Dang bai tap tich phan ham da thuc

TÍCH PHÂN HÀM ĐA THỨC I Phương pháp giải Tích phân Giả sử  f x liên tục trên khoảng K và ,a b K là 1 nguyên hàm của  f x thì         b a b f x dx F b F a F x a    Tính chất     [.]

TÍCH PHÂN HÀM ĐA THỨC

I Phương pháp giải

Tích phân: Giả sử f x  liên tục trên khoảng K và a b, K là 1 nguyên hàm của f x  thì:

       

b a

b

f x dx F b F a F x

a



   

0,

,

,

f x dx f x dx f x dx

f x dx f x dx f x dx kf x dx k f x dx

f x g x dx f x dx g x dx

Nếu f x  0 trên  a b, thì b   0

a f x 

Phương pháp tích phân đổi biến số:

Dạng 1: Nếu xu t  có đạo hàm liên tục trên   ,  và u  a u,   b thì:

      ' 

b

a f x dx  f u t u t dt





Dạng 2: Nếu tv x  có đạo hàm liên tục và f x dx  g t dt  thì: b   v b     .

a f x dx v a g t dt

Phương pháp tích phân từng phần:

Nếu u x v x   , có đạo hàm liên tục trên đoạn   ,  thì: b . b .

b udv u v v du

a

Công thức nguyên hàm: dx x C kdx kx C với k là hằng số

Với



Các dạng hàm đa thức:

Dạng b  

a P x dx

 : Chia miền xét dấu P x 

Dạng b    .

a P x Q x dx

 : Khai triển tích số

Dạng b  

a x mxn dx

 : Đặt umx n

Chú ý:

1) Đối với biến số lấy tích phân, ta có thể chọn bất kì một chữ khác thay cho x:

  ,   ,

a f t dt a f u du

a f x dx

n

a b C a  b C a C a b C ab  C b



Đặc biệt:   0 0 1

0

1 n n k k n. n . n n. n

k



Mỗi cách chọn cận tích phân cho ta một hệ thức tổ hợp

II Ví dụ minh họa

1 f x dx  1, 7 f x dx 5, 7 g x dx 4

A f x dx B  f x  g x dx

Giải

A f x dx f x dx

B f x dx g x dx

Bài toán 2 Tính tích phân:

a) 1 5

0 1 2

A  x dx b) 1 3 43

B t t dt

Giải

0

1

0

A    x d  x    x 

b) Đặt 4

1

u t thì 3 3 1

4

4

du t dtt dt du Khi x 0 thì u 1,x 1 thì u 2

2

1

2

1

Bài toán 3 Tính tích phân:

2

I  x x  x dx b) 3  2 8

J  x x dx

Giải

0

1

0

I  x x  x dx x  x  x  x 

b) Đặt u x 3 thì x u 3,dxdu

Khi x 2 thì u  1,x   3 u 0

11 0

1

0

1

u





Bài toán 4 Tính tích phân:

a) 2 

I x x dx





Giải

20 4

3 3







Bài toán 5 Tính tích phân:

a) 1 

J  x x dx

Giải

a) Ta có: 1  1      1

1

0

n



2





Bài toán 6 Chứng minh rằng:

0x 1 x n dx 0 f 1 x dx

1f x dx 0 f x f x dx

Giải

a) Đặt u  1 x thì du dx x,    0 u 1,x   1 u 0

0 f x dx  1 f 1 u du 0 f 1 u du 0 f 1 x dx

b) 1   0   1  

1 f x dx 1f x dx 0 f x dx

1f x dx 1 f u du 0 f x dx

Do đó 1   1    

1 f x dx 0 f x f x dx

Bài toán 7 Giả sử hàm số f x  liên tục trên đoạn a a;  Chứng minh:

a) Nếu f là hàm số lẻ thì a   0

a f x dx

b) Nếu f là hàm số chẵn thì a   2 0a  

a f x f x dx

Giải

I f x dx f x dx f x dx

Đổi biến x t đối với tích phân 0  

a f x dx



 ta được:

a) Nếu f lẻ thì 0   0      

a f x dx a f t dt f t dt f x dx I

b) Nếu f chẵn thì 0        

a f x dx f t dt f x dx I f x dx

Bài toán 8 Xác định số b dương để tích phân b 2

a xx dx

 có giá trị lớn nhất

Giải

Xét hàm số    2

0

x

f x  tt dt

Ta có:   2  

F x  x x F x   x Lập bảng biến thiên của F x  trên 0;  thì F x  đạt giá trị lớn nhất khi x 1, do đó 1

b

Bài toán 9 Chứng minh:

 

1

n

n n

 

Giải

Ta có:

1

2

0

2 1

0

k

n

x

x



Bài toán 10 Chứng minh:

2

n n

Giải

Ta có:  

 

 2  2  1 3 3 5 5 2 1 2 1

1 x n 1 x n 2 C x C x n n C x n C n nx n

2

n n

dx C x C x C x C x  dx

Ta tính riêng 2 vế:        

1 0

1

0

dx



Và 1 

0

1

0

n n

n n

n

n

n

 







Suy ra

2

n n

Bài toán 11 Tính 1  

2

n

I  x x dx n nguyên dương:

 

n n

n





Giải

t x dt  x dx Khi x   0 t 1,x   1 t 0

   1   

1

0

0

.

1

n n

n

t







Khai triển nhị thức dưới dấu tích phân:

 

0

1

2 2

1

1

n

k

k k

n n

x

n













n n



Bài toán 12 Tìm số nguyên dương n sao cho:

n

n



Giải

Ta có:   0 1 2 2

1 x n C n C x C x n  n   C x n n n

 

1





n

x dx C C x C x C x dx

Do đó 0 22 1 1 23 1 2 2 1 1 3 1 2 1

n

Nên

n