Microsoft Word Dinh ly Ptolemy doc 1 ðịnh Lý Ptolemy1 “Ptolemy’s Theorem 2 ” – Dr Kin Yin LI Khoa Toán, ðH Khoa Học và Kỹ Thuật Hong Kong 1 Giới thiệu Nếu cho bốn ñiểm trong mặt phẳng, thì khả năng ch[.]
Trang 11
ðịnh Lý Ptolemy 1
“Ptolemy’s Theorem 2 ” – Dr Kin-Yin LI Khoa Toán, ðH Khoa Học và Kỹ Thuật Hong Kong
1 Giới thiệu
Nếu cho bốn ñiểm trong mặt phẳng, thì khả năng chúng thẳng hàng hoặc cùng thuộc một ñường tròn là rất ít Vì thế, có một số ñiều kiện ñặc biệt cho những ñiều này xảy ra Một trong những ñiều kiện ñó là ñịnh lý Ptolemy
2 ðịnh lý Ptolemy
Cho bốn ñiểm phân biệt , , ,A B C D cùng thuộc một mặt phẳng Khi ñó
ðẳng thức xảy ra khi và chỉ khi , , ,A B C D thẳng hàng hoặc A C, tương ứng với B D, cùng thuộc một ñường tròn
Một chứng minh rất ñơn giản của ñịnh lý này là sử dụng số phức Giả sử , , ,a b c d là các số
phức tương ứng với các ñiểm , , ,A B C D Vì (b−a d)( − +c) (d−a c)( −b) (= −c a d)( −b), do ñó,
sử dụng bất ñẳng thức tam giác, ta có
AB CD+AD BC= −b a d− + −c d a c− ≥ −b c a d− =b AC BD
Từ bất ñẳng thức tam giác, ta có ñẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
(b−a d)( −c)=t d( −a c)( −b), trong ñó t là một số thực dương
Trong trường hợp này, thì (d−a) (b−a) là một thừa số dương của (d−c) (c−b) Do ñó
arg d−a b−a =arg d−c c−b hay 0
180
DAB= −DCB Nghĩa là , , ,A B C D thẳng hàng hoặc ,A C tương ứng với ,B D cùng thuộc một ñường tròn ðịnh lý Ptolemy có hai hệ quả quan trọng sau ñây
Hệ quả 1 Cho ABCD là tứ giác nội tiếp, với ABC là tam giác ñều Khi ñó BD=AD+CD
Chứng minh Vì tứ giác ABCD nội tiếp nên AB CD +AD BC =AC BD Do AB=BC=CA
nên từ ñẳng thức này ta thu ñược BD= AD+CD
Hệ quả 2 Cho ABCD là tứ giác nội tiếp và 0
90
ABC=ADC= Khi ñó BD=ACsinBAD
Chứng minh Ta có ACsinBAD=ACsin(BAC+DAC)=(BC AD +AB CD ) AC=BD
Ta sẽ nêu một số ví dụ minh họa cho việc áp dụng ñịnh lý Ptolemy cùng các hệ quả của nó
3 Một số ví dụ
Bài toán 1 [IMO 1995] Cho ABCDEF là một lục giác lồi có
,
60
Giả sử G và H là hai ñiểm bên trong lục giác sao cho AGB=DHE=1200 Chứng minh rằng
Lời giải Gọi X Y là các ñiểm nằm ngoài lục giác sao cho các tam giác , ABX DEY ñều Khi ,
ñó lục giác ABCDEF ñồng dạng với DBXAEY và CF=XY Ta có
180
Do ñó, AXBG và DHEY là các tứ giác nội tiếp Sử dụng hệ quả 1, ta có
1
Người dịch: Cao Minh Quang, GV THPT chuyên Nguyễn Bỉnh Khiêm, Vĩnh Long, Việt Nam E-mail: kt13quang@yahoo.com
2
Kin –Yin LI, “Ptolemy’s Theorem”, Mathematical Excalibur, Vol.2, No.4, 1996
Trang 22
Bài toán 2 [IMO 1996] Cho P là một ñiểm nằm trong tam giác ABC sao cho
APB−ACB=APC−ABC Gọi D E, lần lượt là tâm ñường tròn nội tiếp của các tam giác APB APC, Chứng minh rằng các ñường thẳng AP BD CE ñồng quy , ,
Lời giải Ta cần chứng minh ñường phân giác của các góc ABP ACP, cắt AP tại cùng một
ñiểm Gọi X Y và , Z lần lượt là chân các ñường vuông góc hạ từ ñiểm P xuống BC CA AB , , Khi ñó, AZPY BXPZ CYPX là các tứ giác nội tiếp Ta có , ,
APB−ACB=YAP+XBP=YZP+XZP=YZX Tương tự ta cũng chứng minh ñược APB−ABC=XYZ Từ ñó suy ra XZ=XY
Sử dụng hệ quả 2, ta có BPsinABC=XZ=XY=CPsinACB
Do ñó BP CP=sinACB sinABC=AB AC hay AB BP=AC CP
Từ tính chất về ñường phân giác, suy ra BD và CE cắt nhau tại một ñiểm thuộc AP
Bài toán 3 [Bất ñẳng thức Erdos - Mordell] Cho P là một ñiểm trong tam giác ABC và , ,
d d d là khoảng cách từ P ñến BC CA AB Chứng minh rằng , ,
PA+PB+PC≥ d +d +d ðẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ABC là tam giác ñều và P là tâm của tam giác
Lời giải Gọi X Y Z lần lượt là chân các ñường vuông góc hạ từ P xuống , , BC CA AB Sử , , dụng hệ quả 2 hoặc ñịnh lý sin và ñịnh lý cosin, ta có
PA BAC=YZ= d +d − d d −A = d +d − d d B+C
= (d bsinC+d csinB)2+(d bsinC−d csinB)2 ≥d bsinC+d csinB
sin
PA
A
+
,
Cộng các bất ñẳng thức trên, chú ý rằng x+1x≥2 với mọi x>0, ta ñược
sin sin
2 sin sin
cyc
ðẳng thức xảy ra khi chỉ khi A=B=C và d a=d b=d c hay ABC là tam giác ñều và P là
tâm của tam giác
Bài toán 4 [IMO 1991] Cho P là một ñiểm trong tam giác ABC.Chứng minh rằng ít nhất một trong các góc PAB PBC PCA , , nhỏ hơn hoặc bằng 0
30
Lời giải Giả sử rằng không có góc nào trong ba góc trên nhỏ hơn hoặc bằng 30 Nếu một 0 trong ba góc ñó lớn hơn 0
150 thì hai góc còn lại ñều nhỏ hơn 30 , mâu thuẫn Do ñó, ta có thể giả 0
sử ba góc cùng lớn hơn 30 và cùng nhỏ hơn 0 150 Gọi 0 d a là khoảng cách từ P ñến BC, thì
2d a=2PBsinPBC>2PBsin 30 =PB
Tương tự, ta cũng có 2d b>PC, 2d c>PA Cộng các bất ñẳng thức này, ta thu ñược
2 d a+d b+d c >PA+PB+PC (mâu thuẫn với bất ñẳng thức Erdos – Mordell) Tóm lại, ít nhất một trong các góc PAB PBC PCA, , nhỏ hơn hoặc bằng 0
30