Bai tap ve tinh don dieu cua ham sopdf wc68o

Hàm số luôn nghịch biến trênA. Hàm số luôn đồng biến trên.. Hỏi hàm số đồng biến trên các khoảng nào.. Hàm số luôn nghịch biến trên từng khoảng xác định?. Hàm số luôn nghịch biến trên.A.

BÀI 1 TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ NB-TH: 26 câu - VD: 21 câu - VDC: 8 câu

■ Định nghĩa: Cho hàm số y= f (x)xác định trên K, với K là một khoảng, nửa khoảng hoặc một đoạn Hàm số y= f (x)đồng biến (tăng) trên K nếu

"x1, x2 ÎK,x1<x2Þ f x( )1 < f x( )2 Hàm số y= f (x)nghịch biến (giảm) trên K nếu

"x1, x2 ÎK,x1<x2Þ f x( )1 > f x( )2

■ Điều kiện cần để hàm số đơn điệu: Giả sử hàm số y= f (x)có đạo hàm trên khoảng K

Nếu hàm số đồng biến trên khoảng K thì

f ' x( )³0,"xÎK Nếu hàm số nghịch biến trên khoảng K thì

Nếu K là một đoạn hoặc nửa khoảng thì phải bổ sung giả thiết “ Hàm số y= f (x) liên tục trên

đoạn hoặc nửa khoảng đó” Chẳng hạn: Nếu hàm số y= f (x)liên tục trên đoạn

éë ùûa;b và có đạo hàm

f ' x( )>0,"xÎK trên khoảng

( )a;b thì hàm số đồng biến trên đoạn

éë ùûa;b Nếu

1.1.1 Chiều biến thiên của hàm số

Câu 1 [NB-TH]Cho hàm số y= f (x)có đạo hàm trên KÌ Khẳng định nào sau đây là khẳng định

đúng?

A Nếu

f '(x)³0,"xÎK , f '(x)=0chỉ tại một số hữu hạn điểm của K thì hàm số tăng trên K

B Nếu

f ' x( )>0thì hàm số đồng biến trên khoảng K

C Nếu f '(x)³0,"xÎK thì hàm số tăng trên K

D Hàm số y= f (x)đồng biến (tăng) trên K nếu

"x1, x2ÎK,x1<x2 Þ f x( )1 > f x( )2 Hướng dẫn giải

Xem phần lý thuyết

Câu 2 [NB-TH]Cho hàm số y= x+1

1-x Khẳng định nào sao đây là khẳng đinh đúng?

A Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng ( )-¥;1 và ( )1;+¥

B Hàm số đồng biến trên khoảng (-¥;1)È(1;+¥)

C Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng ( )-¥;1 và ( )1;+¥

D Hàm số nghịch biến trên khoảng ( )-¥;1 È( )1;+¥

Câu 3 [NB-TH]Cho hàm số

y= -x3+3x2-3x+2 Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?

A Hàm số luôn nghịch biến trên

B Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng (-¥;1)và 1;( +¥)

C Hàm số đồng biến trên khoảng (-¥;1) và nghịch biến trên khoảng 1;( +¥)

D Hàm số luôn đồng biến trên

Hướng dẫn giải

+) TXĐ: D=

+) y'= -3x2+6x-3= -3(x-1)2 £0 , "xÎ

Câu 4 [NB-TH]Cho hàm số y= -x4+4x2+10 và các khoảng sau:

(I) (-¥;- 2) ;(II) ( )- 2;0 ;(III)( )0; 2 Hỏi hàm số đồng biến trên các khoảng nào?

A (I) và (III) B (I) và (II) C (II) và (III) D Chỉ (I)

-4+2x Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?

A Hàm số luôn nghịch biến trên từng khoảng xác định

B Hàm số luôn nghịch biến trên

C Hàm số đồng biến trên các khoảng (-¥;2)và (2;+¥)

D Hàm số nghịch biến trên các khoảng (-¥;-2) và(-2;+¥)

'( 1)

+) lập bảng biến thiên, suy ra hàm số nghịch biến trên ( )1;5

Câu 11 [NB-TH]Cho hàm số yx33x29x15 Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai?

A Hàm số đồng biến trên B Hàm số nghịch biến trên khoảng 3;1

C Hàm số đồng biến trên  9; 5 D Hàm số đồng biến trên khoảng 5; Hướng dẫn giải

+) TXĐ: D=

+) Do y'3x26x 9 3(x1)(x3) nên hàm số không đồng biến trên

Câu 12 [NB-TH]Cho hàm số y= 3x2-x3 Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai?

A Hàm số đồng biến trên các khoảng (-¥;0)và 2;3( )

B Hàm số đồng biến trên khoảng 0;2( )

C Hàm số nghịch biến trên khoảng (-¥;2); 2; 3( )

D Hàm số nghịch biến trên khoảng 2; 3( )

ỉ

èç

ừ÷và

11p

12 ;p

ỉèç

ỉèç

ừ÷

C

0;7p12

ỉ

èç

ừ÷và

7p

12;

11p12

ỉèç

ỉèç

ừ÷và

11p

12 ;p

ỉèç

ừ÷ Hướng dẫn giải

Giải ' 0 sin 2 1 12

72

Câu 14 [NB-TH]Cho hàm số y=x+cos2x Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?

A Hàm số luơn đồng biến trên

ừ÷và nghịch biến trên khoảng

-¥;p

4+kp

ỉèç

ừ÷

ừ÷và đồng biến trên khoảng

-¥;p

4 +kp

ỉèç

ừ÷

D Hàm số luơn nghịch biến trên

Hướng dẫn giải

+) TXĐ: D= ; y '=1-sin 2x³0 , "xỴ

+) Hàm số luơn đồng biến trên

Câu 15 [NB-TH]Cho các hàm số sau:

3 21





 ;

24

y x  ;yx34xsinx và yx4x22

Cĩ bao nhiêu hàm số đồng biến trên những khoảng mà nĩ xác định?

y= x+1 x( )-2 Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai?

A Hàm số nghịch biến trên khoảng

D Hàm số nghịch biến trên khoảng (-1;1

2) và đồng biến trên khoảng (

Câu 19 [NB-TH]Cho hàm số y=x+3+2 2-x Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?

A Hàm số đồng biến trên khoảng ( )-¥;1 và nghịch biến trên khoảng ( )1;2

B Hàm số đồng biến trên khoảng (-¥;-2)và nghịch biến trên khoảng ( )-2;2

C Hàm số nghịch biến trên khoảng (-¥;-2)và đồng biến trên khoảng ( )-2;2

D Hàm số nghịch biến trên khoảng ( )-¥;1 và đồng biến trên khoảng ( )1;2

Hướng dẫn giải

+) TXĐ: D  ; 2

'2

x y

x

 



 Giải y' 0 2   x 1 x 1'

ỉèç

ừ÷ Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?

A Hàm số khơng đổi trên -p

2;

p2

ỉèç

ừ÷

B Hàm số luơn tăng trên -p

2;

p2

ỉèç

ừ÷

C Hàm số luơn giảm trên -p

2;

p2

ỉèç

ừ÷

D Hàm số đơn điệu trên -p

2;

p2

ỉèç

ừ÷ ( vừa tăng, vừa giảm trên -p

2;

p2

ỉèç

ừ÷)

cos 2 cos sin 2 sin

ỉèç

ừ÷

1.1.2 Tìm tham số, để hàm số đơn điệu

Câu 21 [NB-TH]Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số

y= x-m+2

x+1 giảm trên các khoảng mà nĩ xác định ?

A. m < 1 B m £ - 3 C m £ 1 D m < - 3

Hướng dẫn giải

+) Tập xác định:

D= \{ }-1+)

 2

1'

1

m y x





+) Để hàm số giảm trên các khoảng mà nĩ xác định Ûy'<0,"x¹-1Ûm<1

Câu 22 [NB-TH]Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số

y= -1

3x3-mx2+(2m-3)x-m+2 luơn nghịch biến trên ?

A - 3 £ m £ 1 B m £ 1 C - 3 < m < 1 D m£ -3;m³1 Hướng dẫn giải

ïỵï2

+) Để hàm số tăng trên từng khoảng xác định của nó

m³-1

m£1

ìí

î Û-1£m£1

Câu 25 [NB-TH]Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số y=(m-3)x-(2m+1)cosx

luôn nghịch biến trên ?

îï D m Î ( -¥ ;2ùû Hướng dẫn giải

m£ 23

ìíïîï

+) Trường hợp m0 , phương trình f x'( )0 có hai nghiệm phân biệt (không thỏa yên cầu bài toán)

Câu 27 [VD]Tìm giá trị nhỏ nhất của tham số m sao cho hàm số

ï

îï Û-1£m£0 +) Vậy giá trị nhỏ nhất của m để hàm số đồng biến trên là m 1

Câu 28 [VD]Tìm số nguyên m nhỏ nhất sao cho hàm số

Ûy'<0,"xÎDÛm2+3m+2<0Û-2<m< -1+) Vậy không có số nguyên m nào thuộc khoảng (-2;-1)

Câu 29 [VD]Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số y= mx+4

x+m giảm trên khoảng

Trường hợp 2.2: y'0 có hai nghiệm x x1, 2 thỏa

3 >0

ìí

ïïî

ïï

Câu 31 [VD]Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số y=x4-2(m-1)x2+m-2 đồng

biến trên khoảng

(1;3)? A

mÎ(-¥;2ùû B

mÎéë-5;2) C

mÎ(2,+¥) D

mÎ -¥( ;-5) Hướng dẫn giải

2

+) Dựa vào bảng biến thiên, kết luận: m£min g(x)Ûm£2

Câu 32 [VD]Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số y= 1

3x3-1

2mx2+2mx-3m+4 nghịch biến trên một đoạn cĩ độ dài là 3?

A m= -1; m=9 B m = - 1 C m = 9 D m=1; m= -9 Hướng dẫn giải

+) Tập xác định: D=

+) y'x2mx2m

+) Ta khơng xét trường hợp

y'£0,"xỴ vì a 1 0+) Hàm số nghịch biến trên một đoạn cĩ độ dài là 3  y'0 cĩ 2 nghiệm x x1, 2 thỏa

Câu 33 [VD]Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số y= 1-sin x

sin x-m nghịch biến trên

ừ÷ Þ f (t)= 1-t

t-mnghịch biến trên khoảng 0;

12

ỉèç

ừ÷

+) Hàm số nghịch biến trên

0;12

ỉèç

ừ÷ Û f '(t)= m-1

t-m

( )2 <0,"tỴ 0;1

2

ỉèç

ừ÷

éë

êêê

ìíïïỵ

ïï

Ûm£0 hoặc

1

2 £m<1

Câu 34 [VD]Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số y= tan x-2

tan x-m đồng biến trên

khoảng 0;p

4ỉ

èç ưø÷ ?

15



Câu 36 [VD]Tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số y  x4 (2m3)x2m nghịch

biến trên khoảng ( )1;2 là

11

Câu 37 [VD]Hỏi có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m sao cho hàm số

đồng biến trên từng khoảng xác định của nó?

+) Điều kiện tương đương là

Dg( x)= -m2+m+2£0Û m£-1

m³2

éëê

+) Kết luận: Có vô số giá trị nguyên của m thỏa yêu cầu bài toán

Câu 38 [VD]Hỏi có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m sao cho hàm số

+) Hàm số đồng biến trên (1;) khi và chỉ khi g x( )  0, x 1 và m1 (1)

Vì  'g 2(m1)2  0, m nên (1)

( ) 0

g x

  có hai nghiệm thỏa x1x2 1

Điều kiện tương đương là

Ûm£3-2 2»0,2

Do đó không có giá trị nguyên dương của m thỏa yêu cầu bài toán

Câu 39 [VD]Tìm tất cả các giá trị thực của tham số avà b sao cho hàm số

Câu 40 [VDC]Tìm mối liên hệ giữa các tham số avà b sao cho hàm số y f x( )2x a sinx b cosx

luôn tăng trên ?

1.1.3 Ứng dụng tính đơn điệu của hàm số

Câu 41 [VD]Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho phương trình 3 2

x  x  x m có đúng 1 nghiệm?

A m 27 hoặc m5 B m 5 hoặc m27

C   27 m 5 D   5 m 27

Hướng dẫn giải

+)

(1)Ûm=x3-3x2-9x= f (x)

+) Bảng biến thiên của f x( ) trên

+) Từ đó suy ra pt có đúng 1 nghiệm khi m 27 hoặc m5

Câu 42 [VD]Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho phương trình 2 x+1=x+m có

nghiệm?

Hướng dẫn giải

+) Đặt t = x+1,t³0

+) Phương trình thành: 2t       t2 1 m m t2 2t 1

+) Xét hàm số f t( )   t2 2t 1,t0;f t'( )  2t 2

+) Bảng biến thiên của f(t)

t 0 1 +∞

f’(t) + 0 -

f(t) 2

1 -∞

+) Từ đó suy ra phương trình có nghiệm khi m2

Câu 43 [VD]Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho phương trình x2-4x+5=m+4x-x2

có đúng 2 nghiệm dương?

A. -3<m< 5 B 1 m 3 C  5 m 3 D   3 m 3

Hướng dẫn giải

+) Đặt t= f (x)= x2-4x+5

+)

f '(x)= x-2

x2-4x+5

f(x)



5

27





+) f '(x)=0Ûx=2

+) Xét x0 ta có bảng biến thiên

x 0 2 +∞

m t       t t t m (1)

Nếu phương trình (1) có nghiệm t t2, 2 thì t1  t2 1 (1) có nhiều nhất 1 nghiệm t1

+) Vậy phương trình đã cho có đúng 2 nghiệm dương khi và chỉ khi phương trình (1) có đúng 1

+) Điều kiện :

x³ -1

2

+) Vì x0 không là nghiệm nên (*)Û3x2+4x-1=mx

Câu 47 [VDC]Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho phương trình

Û3 x-1

x+1+m=2 x-1

x+14

+) Ta có : f '(t)=2-6t ta có :

f '(t)=0Ût=1

3+) BBT

Câu 48 [VDC]Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho bất phương trình

(1+2x)(3-x)>m+2x2-5x+3 nghiệm đúng với mọi

xÎ -1

2;3

é ë

ê ùû

ú?

A. m < 0 B m > 0 C m < 1 D m > 1 Hướng dẫn giải

ê ùûú ÞtÎ 0;7 2

4

éë

êê

ùû

ú

ú +) Thay vào bất phương trình ta được f (t)=t2+t>m

Câu 49 [VDC]Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho bất phương trình

3( 1+x+ 3 -x)- 2 (1 +x)(3-x)³m nghiệm đúng với mọi xÎ[-1;3]?

A. m£6 2-4 B m³6 C m³6 2-4 D m£6 Hướng dẫn giải

+) Đặt

t = 1 + x + 3 - x Þ t2= 4 + 2 (1 + x)(3 - x) Û 2 (1 + x)(3 - x) = t2- 4

+) Từ bảng biến thiên ta có m£6 2-4 thỏa đề bài

Câu 50 [VDC]Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho bất phương trình

Û max3;3 2

m< 2

23

ỉèç

ừ÷

cos 2x

+3 19

ỉèç

ừ÷

+) Bpt  f x( ) f(1)2 3 x 1

+) So với điều kiện, tập nghiệm của bpt là S[1; 4]

Câu 55 [VD]Bất phương trình x2-2x+3- x2-6x+11> 3-x- x-1 có tập nghiệm

(a;bùû Hỏi hiệu b-a có giá trị là bao nhiêu?