Hh cđ 3 2 đường trung trực của đoạn thẳng

TÍNH CHẤT ĐƯỜNG TRUNG TRỰC CỦA ĐOẠN THẲNG I KIẾN THỨC CƠ BẢN Định nghĩa đường trung trục Đường trung trực của một đoạn thẳng là đường thẳng vuông gó với đoạn thẳng ấy tại trung điểm của nó Trên hình v[.]

TÍNH CH T Đ Ấ ƯỜ NG TRUNG TR C C A ĐO N TH NG Ự Ủ Ạ Ẳ

I KI N TH C C B N Ế Ứ Ơ Ả

Đ nh nghĩa đ ị ườ ng trung tr c ụ : Đ ng trung tr c c a m tườ ự ủ ộ

đo n th ng là đ ng th ng vuông gó v i đo n th ng y t iạ ẳ ườ ẳ ớ ạ ẳ ấ ạ

trung đi m c a nó.ể ủ

Trên hình v bên, ẽ d là đ ng trung tr c c a đo n th ng ườ ự ủ ạ ẳ AB Ta

cũng nói: A đ i x ng v i ố ứ ớ B qua d

Đ nh lí 1 ị : Đi m n m trên đ ng trung tr c c a m t đo n th ng thì cách đ u hai mút c a ể ằ ườ ự ủ ộ ạ ẳ ề ủ

đo n th ng đó.ạ ẳ

Đ nh lí 2 ị : Đi m cách đ u ai mút c a m t đo n th ng thì n m trên đ ng trung tr c c a ể ề ủ ộ ạ ẳ ằ ườ ự ủ

đo n th ng đó.ạ ẳ

thu c đ ng trung tr c c a ộ ườ ự ủ AB

T p h p các đi m cách đ u hai mút c a m t đo n th ng là đ ng trung tr c c a đo n th ngậ ợ ể ề ủ ộ ạ ẳ ườ ự ủ ạ ẳ đó

II BÀI T P Ậ

Bài 1: Cho tam giác ABC, đ ng phân giác AD Trên tia AC l y đi m E sao cho ườ ấ ể

Ch ng minh r ng AD vuông góc v i BEứ ằ ớ

Bài 2: Tam giác ABC vuông t i ạ A có ^C=30°. Trên tia đ i c a tia ố ủ AC l y đi m ấ ể D sao cho

AD= AC Tính s đo góc ố ^DBC

Bài 3: Cho 3 tam giác cânMAB , NAB, PABcó chung đáy AB Ch ng minh ứ M ,N , P th ng hàng.ẳ

Bài 4: Cho tam giác ABC có ^A=600, M là đi m n m gi a B và C V đi m E sao cho AB là ể ằ ữ ẽ ể

đ ng trung tr c c a ME, đi m F sao cho AC là đ ng trung tr c c a MF.ườ ự ủ ể ườ ự ủ

a) Ch ng minh trung tr c c a EF đi qua A.ứ ự ủ

b) Ch ng minh ứ BE+CF=BC

c) Tính các góc c a tam giác AEF.ủ

d) EF c t AB, AC l n l t t i I, K Ch ng minh MA là phân giác c a góc IMK.ắ ầ ượ ạ ứ ủ

e) Ph i cho góc A c a tam giác ABC b ng bao nhiêu đ đ A là trung đi m c a EF.ả ủ ằ ộ ể ể ủ

Bài 5: Cho Δ ABC góc A nh n, đ ng cao ọ ườ AH L y các đi m ấ ể P và Q l n l t đ i x ng v i ầ ượ ố ứ ớ H

qua AB , AC

d

H

M

B A

a) Ch ng minh ứ AP= AQ.

b) Cho ^BAC=60° Tính s đo góc ố ^PAQ

c) Ch ng minh ứ ^API=^ AHI và ^AHK=^ AQK

d) G i ọ I , K l n l t là giao đi m c a ầ ượ ể ủ PQ v i ớ AB , AC Ch ng minh ứ HA là tia phân giác c aủ

^

IHK

Bài 6: Cho tam giác ABC có ^A=900 Trên tia BA l y đi m M sao cho ấ ể BM=BC Phân giác c a ủ góc ABC c t AC t i I, MC K Tia MI c t BC H.ắ ạ ở ắ ở

a) Ch ng minh BI là trung tr c c a AH và AH // MC.ứ ự ủ

b) Ch ng minh ứ AK+KH =CM

c) N u ế ^K A H=600, tính ^ABC=600

Bài 7: Cho tam giác ABC có ^A=900, AB< AC, AH là đ ng cao HM, HN l n l t là đ ngườ ầ ượ ườ phân giác c a tam giác ABH và ACH G i I là trung đi m c a MN Tia AI c t BC K.ủ ọ ể ủ ắ ở

a) Ch ng minh ứ MN =AK và I là trung đi m c a AK.ể ủ

b) Ch ng minh tam giác MAN là tam giác vuông.ứ

H t ế

HDG Bài 1:

Δ ABD=Δ AED (c.g.c) ⇒ DB= DE (1)

E A

C

Theo gi thi t:ả ế AB= AE (2)

T (1) và (2), ta ch ng minh đ c AD là đ ng trung tr c c a BE Suy ra ừ ứ ượ ườ ự ủ AD⊥ BE

⇒ ^ BDA= ^ C=30° ⇒ ^ DBC=180 °−60°=120°

Bài 3:

Vì Δ MAB cân t i M ạ ⇒ MA=MB⇒ M ∈đ ng trung tr cườ ự c a ủ

đo n th ng ạ ẳ AB

Δ NAB cân t i N ạ ⇒ NA=NB ⇒ N ∈đ ng trung tr c c a đo n th ng ườ ự ủ ạ ẳ AB

Δ PAB cân t i P ạ ⇒ PA=PB ⇒ P ∈đ ng trung tr c c a đo n th ng ườ ự ủ ạ ẳ AB

⇒ th ng hàng.ẳ

Bài 4:

a) Vì AB là trung tr c c a EM ự ủ

Vì AC là trung tr c c a MF ự ủ ⇒ AF= AM

đ ng trung tr c c aườ ự ủ

EF hay đ ng trung tr c c a EF đi qua A.ườ ự ủ

b) Vì AB là trung tr c c a EM ự ủ

Vì AC là trung tr c c a MF ự ủ ⇒CF=CM

Có BC=BM+CM=BE+CF ⇒ BC=BE+CF

c) Xét Δ AEM cân t i A có AB là đ ng trung tr c ạ ườ ự ⇒

AB là phân giác ^E A M ⇒ ^ E A B=^ MAB

Xét Δ AFM cân t i A có AC là đ ng trung tr c ạ ườ ự

⇒AC là phân giác FA M^ ⇒ ^FAC=^MAC

Có:

^

BAC=^ BAM +^ MAC

Vì Δ A E F cân t i A và ạ

d) Vì K ∈ trung tr c MF ự ⇒ KM =KF ⇒ △ KMF cân t i K ạ ⇒ ^ KMF=^ KFM

Δ AFM cân t i Aạ ⇒ ^ AMF=^ AFM

⇒ ^ AMK =^ AFKVì I ∈ trung tr c ME ự ⇒ ℑ=IE ⇒ △ IEM cân t i I ạ ⇒ ^ IEM =^ ℑ E

Δ AEM cân t i Aạ ⇒ ^ AME=^ AEM

⇒ ^ AEI =^ AMIMà ^A E I=^ AFK ⇒ ^ AMK=^ AMI ⇒MA là phân giác c a ủ ^

e) Đ A là trung đi m c a EF ể ể ủ ⇒ ^ EAF=1800

mà ^EAF=2^ BAC ⇒ ^ BAC=900

30o

B

A

K I

F

E

A

B

C M

Bài 5:

a) T gi thi t suy ra ừ ả ế AP= AH và AQ= AH nên AP= AQ.

b) Ta có:

c) Δ API =Δ AHI (c.c.c)⇒ ^ API =^ AHI (1).

Δ AHK =Δ AQK (c.c.c)⇒ ^ AHK =^ AQK (2).

d) Có AP= AQ ⇒ Δ PAQ cân ⇒ ^ API =^ AQK (3).

T ừ(1),(2) và (3) suy ra ^AHI=^ AHK

⇒ HA là tia phân giác c a ủ ^IHK

Bài 6: Δ MBI= ΔCBI (c g c) ⇒ ^ BMI=^ BCI

Δ BHM= ΔBAC (g−c−g) ⇒ BA=BH hay Δ BAH cân t i B có phânạ

giác BI nên BI đ ng th i là đ ng trung tr c c a AH ồ ờ ườ ự ủ ⇒ BI ⊥ AH

BK là phân giác trong tam giác cân MBC cân t i B nên ạ BK cũng là

đ ng trung tr c c a đo n ườ ự ủ ạ MC ⇒ BK ⊥MCmà B ,I ,K th ng hàngẳ

⇒ BI ⊥ MC

T đó suy ra AH // MCừ

b) Tam giác AMC vuông t i A, trung tuy n AK nên ạ ế AK=KC=KM= 12MC

Δ BHM= ΔBAC (cmt)⇒ ^ BHM =90° ⇒ ^ CHM=90°

Tam giác CHM vuông t i H, đ ng trung tuy n KC nên ạ ườ ế HK=KC=KM= 1

2MC

T đó suy ra ừ AK+KH =CM

[ L u ý: Xem l i bài 5 – Phi u C304: Tính ch t 3 đ ư ạ ế ấ ườ ng trung tuy n c a tam giác] ế ủ

c) N u ế ^K A H=600 thì Δ AHK đ u (vì ề AK=HK )

^AKM=^ HKC=60° ⇒ Δ AKM ; Δ HKC là các tam giác đ uề

⇒ ^ AMK =^ HCK=60° ⇒ ^ BMC=^ BCM =60°

Suy ra tam giác BMC đ u hay ề ^ABC=600

K I

P

Q

H

A

H

K I

M

B