Microsoft Word - Hsg Toan 9 Tp Bmt 2020-2021.Doc

Microsoft Word HSG TOAN 9 TP BMT 2020 2021 doc GGGVVV NNNggguuuyyyễễễnnn DDDưưươơơnnnggg HảHảHảiii ––– TTTHHHCCCSSS NNNggguuuyyyễễễnnn CCChhhííí TTThhhaaannnhhh ––– BBBMMMTTT ––– ĐĐĐăăăkkk LLLăăăkkk ([.]

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TP BUÔN MA THUỘT

-

ĐỀ CHÍNH THỨC

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THCS CẤP THÀNH PHỐ NĂM HỌC 2020-2021

MÔN: TOÁN

Thời gian: 150 phút (không tính giao đề)

Ngày thi: 15/01/2021

Bài 1 (3,0 điểm)

P

a) Rút gọn P Tìm x nguyên để P 0

b) Tìm x để Q 1

P

 nhỏ nhất

Bài 2 (5,0 điểm)

a) Giải phương trình sau:

x  x  x  x  x  x  x x 

b) Phân tích thành nhân tử 3 3 3 3

xyz x y z c) Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình sau: 2    

y x x x x d) Cho a b c d  thỏa mãn , , , 1 abcd 4 Tìm giá trị nhỏ nhất (GTNN) của biểu thức

P

Bài 3 (3,0 điểm)

Cho đường thẳng  d1 :y x 2 và đường thẳng    2  2

d y m m xm m

a) Tìm điều kiện của m để     d1 // d2

b) Gọi A là điểm thuộc   d1 có hoành x  2 Viết phương trình đường thẳng   d3 đi qua A và vuông góc với   d1

c) Khi     d1 // d2 Hãy tính khoảng cách giữa hai đường thẳng     d1 , d2

d) Tính khoảng cách từ gốc tọa độ O đến đường thẳng   d1 và diện tích tam giác OMN với M, N lần lượt là giao điểm của   d1 với các trục tọa độ

Bài 4 (4,0 điểm)

a) Cho tam giác nhọn ABC M là điểm nằm trong tam giác Xác định vị trí điểm M để

MA BC MB CA MC AB   đạt giá trị nhỏ nhất

b) Cho tam giác ABC và hình bình hành AMPN sao cho các điểm M, N lần lượt thuộc các cạnh AB,

AC Điểm P nằm trong tam giác ABC Gọi Q là giao điểm của AP và BC Xác định vị trí điểm P để

AM AN PQ

AB AC AQ

  đạt giá trị lớn nhất

Bài 5 (5,0 điểm)

Cho hai đường đường tròn  O R ;  có hai dây AB, AC vuông góc với nhau và ACR 3 Gọi H là hình chiếu của A trên BC ; E, F lần lượt là hình chiếu của H lên AB, AC

a) Chứng tỏ AB2AC2 4R2 Tính khoảng cách từ tâm O đến AB, AC

b) Trên đoạn AC lấy điểm J sao cho  3 1

2

R AJ



 Vẽ dây QS vuông góc với AC tại J Chứng tỏ

QS = AC

c) Chứng minh BE CH CF BH AH BC

d) Gọi D là điểm đối xứng của B qua H Đường thẳng đi qua D và vuông góc với BC cắt AC tại K Chứng minh rằng: BK vuông góc với AO

- Hết -

BÀI GIẢI SƠ LƯỢC

Bài 1: (3,0 điểm)

P

a) Rút gọn P Tìm x nguyên để P 0

b) Tìm x để Q 1

P

 nhỏ nhất

a) (ĐK: x0;x4;x ) 9

  

P

     

: 1



x

Vì x 0 nên x 1 0

x



 Do đó P0 x 2 00x4 x 1; 2; 3 (vì xZ)

b) Vì x 0 nên P 0, do đó 1

P luôn xác định

1

x

Vậy MinQ 2 34 khi x  4 2 3

Bài 2: (5,0 điểm)

a) Giải phương trình sau:

x  x  x  x  x  x  x x 

b) Phân tích thành nhân tử 3 3 3 3

xyz x y z c) Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình sau: 2    

y x x x x d) Cho a b c d  thỏa mãn , , , 1 abcd 4 Tìm giá trị nhỏ nhất (GTNN) của biểu thức

P

x  x  x  x  x  x  x x 

VT  x  x   x  x   x  x  x  x  x

         Dấu “=” xảy ra khi 3

2

x 

12 3 2 4 12 9 6 2 3 6

3 2

x 

Vậy nghiệm của phương trình là x 3

b)  3 3 3 3    2   2    2 2

xyz x y z  yz  xyz  xyz xx  yz y yzz

  2 2 2    2  2  2 2

2

y z x y z xy yz zx x xy zx x y yz z 

y z  x xy yz zx  y z x xy yz zx x y y z z x

y x x x x  y  x  x x  x

4y 2x 16x 7 49 2x 16x 7 4y 49 2x 16x 7 2y 2x 16x 7 2y 49

Vì x y, nguyên dương, nên 2 2

2x 16x 7 2 ; 2y x 16x 7 2y nguyên dương

và 2x216x 7 2y2x216x 7 2y Do đó ta có trường hợp sau:

  

2

2

12

2 16 7 2 1

2 16 7 2 1 2 16 18 0

2 16 7 2 49

y





1

0 12

x

do x y









Vậy nghiệm nguyên dương của phương trình là x y ;  1; 12

d) Với a b  Ta chứng minh , 1 1 1 2  *

1a1b1 ab

 

       

       

    

       

    

    

    

   

    

2

1 0

; luôn đúng với ,a b  1

P

4

a b c d

a b c d abcd







Bài 3: (4,0 điểm)

Cho đường thẳng   d1 : y   x 2 và đường thẳng    2  2

d y  m  m x  m  m

a) Tìm điều kiện của m để     d1 // d2

b) Gọi A là điểm thuộc   d1 có hoành x  2 Viết phương trình đường thẳng   d3 đi qua A và vuông góc với   d1

c) Khi     d1 // d2 Hãy tính khoảng cách giữa hai đường thẳng     d1 , d2

d) Tính khoảng cách từ gốc tọa độ O đến đường thẳng   d1 và diện tích tam giác OMN với M, N lần lượt là giao điểm của   d1 với các trục tọa độ

a)       

2

//

2





1

1 1

2 2

m

m m

 











b) Tung độ điểm A là y   2 2  4, nên A  2; 4 

Phương trình đường thẳng   d3 có dạng y  ax  b Vì   d3 đi qua A và vuông góc   d1 , nên có:



Vậy phương trình đường thẳng   d3 : y    x 6

c) Phương trình đường thẳng  2

1 :

4

+)   d1 : y   x 2 cắt trục hoành tại   2; 0  và cắt trục tung tại  0; 2 

+)  2

1 :

4

d y   x cắt trục hoành tại 1

; 0 4

  và cắt trục tung tại

1 0;

4



Gọi h h1, 2 lần lượt là khoảng cách từ gốc tọa độ O đến     d1 , d2 , ta có :

 2  2 1

2

1

2 2

h

2

32

32 8

h



   

   

Vậy khoảng cách giữa     d1 , d2 là : 1 2 2 9 2

2

d) Khoảng cách từ gốc tọa độ O đến   d1 là h 1 2 (đvđd)

Ta có M   2; 0 ,  N  0; 2  Vậy 1 1

OMN

Bài 4: (2,0 điểm)

a) Cho tam giác nhọn ABC M là điểm nằm trong tam giác Xác định vị trí điểm M để

MA BC MB CA MC AB   đạt giá trị nhỏ nhất

Gọi I là giao điểm của AM và BC ;

Kẻ BH  AI, CK  AI (H, K  AI) BHBI CK, CI

AMB

AMC

S  MA CK  MA CI

AMB AMC

S S  MA BI  MA CI  MA BI CI  MA BC

2 AMB AMC

Chứng minh tương tự MB CA 2S AMBS BMC;MC AB 2S AMCS BMC

Do đó MA BC MB CA MC AB   2S AMBS AMCS AMBS BMC S AMCS BMC4S ABC

Đẳng thức xảy ra









là trực tâm ABC

b) Cho tam giác ABC và hình bình hành AMPN sao cho các điểm M, N lần lượt thuộc các cạnh AB,

AC Điểm P nằm trong tam giác ABC Gọi Q là giao điểm của AP và BC Xác định vị trí điểm P để

AM AN PQ

AB AC AQ

  đạt giá trị lớn nhất

K

H

I

A

M

Gọi E là giao điểm của MP và BC; F là giao điểm của NP và BC

 

 

AQ BQ

   ; ACQ PE: //AC PQ EQ  d

AQ CQ

Từ    c , d PQ FQ EQ FQ EQ FE  e

AQ BQ CQ BQ CQ BC





Từ       a , b , e

3

1

3

3 3

BC

BC

1 3

BC

PQ AQ



 



 



là trọng tâm ABC

Bài 5: (6,0 điểm)

Cho hai đường đường tròn  O R ;  có hai dây AB, AC vuông góc với nhau và AC  R 3 Gọi H

là hình chiếu của A trên BC ; E, F lần lượt là hình chiếu của H lên AB, AC

a) Chứng tỏ AB2  AC2  4 R2 Tính khoảng cách từ tâm O đến AB, AC

b) Trên đoạn AC lấy điểm J sao cho  3 1 

2

R

AJ   Vẽ dây QS vuông góc với AC tại J Chứng

tỏ QS = AC

c) Chứng minh BE CH  CF BH  AH BC

d) Gọi D là điểm đối xứng của B qua H Đường thẳng đi qua D và vuông góc với BC cắt AC tại K Chứng minh rằng: BK vuông góc với AO

O

P

K N M

S

Q

F

E

J

H

A

a) Chứng tỏ AB2  AC2  4 R2 Tính khoảng cách từ tâm O đến AB, AC

ABC BAC AB AC

   , nội tiếp đường tròn (O)  BC là đường kính của O, nên BC2R

Q

N M

A

P

Do đó 2 2 2  2 2

AB  AC  BC  R  R

AC R

ON  AC AN CN  

2

2

90

AMN MAN ANO gt , nên tứ giác AMON là hình chữ nhật 3

2

R

OM AN

b) Trên đoạn AC lấy điểm J sao cho  3 1 

2

R AJ



 Vẽ dây QS vuông góc với AC tại J Chứng tỏ QS =

AC

R

Gọi P là giao điểm của OM và QS Vì QS  AC, AB  AC (gt) nên QS // AB

mà OM  AB  OM  QS hay OP  QS

90 ,

ONJ  NJPJPO JN ON cmt

Vậy tứ giác ONJP là hình vuông OP = ON, lại có OP  QS, ON  AC (gt)

 QS = AC (liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây)

c) Chứng minh BE CH  CF BH  AH BC

ABC BAC AH BC gt AB BH BC AC CH BC

BEH

BEH  AHC  gt BHE  ACH HE AC

Tương tự CFH AHB  CF CH CF AB AH CH

Do đó

BE AC CF AB AH BH AH CH AH BC

AH BC

d) Gọi D là điểm đối xứng của B qua H Đường thẳng đi qua D và vuông góc với BC cắt AC tại K Chứng minh rằng: BK vuông góc với AO

2

R

OM AB AB AM  ON   R

 

:

    , vậy OAB đều, mà AH OB  O đối xứng B qua H DO

ABK

 và OBK:   0 

BAK BOK  gt BK (cạnh chung), ABOB cmt 

Vậy ABK  OBK (cạnh huyền – c.g.v)  KA = KO

Lại có BA = BO (cmt), nên BK là trung trực của AO BK AO (đpcm)