Với điều kiện của tham số m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất, hãy tìm nghiệm của hệ bằng cách chỉ ra hệ phương trình cơ sở và sử dụng quy tắc Cramer để giải hệ phương trình cơ sở [r]
Trang 1TRƯỜNG ĐH KINH TẾ QUỐC DÂN
Khoa toán kinh tế- Khóa 52
Đề số 5231
Thời gian 90’
Bài 1 Cho phép biến đổi tuyến tính của không gianR4
a Tìm m để phép biến đổi tuyến tính trên không suy biến
b Ký hiệu T là ma trận của phép biến đổi tuyến tính trên, khi T không suy biến hãy tìm phần tử thuộc dòng 2 cột 3 của ma trận nghịch đảo của T
c Biểu diễn phép biến đổi tuyến tính trên ở dạng ma trận từ đó tìm ảnh của vectơ
(1, 2, 0,3)
X qua phép biến đổi tuyến tính trên
d Hãy tính 1 3 * 4
(với *
M là ma trận phụ hợp của ma trận M)
Bài 2 Biến đổi dạng toàn phương sau đây về dạng chính tắc :
f x x x x x x x x x
Bài 3 Cho các ma trận
0 3 2 1
2 1 3 2
1 2 5 2
0 2 1 2
A
2 2 3 4
1 1 4 5
4 4 1 2
B
a Tìm một cở sở của hệ vectơ cột của B
b Tìm phần tử thuộc dòng 2 cột 3 của ma trận '
BAB
c Cho C là một ma trận vuông cấp 3 không suy biến, hãy tìm hạng của ma trận 3
C B
d Tìm nghiệm tổng quát của hệ tuyến tính thuần nhất nhận B làm ma trận hệ số Hãy cho biết số chiều của không gian nghiệm của hệ trên đồng thời chỉ ra một hệ nghiệm cơ bản của nó
Bài 4.Cho ma trậnAvuông cấp n (n ≥ 1) thỏa mãn điều kiện :
2010
n nx
A O
Trang 2Đề số 5232
Thời gian 90’
Bài 1 Cho phép biến đổi tuyến tính của không gian 4
R
3
e Tìm m để phép biến đổi tuyến tính trên không suy biến
f Ký hiệu T là ma trận của phép biến đổi tuyến tính trên, khi T không suy biến hãy tìm phần tử thuộc dòng 3 cột 4 của ma trận nghịch đảo của T
g Biểu diễn phép biến đổi tuyến tính trên ở dạng ma trận từ đó tìm ảnh của vectơ
( 1, 2, 0, 3)
X qua phép biến đổi tuyến tính trên
h Hãy tính 1 * 2 3
(với *
M là ma trận phụ hợp của ma trận M)
Bài 2 Biến đổi dạng toàn phương sau đây về dạng chính tắc :
f x x x x x x x x x
Bài 3 Cho các ma trận
3 0 2 1
2 0 4 2
2 1 5 3
1 2 1 2
A
1 1 1 3
3 1 1 5
11 5 1 21
B
e Tìm một cở sở của hệ vectơ cột của B
f Tìm phần tử thuộc dòng 1 cột 3 của ma trận '
BAB
g Cho C là một ma trận vuông cấp 3 không suy biến, hãy tìm hạng của ma trận 2
C B
h Tìm nghiệm tổng quát của hệ tuyến tính thuần nhất nhận B làm ma trận hệ số Hãy cho biết số chiều của không gian nghiệm của hệ trên đồng thời chỉ ra một hệ nghiệm cơ bản của nó
Bài 4.Cho ma trậnAvuông cấp n (n ≥ 1) thỏa mãn điều kiện :
2010
n nx
A O
Chứng minh rằng ma trận 2 3
r A r AA A
Trang 3Đề số 5233
Thời gian 90’
Bài 1 Cho phép biến đổi tuyến tính của không gian 4
R
4
i Tìm m để phép biến đổi tuyến tính trên không suy biến
j Ký hiệu T là ma trận của phép biến đổi tuyến tính trên, khi T không suy biến hãy tìm phần tử thuộc dòng 3 cột 4 của ma trận nghịch đảo của T
k Biểu diễn phép biến đổi tuyến tính trên ở dạng ma trận từ đó tìm ảnh của vectơ
(1, 2, 0,3)
X qua phép biến đổi tuyến tính trên
l Hãy tính 1 2 * 3
(với M* là ma trận phụ hợp của ma trận M)
Bài 2 Biến đổi dạng toàn phương sau đây về dạng chính tắc :
f x x x x x x x
Bài 3 Cho các ma trận
2 1 3 1
4 0 2 2
1 1 2 1
4 0 1 4
A
2 1 1 3
8 9 1 7
1 3 1 1
B
i Tìm một cở sở của hệ vectơ cột của B
j Tìm phần tử thuộc dòng 3 cột 1 của ma trậnBAB'
k Cho C là một ma trận vuông cấp 3 không suy biến, hãy tìm hạng của ma trận 3
C B
l Tìm nghiệm tổng quát của hệ tuyến tính thuần nhất nhận B làm ma trận hệ số Hãy cho biết số chiều của không gian nghiệm của hệ trên đồng thời chỉ ra một hệ nghiệm cơ bản của nó
Bài 4.Cho ma trậnAvuông cấp n (n ≥ 1) thỏa mãn điều kiện :
2010
n nx
A O
Chứng minh rằng ma trận 2 3 4
r A r AA A A
Trang 4Đề số 5234
Thời gian 90’
Bài 1 Cho phép biến đổi tuyến tính của không gian 4
R
2
3
m Tìm m để phép biến đổi tuyến tính trên không suy biến
n Ký hiệu T là ma trận của phép biến đổi tuyến tính trên, khi T không suy biến hãy tìm phần tử thuộc dòng 2 cột 3 của ma trận nghịch đảo của T
o Biểu diễn phép biến đổi tuyến tính trên ở dạng ma trận từ đó tìm ảnh của vectơ
(1, 2, 0,3)
X qua phép biến đổi tuyến tính trên
p Hãy tính 1 * 2 3
(với M* là ma trận phụ hợp của ma trận M)
Bài 2 Biến đổi dạng toàn phương sau đây về dạng chính tắc :
f x x x x x x x x x
Bài 3 Cho các ma trận
2 3 0 3
1 3 1 2
2 1 0 2
3 2 1 4
A
5 4 6 16
2 1 3 2
3 2 0 4
B
m Tìm một cở sở của hệ vectơ cột của B
n Tìm phần tử thuộc dòng 2 cột 3 của ma trậnBAB'
o Cho C là một ma trận vuông cấp 3 không suy biến, hãy tìm hạng của ma trận 4
C B
p Tìm nghiệm tổng quát của hệ tuyến tính thuần nhất nhận B làm ma trận hệ số Hãy cho biết số chiều của không gian nghiệm của hệ trên đồng thời chỉ ra một hệ nghiệm cơ bản của nó
Bài 4.Cho ma trậnAvuông cấp n (n ≥ 1) thỏa mãn điều kiện :
2010
n nx
A O
Chứng minh rằng ma trận 2
r A r AA
Trang 5Đề số 5238
Thời gian 90’
Bài 1 Cho ma trận
2 1 3 1
2 1 2 m
1 3 1 2
3 4 2 1
A
a Tùy theo m hãy tìm hạng của ma trận A
b Tìm m để phần tử trên dòng 1, cột 4 của ma trận phụ hợp của A có giá trị bằng 9
c Nếu ma trận A khả nghịch thì hệ vectơ dòng của ma trận phụ hợp của A độc lập tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính? Giải thích tại sao?
Bài 2 Cho ma trận
1 2 3
2 4 1
3 1 2
B
q Biết rằng Blà ma trận của một phếp biến đổi tuyến tính f của 3
R , hãy tìm vectơ
3
XR sao cho f X( ) E1 2E2 4E3 (trong đóE E E1 , 2 , 3là cơ sở đơn vị của 3
R )
r Tìm ma trận 2
3
CE BB (E là ma trận đơn vị cùng cấp với B)
Bài 3 Cho P là ma trận vuông thỏa mãn 2
P O Hãy tìm ma trận nghịch đảo của ma trận (3PE) ? (E là ma trận đơn vị cùng cấp với P)
Bài 4 Cho hệ phương trình tuyến tính :
a Tìm m để hệ phương trình có nghiệm.Khi đó hệ phương trình có nghiệm duy nhất hay
vô số nghiệm ? Gỉa thích tại sao ?
b Tìm một hệ nghiệm cơ bản của hệ phương trình tuyến tính thuần nhất liên kết với hệ phương trình nói trên
Bài 5 Tìm k để dạng toàn phương sau đây xác định âm
Trang 6Đề số 5240
Thời gian 90’
Bài 1 Cho ma trận
2 3 1 2
4 m 3 1
3 1 2 1
2 2 4 2
A
d Tùy theo m hãy tìm hạng của ma trận A
e Tìm m để phần tử trên dòng 3, cột 4 của ma trận phụ hợp của A có giá trị bằng -3
f Nếu ma trận A khả nghịch thì hệ vectơ dòng của ma trận phụ hợp của A độc lập tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính? Giải thích tại sao?
Bài 2 Cho ma trận
3 4 2
1 3 2
1 2 3
B
s Biết rằng Blà ma trận của một phếp biến đổi tuyến tính f của 3
R , hãy tìm vectơ
3
XR sao cho f X( ) 2E1 3E2 2E3 (trong đóE E E1 , 2 , 3là cơ sở đơn vị của 3
R )
4
CE BB (E là ma trận đơn vị cùng cấp với B)
Bài 3 Cho P là ma trận vuông thỏa mãn 2
M O Hãy tìm ma trận nghịch đảo của ma trận (4M E) ? (E là ma trận đơn vị cùng cấp với M )
Bài 4 Cho hệ phương trình tuyến tính :
c Tìm m để hệ phương trình có nghiệm.Khi đó hệ phương trình có nghiệm duy nhất hay
vô số nghiệm ? Giải thích tại sao ?
d Tìm một hệ nghiệm cơ bản của hệ phương trình tuyến tính thuần nhất liên kết với hệ phương trình nói trên
Bài 5 Tìm k để dạng toàn phương sau đây xác định âm
2 2 2
f x x x x x kx x x x x x x
Trang 7Đề số 5245
Thời gian 90’
Bài 1 Cho các vectơ:X1 2, 1,1, 0 ; X2 (1, 3,1, 1); X3 0, 2,1, 5
g Tìm vectơ B thỏa mãn điều kiện: 3(BX1 2X2) 2(X3 2 )B 2X1
h Gọi A là ma trận các vectơ X X1, 2,X3 thứ tự là các vectơ cột và coi Blà ma trận cột Hãy giải phương trình ma trận : AX B
Bài 2 Cho hệ phương trình tuyến tính (với m là tham số thực) :
1 2 2
mx y
x my
u Chúng minh rằng hệ phương trình trên có nghiệm khi và chỉ khi định thức của ma trận
mở rộng của hệ phương trình bằng không
v Với điều kiện của tham số m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất, hãy tìm nghiệm của hệ bằng cách chỉ ra hệ phương trình cơ sở và sử dụng quy tắc Cramer để giải hệ phương trình cơ sở đó
Bài 3 Cho ma trận vuông cấp 4 :
1 0 1 2
3 1 0 2
1 2 1 2
2 1 1 3
D
e Tính định thức của ma trận D
f Tìm điều kiện của k để vectơ dòng bất kỳ của ma trận D đều có thể biểu diễn tuyến tính qua các vectơ dòng bất kỳ của ma trận
g Tìm các thành phần của định thức của ma trậnD chứa k2
Bài 4 Cho phép biến đổi tuyến tính 3 3
:
F R R như sau :
x x x1 , 2 , 3 (x1 x x2 , 2 x x3 , 3 x1 )
Và dạng toàn phương 2 2
f x x x x x x x x
a Tìm ma trận của phếp biến đổi ngược của phép biến đổi tuyến tính F
b Tìm dạng toàn phương nhận được từ dạng toàn phương f qua phép biến đổi tuyến tính
F
Bài 5 Cho ví dụ minh họa về hai ma trận A B, khác ma trận đường chéo mà AB5 3E