Báo Cáo Bài Tập Lớn Môn%0Agiải Tích 1.Pdf

ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN MÔN GIẢI TÍCH 1 NHÓM L23 18 TP HCM, 12 2022 ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA NHÓM L23[.]

ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA

BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN MÔN

GIẢI TÍCH 1

NHÓM L23_18

TP HCM, 12-2022

ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA

NHÓM L23_18 GVHD: Trần Ngọc Diễm

LỜI CẢM ƠN

Lời đầu tiên nhóm xin gửi lời cảm ơn chân thành đến tập thể sư phạm trường Đại học Bách khoa

đã tạo điều kiện hết mức để nhóm có thể học tập, trao đổi kinh nghiệm cùng thầy cô và bè bạn trong suốt thời gian qua Bên cạnh đó, thông qua những bài tập lớn được giao, các thành viên trong nhóm đã trở nên trường thành hơn, trau dồi thêm nhiều kĩ năng, khám phá được nhiều điềumới mẻ, tạo tiền đề cho việc nghiên cứu khoa học trong tương lai

Trong suốt quá trình thực hiện bài tập lớn môn Giải tích 1, nhóm đã phải trăn trở trước nhiều vấn

đề Nhưng nhờ những sự chỉ dẫn kịp thời từ cô Trần Ngọc Diễm cùng các sinh viên trong trường, nhóm đã hoàn thành bài tập một cách hiệu quả, đúng tiến độ và giải quyết hiệu quả những vướng mắc gặp phải Sự hướng dẫn của cô đã là kim chỉ nam cho mọi hành động của nhóm và phát huy tối đa được mối quan hệ hỗ trợ giữa cô và trò trong môi trường giáo dục

Lời cuối, xin một lần nữa gửi lời biết ơn sâu sắc đến các cá nhân, các thầy cô đã dành thời gian chỉ dẫn cho nhóm Đây chính là niềm tin, nguồn động lực to lớn để nhóm có thể đạt được kết quả này.

Mục lục danh mục hình ảnh

Hình 1 1 D(x) là một hàm cầu 5

Hình 1 2 Xấp xỉ thặng dư của người tiêu dùng bằng các hình chữ nhật r1,r2,…,rn 5

Hình 1 3 Thặng dư người tiêu dùng 6

Hình 1 4 S(x) là một hàm cung 7

Hình 1 5 Thặng dư của nhà sản xuất 7

Hình 1 6 Hàm cung và hàm cầu khi thị trường cân bằng 8

Hình 1 7 Khoảng thời gian [0, T ] được phân chia thành 9

Hình 1 8 Đường cong Lorentz 13

Hình 1 9 Đường cong Lorentz càng gần với đường thẳng thì phân phối thu nhập càng công bằng 14

Hình 1 2 Xấp xỉ thặng dư của

người tiêu dùng bằng các hình

chữ nhật r¬1,r2,…,rn

1.CÁC ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH

ĐỐI VỚI NỀN KINH TẾ.

Ở phần này, chúng em sẽ nghiên cứu về một số ứng dụng của tích phânxác định trong lĩnh vực kinh tế và kinh doanh

Thặng dư của người tiêu dùng và nhà sản xuấtĐầu tiên, chúng em sẽ sử dụng một công thức để tính toán thặng dư của người tiêu dùng Giả sử như: p=D(x)là một hàm cầu (demand function) với p là giácủa một loại hàng hóa nào đó và xlà lượng nhu cầucủa nó

Ngoài ra, giả sử giá thị trường của hàng hóa là đơn vị cố định p và tương ứng với giá này là lượng cầu là x (Hình 1.1) Chúng em thấy rằng, những người tiêu dùng sẽ sẵn sàng trả một đơn giá p cao hơn pcho hàng hóa theo lô sẽ được hưởng một khoản tiết kiệm Sự khác biệt giữa những người tiêu dùng sẵn sàng trả cho xđơn vị theo lô và những

gì họ thực sự trả cho họ được gọi là thặng dư của người tiêu dùng

Để thu được công thức tính thặng dư của người tiêu dùng, chúng em sẽchia khoảng thời gian [0 , x] thành n khoảng nhỏ, mỗi khoảng có độ dài

∆x=x/n, và biểu diễn các điểm cuối bên phải của các khoảng này bởi cácđiểm x1,x2 , , x n=x (Hình 1.2)

Quan sát trong Hình 2, chúng em dễ thấy rằng có những người tiêu dùng sẽ trả một đơn giá ít nhất D(x1)đô la cho lượng ∆ xđầu tiên của hàng hóa thay vì giá thị trường p đô la trên một đơn vị Chúng ta có thểước lượng được lượng tiết kiệm của những người tiêu dùng này như sau:

D(x1)∆ x – p∆ x=[D(x1)− p]∆ x

Hình 1 1 D(x) là một hàm cầu

Và nó cũng chính là diện tích của hình chữ nhật r1.Tiếp tục quan sát, chúng em thấy rằng khoản tiết kiệm của những người tiêu dùng sẵn sàng trả một đơn giá ít nhất là D(x2)đô la cho x đơn vị tiếp theo (từ x1

đến x2) của hàng hóa, thay vì giá thị trường của pđô la trên một đơn vị, được ước lượng là:

(Consumer ' surplus)CS=∫

0

x

D(x)dx− p x(1)

trong đó: D là hàm cầu, p là đơn giá thị trường và x là số lượng đã bán

Thặng dư của người tiêu dùng được xác định bằng diện tích của miền được giới hạn bởi đường cong p=D(x) và đường thẳng p= ptừ x=0đến

x=x(Hình 1.3) Chúng ta cũng có thể thấy điều này nếu chúng ta viết lạiphương trình (16) dưới dạng:

∫

0

x

và biểu diễn kết quả dưới dạng hình học

Hình 1 3 Thặng dư người tiêu dùng

Tương tự, chúng ta cũng có thể có được một công thức để tính toán thặng dư của các nhà sản xuất Giả sử p=S(x)là hàm cung với đơn giá p của một hàng hóa nhất định và lượng x củahàng hóamà nhà sản xuất sẽ cung cấp trên thị trường tại thời điểm đó.

Một lần nữa, giả sử giá thị trường cố định p đã được thiết lập cho hànghóa và, tương ứng với đơn giá này, một lượng xđơn vị hàng hóa sẽ được nhà sản xuất cung cấp cho thị trường (Hình 1.4) Sau đó, các nhà sản xuất sẵn sàng bán hàng hóa có sẵn ở mức giá thấp hơn để thu lợi từthực tế Sự khác biệt giữa những gì mà các nhà sản xuất thực sự nhận được và những gì họ sẵn sàng nhận được được gọi là thặng dư của các nhà sản xuất Tương tự như thặng dư của người tiêu dùng, chúng ta thấy rằng thặng dư của các nhà sản xuất được định nghĩa như sau:Thặng dư của người sản xuất được cho bởi công thức:

(Producers ' surplus)PS=p x−∫

0

x

S(x)dx(2)

trong đó S(x) là hàm cung, p là đơn giá thị trường và x là lượng cung

Về mặt hình học, thặng dư của các nhà sản xuất được xác định bởi diệntích của miền giới hạn bằng đường thẳng p= pvà đường cong p=S(x)từ

trong đó p là đơn giá (tính bằng đô la) và x là lượng cầu (tính bằng đơn

vị một nghìn) Hàm cung cho những chiếc tivi này được cho bởi:

Nhắc lại: giá cân bằng là đơn giá của hàng hóa khi thị trường cân bằng Chúng em xác định giá cân bằng bằng cách lấy giao điểm của hai đườngcong CS và PS (Hình 1.6) Để giải hệ phương trình:

CS=∫

0

180

(−0.0002 x2+200)dx−(180) (193.52)=777,6

hay $777,600 ( x được đo bằng đơn vị nghìn.)

Tiếp theo, sử dụng công thức (2), chúng ta thấy rằng thặng dư của nhà sản xuất được cho bởi:

Hình 1 6 Hàm cung và hàm cầu khi

thị trường cân bằng

phân xác định có thể được sử dụng để xác định số tiền tích lũy, hoặc tổng số này trong tương lai dòng thu nhập trong một khoảng thời gian Tổng giá trị tương lai của một dòng thu nhập mang lại cho chúng ta mộtcách để đo lường giá trị của một luồng như vậy Để tìm tổng giá trị tương lai của một

dòng thu nhập, giả sử:

R(t) Tỷ lệ tạo thu nhập tại bất kỳ thời điểm nào t Đô la mỗi năm

r Lãi suất ghép lãi liên tục

Kỳ hạn T NămHãy chia khoảng thời gian [0, T] thành n khoảng thời gian con có độ dài bằng nhau t T/n

và biểu thị các điểm cuối bên phải của các khoảng này bằng t1, t2, ,

tn T, như trong Hình 1.7

Hãy chia khoảng thời gian [0,T] thành n khoảng thời gian con có độ dài bằng nhau Δt= T n và biểu thị các điểm cuối bên phải của các khoảng bởi t1, t2, , tn = T, như được biểu thị ở hình 6

R là hàm liên tục trên [0,T], sau đó R(t) sẽ không khác nhiều với R(t1)

trong khoảng con [0,t1] với điều kiện là khoảng con nhỏ (điều này đúngnếu n lớn) Do đó, thu nhập được tạo ra trong khoảng thời gian [0,t1] xấp xỉ

Hình 1 7 Khoảng thời gian [0, T

] được phân chia thành

đô la Nhưng, tổng này chỉ là tổng của Rieman của hàm e rT¿trong khoảng [0,T] với các điểm đại diện t1, t2,…, tn Để n tiến đến vô cùng,

ta thu được kết quả ở dưới

Tích luỹ hoặc tổng giá trị tương lai của một dòng thu nhập

Giá trị tích luỹ, hoặc tổng giá trị tương lai sau T năm của một dòng thu nhập của R(t) đô la mỗi năm, hưởng lãi suất r mỗi năm được gộp liên tục, được cho bởi

= −1,000 e0.08 0.4(e−0.4 −1 ¿≈6,147.81

hoặc xấp xỉ $6,147

Một cách khác để đo lường giá trị của dòng thu nhập bằng cách xem xét giá trị hiện tại Giá trị hiện tại của dòng thu nhập của R(t) đô la mỗi năm trong thời hạn T năm, nhận lãi suất liên tục r mỗi năm, là tiền gốc

P sẽ mang lại cùng giá trị tích luỹ như dòng thu nhập khi P được đầu tư hôm nay cho giai đoạn T năm cùng với lãi suất giống nhau Nói cách khác,

P e rT =e rT∫

0

T

R(t)e −rt dt

Chia cả hai vế cho e rTcho được kết quả như trên

Giá trị hiện tại của dòng thu nhập

Giá trị hiện tại của dòng thu nhập của R(t) đô la mỗi năm, kiếm được lãisuất liên tục r mỗi năm, được cho bởi

GIẢI

Vì số vốn ban đầu là $300,000, chúng ta sử dụng phương trình (19) với R(t) = $300,000, r=0.06, T=5, để tìm giá trị tức thời của lãi thuần khi chọn kế hoạch A

TỔNG GIÁ TRỊ VÀ GIÁ TRỊ HIỆN TẠI CỦA MỘT NIÊN KIM

Một niên kim là một chuỗi các khoản thanh toán được thực hiện theo các khoảng thời gian đều đặn Khoảng thời gian mà các khoản thanh toán này được thực hiện được gọi là kỳ hạn của niên kim Mặc dù các khoản thanh toán không nhất thiết phải bằng nhau về quy mô, nhưng chúng bằng nhau trong nhiều ứng dụng quan trọng và chúng ta sẽ cho rằng chúng bằng nhau trong cuộc thảo luận của mình Ví dụ về niên kim

là tiền gửi định kì vào tài khoản tiết kiệm, thanh toán thế chấp nhà hằng tháng và thanh toán bảo hiểm hằng tháng.

Tổng giá trị của một niên kim là tổng các khoản thanh toán và tiền lãi kiếm được Công thức tính tổng giá trị của một niên kim A có thể suy ra với sự trợ giúp của (3) Để cho

P = quy mô của mỗi khoản thanh toán vào niên kim

r = lãi kép

T = kỳ hạn của niên kim (tính bằng năm)

m = số lần thanh toán mỗi năm

Các khoản thanh toán vào niên kim tạo thành dòng thu nhập không đổi R(t) = mP dollar mỗi năm Thay giá trị R(t) này vào (18), ta có:

Điều này dẫn đến công thức sau đây

Tổng giá trị của một niên kim

Tổng giá trị của một niên kim là

A=mP r (e rT−1) (5)

Trong đó P, r, T, m có ý nghĩa như ở trên

VÍ DỤ ÁP DỤNG 4 Tài khoản hưu trí cá nhân (IRA) Năm 1995, Peter đã gửi $3000 vào tài hưu trí cá nhân với lãi kép là 9%/năm Giả sử anh ấy tiếp tục gửi vào tài khoản $3000 mỗi năm, hãy tính số tiền trong tài khoản ấy vào năm 2015

Khám phá cùng công nghệNhắc về ví dụ 4 Giả sử Peter muốn biết số tiền anh ấy có trong tài khoản hưu trí ở bất kì thời điểm nào trong tương lai, không chỉ ở năm 2015.

Sử dụng công thức (3) và những số liệu từ ví dụ 4 cho thấy số tiền tại mọi thời điểm x (x tính bằng năm, x>0) làA=f (x)=33333(e 0.09x−1)

Dùng công cụ vẽ đồ thị để vẽ đồ thị của f, cửa sổ quan sát [0,30] x [2000, 400,000]

Dùng phóng đại (Zoom) và tìm kiếm (Trace), hoặc sử dụng tính năng ước lượng hàm số của công cụ vẽ đồ thị để kiểm tra kết quả tìm được ở

VÍ DỤ ÁP DỤNG 5 Tony là CEO của một công ty đa quốc gia,anh muốn thành lập một quỹ mà anh ấy có thể rút 10000$ mỗi năm trong 12 năm tới.Nếu quỹ kiếm được lãi suất 5% mỗi năm thì cần bao nhiêu tiền để thành lập quỹ?

Giải: Ta sử dụng công thức (6) với P = 10000$, m = 1, r = 0,05

PV = 10,0000.05 ¿

Vậy Tony cần khoảng 90.238 đô la để thành lập quỹ

Đường cong Lorentz và phân phối thu nhậpMột phương pháp được các nhà kinh tế sử dụng để nghiên cứu phân phối thu nhập trong một xã hội dựa trên đường cong Lorentz, được đặttheo tên của nhà kinh tế học người Mĩ M.D.Lorentz Để mô tả đường cong Lorentz Đặt f(x) biểu thị tỷ lệ của tổng thu nhập nhận được bởi 100x% dân số nghèo nhất ( ) Sử dụng thuật ngữ này, f(0.3) =

Hình 1 8 Đường cong Lorentz

0.1 chỉ đơn giản cho biết 30% người nhận thu nhập thấp nhất nhận được 10% tổng thu nhập.

Hàm f có những tính chất sau:

1) Miền xác định của f là [0,1]

2) Miền giá trị của f là [0,1]

3) f(0) = 0 và f(1) = 14) f(x) x với mọi x [0,1]

5) f(x) tăng trên đoạn [0,1]

Hai tính chất đầu tiên xuất phát từ thực tế là cả x và f(x) đều là phân số của một tổng thể.Tính chất số 3 là một nhận xét cho biết 0% người nhận thu nhập nhận được 0% tổng thu nhập và 100 % người nhận thu nhập nhận được 100% tổng thu nhập.Tính chất số 4 xuất phát từ thực

tế là 100x% người nhận thu nhập không nhân được hơn 100x% tổng thu nhập.Một đường cong Lorentz điển hình được thể hiện trong hình 1.8

VÍ DỤ ÁP DỤNG 6 Phân phối thu nhập của một nước đang phát triển được mô tả bởi một hàm:

rõ ràng là đường Lorentz càng gần với đường này thì phân phối thu nhập giữa những người nhận thu nhập càng công bằng Nhưng khoảng cách của đường cong Lorentz với đường bình đẳng được phản ánh bởidiện tích giữa đường cong Lorentz và đường thẳng y= x (Hình 1.9) Đường cong càng gần đường biểu diễn thì diện tích càng nhỏ Quan sát này cho thấy rằng chúng ta có thể xác định một số, được gọi là hệ số bất bình đẳng của đường cong Lorentz, là tỷ lệ của diện tích giữa

Hình 1 9 Đường cong Lorentz

càng gần với đường thẳng thì

phân phối thu nhập càng công

bằng

đường bình đẳng và đường cong Lorentz đến diện tích nằm dưới

đường bình đẳng.Hệ số bất bình đẳng được cho bởi công thức:

2.BÀI TẬP

1 Giải lại ví dụ 1 có sử dụng tiện ích vẽ đồ thị

Sừ dụng Geogebra dễ dàng tìm được điểm cân bằng là (300,160)

Sau đó áp dụng công thức tính thặng dư người tiêu dùng như đã trình bày trong phần lý thuyết

Nhập lệnh: (int (-0.001x^2+250)dx from 0 to 300)-48000 lên https://www.wolframalpha.com/

Ta thu được kết quả như sau

Dễ dàng tìm được CS=18000 Vậy thặng dư của người tiêu dùng là $18.000.000

Tượng tự đối với thằng dư nhà sản xuất Áp dụng công thức tính thặng dư nhà sản xuất như đã trình bày trong phần lý thuyết

Dễ dàng tìm được PS=11700 Vậy thặng dư của nhà sản xuất là $11.700.000

3 Đề bài

Hàm cầu của một thương hiệu đồng hồ báo thức du lịch là:

Trong đó là giá bán đơn vị tính là Đô-la và là lượng cầu mỗi tháng, đơn vị tính là nghìn.Hàm cung của thương hiệu đồng hồ này là:

Trong đó có cùng ý nghĩa với trước đó và là số lượng, tính theo hàng nghìn

Nhà cung cấp sẽ cung cấp đồng hồ trên thị trường hàng tháng Xác định thặng dư của người tiêu dùng và thặng dư của nhà cung cấp khi giá trị thị trường ở mức cân bằng

Giải

Ta có

Hàm cầu của một thương hiệu đồng hồ báo thức du lịch là:

(1)Hàm số thể hiện khả năng cung cấp đồng hồ của thương hiệu này là:

(2)

Khi thị trường cân bằng ta có (1) = (2)

Giải phương trình t được nghiệm là = 12 ứng với giá trị là:

Vậy điểm cân bằng là (12, 4.96); tức lượng đồng hồ cân bằng là 12000 cái và giá cân bằng là 4.96 Đô-la Giá thị trường mỗi chiếc đồng hồ báo thức du lịch sẽ là 4.96 Đô-la

Sử dụng công thức tính thặng dư của nhà sản xuất, với và ta được:

Hay $2,880 (2880 Đô-la, do được tính bằng đơn vị nghìn)

Sử dụng công thức tính thặng dư của người tiêu dùng, với và ta được:

Hay $33,120.

5 Đề Bài

Khoản đầu tư A được kì vọng sẽ tạo ra thu nhập với tỷ lệ

Đô-la/năm trong 5 năm tới và khoản đầu tư B dự kiến sẽ tạo thu nhập với tỷ lệ

Đô-la/năm trong cùng một khoảng thời gian trên Nếu lãi suất hiện hành cho 5 năm tiếp theo là 10%/năm, khoản đầu tư nào sẽ tạo ra thu nhập ròng cao hơn vào cuối năm trong 5 năm tới ?Giải

Áp dụng công thức tính giá trị hiện tại của một dòng thu nhập (giá trị hiện tại của một dòng thu nhập mỗi năm, thu được tiền lãi với tỷ lệ mỗi năm cộng gộp liên tục) có dạng:

Lên lần lượt các khoản đầu tư A và B t được:

Thu nhập ròng sau 5 năm của khoản đầu tư A là:

Do không tìm được nguyên hàm nên đã sử dụng sự hỗ trợ của máy tính, tìm được kết quả:

 Trình bày rõ ràng, đảm bảo về bố cục và nội dung tổng thể

 Đã biết ứng dụng phần mềm Geogebra kết hợp với Wolframalpha trong việc trình bày ý tưởng các bài toán và ví dụ minh họa

 Ví dụ trực quan, đơn giản, dễ hiểu

 Hình ảnh minh họa trực quan, làm nổi bật được ý tưởng được trình bày

 Khuyết điểm:

 Một số nội dung dịch còn chưa được sát nghĩa với sách

 Vì hạn chế về kĩ năng và thiết bị, nhóm chưa thể trình bày bằng Latex, mô phỏng các ví dụ bằng phần mềm còn chưa tối ưu

 Một số phần trên báo cáo trình bày chưa bắt mắt về hình thức

c Kết luận: Với sự phân công chuẩn bị kỹ lưỡng và cố gắng hết mình, nhóm đã hoàn thành đề tài được giao và cho ra kết quả như mong muốn Qua phần bài tập lớn này nhóm đã:

 Biết được thao tác giải toán và mô phỏng trên Geogebra và Wolframalpha

 Nâng cao được sự hứng thú đối với môn học

 Trau dồi kỹ năng học tập và làm việc nhóm

 Nâng cao tinh thần trách nhiệm và thắt chặt tình đoàn kết của các thành viên trong nhóm

 Rèn luyện khả năng tự nghiên cứu