TÍCH PHÂN HÀM LƯỢNG GIÁC I Phương pháp giải Các nguyên hàm lượng giác 2 2 2 2 cos sin cos '''' sin sin sin '''' '''' tan tan '''' cot cot sin sin xdx x C u u dx u C xdx cos x C u u dx cosu C dx u x C dx u C cos x[.]
Trang 1TÍCH PHÂN HÀM LƯỢNG GIÁC
I Phương pháp giải
Các nguyên hàm lượng giác:
'
'
xdx x C u u dx u C
xdx cos x C u u dx cosu C
Các biến đổi lượng giác:
Biến đổi hạ bậc lượng giác, tích thành tổng lượng giác, biến đổi theo góc phụ tan
2
x
t
2 2
sin
.
.
sin
.
sin
x a x b
a x bcosx a b x
A a x bcosx c
a x bcosx c a x bcosx c a x bcosx c
a x b xcosx cos x a x bt x c cos x
xcos
A a x b cos x x
a x b cos x a x b cos x
Chú ý:
1) Cận đặc biệt tích phân: đối, bù, phụ thì đặt tương ứng: , ,
2
t x t x t x
2) b .sin , b .
a P x xdx a P x cos xdx
: đặt uP x v , ' sin x hoặc cos x
b nx b nx
a e xdx a e cos xdx
: đặt ue nx, 'v sin x hoặc cos x
3) Nếu R sin ,x cosx Rsin ,x cosx thì đặt tcosx
Nếu Rsin ,x cosx Rsin ,x cosx thì đặt t sinx
Nếu R sin ,x cosx Rsin ,x cosx thì đặt t tan , cotx x
II Ví dụ minh họa
Bài toán 1 Tính tích phân:
0 2cosx sin 2x dx
0 sin
2
x dx
Giải
Trang 2a) / 2
0
/ 2 1
0 2
cosx x dx x cosx
/ 4
0
Bài toán 2 Tính tích phân:
a) /2
0 cos x cos xdx3 4
0cos xdx
Giải
cos x cos xdx cos x cosx dx
cos x cos x cos x cos x cos x cos x
0
3 8
cos xdx
Bài toán 3 Tính tích phân:
B cos x cos xdx
Giải
a) Đặt t cosx thì dt sinxdx Khi 0 1, 2
1
1 2 / 2 3
A t dt t
B cos xdx cos xdx
Đặt t sinx thì dt cosxdx x, 0 thì 0,
2
t x
thì t 1
1
0
B cos xdx x cosxdx t dt t t t
2
/ 2
0
B cos xdx cos x dx x x
15 4
Bài toán 4 Tính tích phân:
0 sin 8
0 sin
Giải
Trang 3a) Xét 2
0 sin sin 8
I x xdx thì
0
sin 8 cos 9
0
0
cos sin sin 8 cos2x sin 8
0
b) Đặt
2
x t
2
Bài toán 5 Tính tích phân:
a) /3 3
/4tan xdx
/3 2 sin tan
x xdx
Giải
t xdt xdx x t x t
b)
/ 3
0
cosx cosx
Bài toán 6 Tính tích phân:
a)
/ 2
0
sin
1
xdx cosx
/3 0
sin
xdx cos x
Giải
/ 2 1
sin
0
2
/ 3
0
d cosx xdx
cos x cos x cosx
Bài toán 7 Tính tích phân:
a)
/ 2
0 1
dx
cosx
/ 2 0
cos3 sin 1
x dx x
Giải
2
t
Trang 4Khi x 0 thì 0;
2
t x
thì t 1
2
2 1
cos x cos x cosx cos x cosx
2
Bài toán 8 Tính tích phân:
a)
/2
0
sin 2
xdx I
x cos x
/6 4 0
tan 2
x
cos x
Giải
a) Đặt t sinxdtcosxdx x, 0 thì 0,
2
t x
thì t 1
2
1
0
x cosxdx tdt
b)
cos x
Khi x 0thì 0,
6
t x
thì 1
3
t
2
3
1
t
t
t
Bài toán 9 Tính tích phân:
a)
2
0
1 cos 2
/2
0
sin 2 cos 4sin
x
Giải
2
0
b)
/2
2 2
0
/ 2
1 3sin
0
1 3sin
Bài toán 10 Tính tích phân:
Trang 5a)
/ 2
0
.
A xcosx dx
0
B x cos xdx
Giải
/ 2 0
c x
Bài toán 11 Tính tích phân:
a)
/2
2 0
sin
/ 4 2 0 tan
Giải
3
dudx v x
0
/ 2
0
b)
1 1
xdx
cos x cos x
x
Bài toán 12 Tính tích phân:
a)
/2
0
sin os
A x xc xdx
2 0
sin cos
Giải
a) Đặt ux dv, sin 2x dx
x
4
dudx v cos x
/ 2
0
Trang 6b)
3
/ 2
0
Bài toán 13 Tính tích phân:
a)
/ 2
2 0
A x cosxdx
2 / 4 0 sin
Giải
/ 2
/ 2
0
2
t x x t dx dt
Khi
2
nên
/ 2 3 0
2 sin
Đặt 3
, sin
ut dv tdt Khi đó 2
3 ,
du t dt v cost
/ 2
0
B t cost t costdt t costdt
Áp dụng tích phân từng phần 2 lần nữa thì B 3 4
Bài toán 14 Tính tích phân:
a)
4
0
sin
x cos x
x cosx
4 2
dx J
cos x x cosx
Giải
a) Ta có:
2
sin 2 2
2 cos
0
x
Tính
4
0 sin
dx J
x cosx
4
t x
Ta có:
Trang 7
2
1 2
2
sin 1
2
0
2
dx J
dt
b) Ta có:
2
tan tan 2
3 tan 1 tan
J
Đặt tanx t dx2 dt
cos x
Khi x 0 thì 0,
4
t x thì t 1
2
1
0
Bài toán 15 Tính tích phân:
a)
2
0
sin 2 5cos
3 5sin cos 2
2 3
sin 2 2sin
dx J
Giải
a) Đặt sin xt thì cos xdxdt
2
2
2 2
3 5sin 1 2 sin
4
ln 2 1 ln 2 ln 3 ln 2
b)
cos
sin 2 2sin 2sin cos 1 2 sin cos 1 2 1 cos 1 cos
0
2
J
du
Trang 8Bài toán 16 Giả sử hàm số liên tục trên đoạn [a;b] Chứng minh:
a) / 2 / 2
f x dx f x dx
2
xf x dx f x dx
Giải
a) Đặt
2
x t
dx dt x t x t
2
b) Đặt x t thì dx dt x, 0 t ,x t 0
xf x dx t f t dt f t dt tf t dt f x dx xf x dx
2 xf sinx dx f sinx dx
Bài toán 17
a) Chứng minh rằng:
1 0 limx nsin xdx 0
b) Giải phương trình: 2 2
0
1 sin cos
x t
dt
Giải
a) Với x 0;1 thì 0 x nsin xx n
Do đó:
1
1
x xdx x dx
n
Vì lim 1 0
1
0
x
dt dt t dt t t x x
Ta có phương trình: 1
Bài toán 18 Tính đạo hàm các hàm số:
a)
0 cos
x
1 3
x
G x t dt
Giải
2
x
x
Trang 9b) 2 2
' 3sin sin ' 3sin cos
Bài toán 19
0
sin ,cos
max x x dx
b) Tính f 4 biết:
2
0
cos
x
f t dtx x
Giải
b) Lấy đạo hàm 2 vế thì có 2
2xf x xsin x cos x
4
x f f