TÍCH PHÂN HÀM PHÂN THỨC I Phương pháp giải Công thức nguyên hàm 1 '''' ln ln u dx x C dx u C x u Với 1 1 1 '''' 1 1 x u a x dx C u u dx C Các dạng hàm hữu tỉ Dạ[.]
Trang 1TÍCH PHÂN HÀM PHÂN THỨC
I Phương pháp giải
Công thức nguyên hàm: 1dx ln x C u'dx lnu C
Với
Các dạng hàm hữu tỉ:
px qxr
4
q qr
0
b a
dx
2 2 0
b a
dx
x k : Đặt xktant
2
b a
dx
x k x k k x k x k
a
mx n
dx
px qx r
4
q qr
0
Phân tích và dùng công thức
2
2
' 0
A px qx r
- Dạng:
1
n
Chú ý:
1) Biến đổi sai phân, thêm bớt đặc biệt để phân tích nhanh,…
2) Tổng quát với hàm hữu tỉ, nếu bậc của tử lớn hơn hoặc bằng bậc của mẫu thì phải chia tách phần đa thức, còn lại hàm hữu tỉ với bậc tử bé hơn mẫu Nếu bậc của tử bé
x px q
x a x px q
II Ví dụ minh họa
Bài toán 1 Tính tích phân:
dx
x x
2 3 3 1 4
dx x
Giải
Trang 2a)
2 2
2
1 1
b)
2
3
1 3
Bài toán 2 Tính tích phân:
dx
4
3 1
x
dx
Giải
a)
2 2
x dx x x dx
Đặt 1 3 tan ,
x t t
Khi x 0 thì
6
t
, khi x 1 thì t 0
2
0
t dt dx
dt t
b) Ta có:
2
Nên 3x 1 A B x 3A B
2
5
2 ln 1 5ln 3 ln 2 2 ln 3 ln18
4
Bài toán 3 Tính tích phân:
a)
1
2
0 2
5 4
x
x
2 4
2
2 3
x
x
Giải
2 1
0 2
.
0
d x A
x x
b) Đặt t x 3 thì x 2 t 5,dxdt
Khi x 2 thì t 1,x 4 thì t 7
7
2 1
7
Trang 3Bài toán 4 Tính tích phân:
a)
9 2
10 5
x
0
1
x
x x
Giải
5
dt x dx Khi x 1 thì t 1,x 2 thì t 32
2
2 2
32
1
tdt
t
t
2
x
2
2 2
0
2
0 1
x
x x
x t t dx t dt
6
t x
, thì
3
t
2
/ 3
/ 6
x
3
J
Bài toán 5 Tính tích phân với a 0:
0
I
x a
0
a dx J
a x
Giải
0
/ 2
0
b) Đặt xa.tant với
2 t 2
1 tan
dxa t dt
Khi x 0 thì t 0,xa thì
4
t
2
1 tan
Bài toán 6 Tính tích phân:
Trang 4a)
4 2
2 0
1 4
x x
x
4 2 1
6 0
1 1
x x
x
Giải
4
x t x t
4
4 2
2
0
16 tan 2 tan 1 2 1
2
4 tan 1 1
16 tan 1 tan 16 tan 2 tan 1 2
cos t
I
Cách khác:
4
2
4
x
3 2
2
d x
tan , tan
12
J
Bài toán 7 Tính tích phân:
a)
2 3
3 2
1
x
4
1/ 3 8
xdx N
x
Giải
a)
2
1
A B C D
Từ đó tính được:
3
2
x M
x
tx thì 1
2
xdx dt
3
3
t
dt
t
t t
Bài toán 8 Tính tích phân:
Trang 5a) 1/2 4 2
dx I
7 2
7 1
1
x
x x
Giải
a) Ta có:
2
0
x I
b)
8
7 6
8
7 7
2
1
x x
d x x
x x