nhau (c.g.c)
PE PD
tam giácPDEcân tại P PDE PED
hai tam giác cân PBC,PED đồng dạng (g.g) PBC PED
Gọi K là giao điểm của PB và đường tròn ngoại tiếp tam giácPDE
Trang 4BKD PED PBC BC
song song vớiKD BAC BKD
Theo giả thiếtCB CD vàAC vuông góc với BDAB AD
A
là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giácDKB
O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giácPDKO và A nằm trên trung trựcDKAO
vuông góc DK Mà DK song songBCAO vuông góc vớiBC
C Bài tập tự luyện
Bài 1 Cho đường tròn tâm O và dây cung AB M là điểm trên AB Đường tròn O1 qua
A, M tiếp xúc với O , đường tròn tâm O2 qua M, B và tiếp xúc với O Hai đường tròn
O và 1 O cắt nhau tại điểm tại điểm thứ hai là N Chứng minh rằng tam giác MON 2
vuông
Bài 2 Giả sử A,B và C là ba điểm thuộc đường tròn (O) sao cho tiếp tuyến tại A của đường
tròn cắt tia BC tại D Tia phân giác của BAC cắt đường tròn tại M, tia phân giác của ·· ADC cắt
AM tại I Chứng minh rằng AM DI
Bài 3 Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O Các đường phân giác trong của tam giác
kẻ từ A, B, C cắt nhau tại I và cắt đường tròn (O) theo thứ tự tại D, E và F
a) Chứng minh rằng CI ED
b) Gọi M là giao điểm của AC và DE Chứng minh rằng IM BC / /
c) Gọi K là điểm đối xứng với I qua D Chứng tỏ rằng K là tâm đường tròn bàng tiếp của tam giác ABC
Bài 4 Cho đường tròn tâm O và dây AB Trên hai cung AB ta lần lượt lấy các điểm M và N
Hai tia AM và NB cắt nhau tại C, hai tia AN và MB cắt nhau tại D Chứng minh rằng nếu
ACN ADM thì AB CD
Bài 5 Cho hình thangABCD nội tiếp đường tròn(O) đường kínhAB,E là giao điểm hai đường chéoAB vàCD Đường tròn tâmB bán kínhBE cắt(O) tạiP vàQ (P cùng phía với
C bờAB) Đường thẳng quaE vuông góc vớiBD cắtCD tạiM Chứng minh rằngPM
vuông góc với DQ
Bài 6 Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn ( ).O P là điểm trên cung BC không chứa A D
và H là hình chiếu của P trên AD và BC Gọi M và N là trung điểm AC, DH Chứng minh rằng PN vuông góc với NM
Bài 7 Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn ( ). O Tiếp tuyến tại B và C với đường tròn
( )O cắt nhau tại P Gọi M là trung điểm BC, D và E là hình chiếu của P trên AD và
AC Chứng minh rằng AM vuông góc với DE
Trang 5Bài 8 Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn ( ) O và I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác Đường thẳng AI cắt BC tại D và cắt đường tròn ( )O tại E Gọi K và L là tâm đường tròn nội tiếp tam giác BDE và CDE, P là điểm đối xứng của I qua KL Chứng minh PB
vuông góc với PC