TÍCH PHÂN HÀM CĂN THỨC I Phương pháp giải Tích phân Giả sử f x liên tục trên khoảng K và ,a b K và F x là 1 nguyên hàm của f x thì b b a a f x dx F b F a F x Phương phá[.]
Trang 1TÍCH PHÂN HÀM CĂN THỨC
I Phương pháp giải
Tích phân: Giả sử f x liên tục trên khoảng K và a b, K và F x là 1 nguyên hàm của
f x thì: b b
a a
f x dxF b F a F x
Phương pháp tích phân đổi biến số:
Dạng 1: Nếu xu t có đạo hàm liên tục trên , và u a u, b thì:
.
b
a
Dạng 2: Nếu tv x có đạo hàm liên tục và f x dx g t dt thì:
v b b
Phương pháp tích phân từng phần:
Nếu u x v x , có đạo hàm liên tục trên đoạn a b; thì
b a
udvu v v du
Các dạng hàm căn thức:
b
a
dx
xm xn
b
a
k x dx
: Đặt xksint hoặc kcost
2
1
b
a x m
2
b
a
x mdx
,
u x m dvdx
b
a
dx
x
,
b
a
R x k x dx
: Đặt xksint hoặc kcost
,
b
a
R x k x dx
: Đặt xktant hoặc kcott
Trang 2 2 2
,
b
a
R x x k dx
sin
k x
t
cos
k t
;
b
n a
x
x
t x
Chú ý:
1) Biến đổi chia tách, thêm bớt, khai triển, nhân chia lượng liên hợp, trục căn ở mẫu, mũ phân số
m
n m n
a a ,…
2) Phối hợp bảng công thức, phương pháp đổi biến số để đưa về nguyên hàm, tích phân đa thức, tích phân hữu tỉ đã nêu,…
II Ví dụ minh họa
Bài toán 1 Tính tích phân:
a)
4
3 2
1
x x
3 2 0
4 1
x
x
Giải
a)
4
3 3
2
x
2
0
1
x
x
Bài toán 2 Tính tích phân:
a)
1
2
0
1
2
1
B x x dx
Giải
1 3
0
0
7 7 4 4 1
Bài toán 3 Tính tích phân:
a)
5
2
4 x
x
3 0
1 2
1 3
x
x
Giải
t x x t dx tdt
Trang 3Khi x 0 thì t 2;x 2 thì t 6
2
t
3
6
2
2
t t t
t x x t dx tdt
Bài toán 4 Tính tích phân
a)
7/3
3
0
1
3 1
x
x
3
dx L
Giải
3 1
3
t
t x x dxt dt
Khi x 0 thì 1, 7
3
t x thì t 2
4
2
t t
Bài toán 5 Tính tích phân
0
a
/ 2
0
a
dx B
Giải
a) Đặt xasint với
2 t 2
thì dxacost
Khi x 0 thì t 0,xa thì
2
t
2
a
/2
0
sin 2
t
b) Đặt xasint với
2 t 2
thì dxacostdt
Trang 4Khi x 0 thì 0;
2
a
t x thì
6
t
cos
a tdt
Bài toán 6 Tính tích phân
a)
2
0
b
dx
C
x b
0
b
D x bdx
Giải
t
2
2
b b
b b b b
dt
t
2 0
x
x b
2
1
x b b
0
ln 1 2
b
x b
Bài toán 7 Tính tích phân:
a)
2
0 4
x dx
I
x
2 0
2 1
x
Giải
t x x t xdx tdt
Khi x 0 t 2,x 1 t 3
2
t
t x x t xdxtdt
Khi x 0 t 1,x 3 t 2
2 2 2
1
t
Bài toán 8 Tính tích phân:
Trang 5a)
4
0
1 x
x
4 1/ 2
1 1
L
x x
Giải
a) Đặt x 1 dx 21dt
b)
2
2 2
2
1 1
2
x
x
2 2
1/ 2
13 3
Bài toán 9 Tính tích phân:
a)
1
3 2
0
3
1
0
1
Bx x dx
Giải
t x x t xdxtdt
6 3 8
t
A x x xdx t t tdt t t dt t
Khi x 0 thì t 0,x 1 thì
2
t
/ 2
Bài toán 10 Tính tích phân:
a)
1
0
1
1 2 0
3
B x dx
Giải
t x x t xdx tdt
Khi x 0 thì t 1,x 1 thì t 0
Trang 6
2
t
2 0
3
x
x
x
3
t x x thì tính được B 1 3ln 3
Bài toán 11 Tính tích phân:
a)
2
x dx
I
x x
/ 3
3
0
a
xdx J
Giải
x x x x x x
1
2
A B C nên
2 1
0
2
x
1
0
x
b)
/ 3
a
xdx J
1 1
a a
dt
t
Bài toán 12 Tính tích phân:
a)
4096
3 2 4
128
xdx A
6 2
dx B
Trang 7Giải
12
dt t dt
Khi x 128 thì t 2,x 4096 thì t 2
9 4
2
10 5
5 2
t t
b) Đặt t x 2 x 3
t
2 3
2 1
2 1
t
Bài toán 13 Tính tích phan:
a)
2
2
dx I
4 0
2
x
Giải
2 3
2 cos 3
du dx
u
Khi x 0 thì u 0, khi x 2 thì
3
u
Ta có
2
2 2
0
.
3
du I
u
2
cos 2sin 3 cos 2sin 3 1 sin
3 2 0
1
2
dt
Trang 83 2 0
2
dt
t
3 2
0
4 ln 2 3 ln 2 3
Vậy I 4 ln 2 3 ln 2 3
3
t
3
dx dt Khi x 0 thì t 2, khi x 4 thì t 4
2
2 2
4 2
4 1 3
t
t
t t
4 4
2
2
J
Bài toán 14 Tính tích phân:
a)
4 1
x
1
1
3 1
x
x x
Giải
2
x u u
thì dx 2cosudu
Khi x 1 thì
6
u
, khi x 2 thì
2
u
2
8sin 2sin
u u
2
2
sin
Trang 92 2
3 3
Vậy 7 2 3
8
t x x dx
Khi x 1 thì t 2, khi x 5 thì t 4
2 2
2
1
3
t
2
9 t dt t 1 t 1 dt
3
t
t t
t
Bài toán 15 Tính tích phân:
a)
2
x dx
I
64 9
Giải
I x x x dx x x dx x dx
5
4
5 5 5
x
Tính
5
0
4
x x dx
x t x t xdxtdt
Khi x 0 t 2;x 5 t 3
x x dx t t tdt t t dt t t
60 4
b) Ta có
64 9
x
Trang 10Đặt 2
2
dx
x
Đổi cận: x 9 t 2;x 64 t 3
Suy ra:
3 3
2 2
4
0 1
x
t
t
Giải
0 1
x
t
t