TÍNH CHẤT TIA PHÂN GIÁC CỦA MỘT GÓC I KIẾN THỨC CƠ BẢN Định lí thuận Điểm nằm trên tia phân giác của một góc thì cách đều hai cạnh của góc đó Định lí đảo Điểm nằm bên trong một góc và cách đều hai cạn[.]
Trang 1TÍNH CH T TIA PHÂN GIÁC C A M T GÓC Ấ Ủ Ộ
I KI N TH C C B N Ế Ứ Ơ Ả
Đ nh lí thu n: ị ậ Đi m n m trên tia phân giác c a m t góc thì cáchể ằ ủ ộ
đ u hai c nh c a góc đó.ề ạ ủ
Đ nh lí đ o: ị ả Đi m n m bên trong m t góc và cách đ u hai c nh c aể ằ ộ ề ạ ủ
góc thì n m trên tia phân giác c a góc đó.ằ ủ
II BÀI T P Ậ
Bài 1: Cho ^xOy L y các đi m ấ ể A ,B thu c tia ộ Ox sao cho OA>OB L y các đi m ấ ể C , D thu c ộ Oy
sao cho OC=OA ,OD=OB G i ọ E là giao đi m c a ể ủ AD và BC Ch ng minh r ng:ứ ằ
a) AD=BC ; b) Δ ABE= ΔCDE ; c) OE là tia phân giác c a góc ủ xOy
Bài 2: Cho tam giác ABC vuông t i ạ A có ^B=60° Trên c nh ạ BC l y đi m ấ ể H sao cho HB= AB
Đ ng th ng vuông góc v i ườ ẳ ớ BC t i ạ H c t ắ AC t i ạ D
a) Ch ng minh r ng ứ ằ BD là tia phân giác c a ủ ^ABC;
b) Ch ng minh ứ Δ BDC cân
Bài 3: Cho ^xOy có tia phân giác Ot Trên tia Ot l y đi m ấ ể C b t kì L y ấ ấ A ∈Ox ,B ∈Oy sao cho OA=OB G i ọ H là giao đi m c a ể ủ AB và Ot
a) Ch ng minh ứ CA=CB và CO là phân giác c a ủ ^ACB;
b) Ch ng minh ứ OC vuông góc v i ớ AB t i trung đi m c a ạ ể ủ AB;
c) Bi t ế AB=6cm, OA=5cm Tính OH
Bài 4: Cho Δ ABC vuông t i ạ A, ( AB< AC) G i ọ M là trung đi m c a ể ủ BC Trên n a m t ph ngử ặ ẳ
b ờBC không ch a ứ A d ng tia ự Mx ⊥BC Trên tia Mx l y ấ E sao cho ME=MB
a) Tam giác BEC là tam giác gì ?
b) G i ọ H và K là chân các đ ng vuông góc k t ườ ẻ ừ E đ n các đ ng th ng ế ườ ẳ AB , AC Ch ngứ minh r ng ằ ^BEH =^ CEK ;
c) Ch ng minh r ng ứ ẳ AE là tia phân giác c a góc ủ A
Bài 5: Cho vuông cân A Trên n a m t ph ng có b BC không ch a A, v ở ử ặ ẳ ờ ứ ẽ Δ BDC
vuông D Ch ng minh r ng DA là tia phân giác c a ở ứ ằ ủ ^BDC
H t ế
HDG Bài 1: a) ΔOAD=ΔOCB (c g c)⇒ AD=CB
b) Do OA=OC ,OB=OD ⇒ AB=CD
L i có ạ ΔOAD=ΔOCB (c g.c)⇒ ^ OBC =^ ODA ⇒ ^ ABE=^ CDE
Và cũng có OAD=^^ OCB.
V y ậ Δ ABE= ΔCDE(g.c g)
y
z x
B M A
O
y
x
E D
C
A
Trang 2c) Vì Δ ABE= ΔCDE(g.c g)⇒ ^BOE=^ DOE ⇒ OE là tia phân giác c a góc ủ xOy
Bài 2: a) Xét Δ ABD và Δ HBDcó:
^
DAB=^ DHB=90° , DB chung,BA=BH
⇒ Δ ABD= Δ HBD ⇒ ^ ABD=^ HBD
⇒ BD là tia phân giác c a ủ ^
b) ^DBH =12^ABC=30°
^
DCB=90°−^ ABC=90°−60 °=30°
⇒ ^ DBH =^ DCB ⇒ Δ DBC cân t i ạ D
Bài 3:
a) Vì Ot là phân giác ^xOy nên ^AOC=^ BOC
⇒ Δ AOC =Δ BOC (c g.c)⇒ CA=CB ,^ OCA=^ OCB
⇒CO là phân giác ^ACB.
b) Do OA=OB,^AOH =^ BOH ,OHchung
nên ΔOAH =ΔOBH (c g.c),
suy ra OHA=^^ OHB=90°
và AH=BH
V y ậ OC vuông góc v i ớ AB t i trung đi m c a ạ ể ủ AB
c) Vì H là trung đi m c a ể ủ AB ⇒ AH= 12AB=3cm.
Áp d ng đ nh lí Pitago trong tam giác vuông ụ ị OHA, tính đ c ượ OH=4cm.
Bài 4: a) Δ BEC có đ ng trung tuy n ườ ế ME= 1
2BC.
⇒ ΔBEC vuông t i ạ E
M t khác ặ Δ BME vuông cân t i ạ M nên ^MBE=45°
⇒ ΔBEC vuông cân t i ạ E
b) T câu (a) suy ra ừ BE=CE.(1)
L i có:ạ
AB⊥ AC ,EK ⊥ AC ⇒ AB ∥ EK
Mà EH ⊥ AB nên EH ⊥ EK ⇒ ^ HEK =90 °
⇒ ^ HEB=^ KEC (cùng ph ụ^HEC) (2)
c) T (1) và (2) suy ra ừ Δ BHE=ΔCKE (c nh huy n – góc nh n) ạ ề ọ ⇒ EH =EK
Xét Δ AHE và Δ AKE có: ^AHE=^ AKE=90° , EH=EK và AE chung
⇒ Δ AHE= Δ AKE ⇒ ^ HAE=^ KAE
V y ậ AE là tia phân giác c a góc ủ A
K
H
E
M B
A
C
D
H C
B A
H
t C B
A
y
x O
Trang 3Bài 5:
K ẻ AE⊥BD ; AF ⊥DC
Ta có AE//CD (cùng vuông góc v i BD) mà ớ DC ⊥ AF
nên
Ta có ^BAE=^ FAC ( cùng ph v i ụ ớ ^EAC )
Ch ng minh đ c ứ ượ Δ ABE= Δ ACF (g-c-g)
Suy ra AE= AF mà AE⊥BD ; AF ⊥DC nên DA là tia
phân giác c a ủ ^BDC
F
E
C B
A
D