(Microsoft Word C\342u 2 doc) Câu 1 (4,0 điểm) Cho hàm số 3 23 3( 6) 1 (1)y x mx m x= − + + + a) Tìm m để hàm số (1) có cực đại và cực tiểu b) Khi hàm số (1) có cực đại và cực tiểu, tìm m để điểm ( )3[.]
Trang 1Câu 1 (4,0 điểm)
Cho hàm số: y=x3 − 3mx2 + 3(m+ 6)x+ 1 (1)
a) Tìm m để hàm số (1) có cực đại và cực tiểu
b) Khi hàm số (1) có cực đại và cực tiểu, tìm m để điểm M(3;5) nằm trên đường thẳng đi qua các điểm cực đại và cực tiểu của đồ thị hàm số
Giải:
Ta có: y' 3 = x2 − 6mx+ 3(m+ 6)
a) Hàm số (1) có cực đại và cực tiểu
↔ − + + = có 2 nghiệm phân biệt
2
' 0
6 0 2
3
m
m
↔ ∆ >
↔ − − >
< −
↔
>
b) Với m < −2 hoặc m >3
Giả sử hàm số đạt cực trị tại x x1, 2→y x'( )1 = y x'( ) 02 =
Ta có:
1
m
→
suy ra phương trình đi qua 2 điểm cực trị A x y( ; ), ( ; )1 1 B x y2 2 là:
y= − m −m− x+m + m+
Để M(3;5) ( ) ∈ d ↔ 5 = − 6(m2 −m− 6) +m2 + 6m+ 1
2 -5m 12 32 0 4
8 5
m m
m
=
↔ = −
So sánh với điều kiện m < −2 hoặc m >3 ta thấy m =4
Vậy: m =4
1 chút:
Đây là một bài toán cơ bản Nếu đề bài không yêu cầu làm ý a thì ta cũng phải làm ý này ở ý b Bài toán này hay xuất hiện trong các đề thi đại học những năm gần đây Đề bài có thể cho nghiệm của phương trình y =' 0 đẹp khi đó sẽ kiểm tra được mức độ tư duy của học sinh hơn Vì kể cả trong trường hợp nghiệm đẹp
đi nữa học sinh thay vào tìm y cũng đủ mệt nếu không làm theo cách như trên
Câu 2 ( 4,0 điểm)
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
CAO BẰNG
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THCS, THPT CẤP
TỈNH NĂM HỌC 2013 - 2014
Ha Nguyen
http://violet.vn/nguyenkimhoi
MÔN: TOÁN - Cấp: THPT
Thời gian: 180 phút (không kể thời gian giao đề)
(Đề gồm 01 trang )
Trang 2a) Giải phương trình:
2
1 cos 2 sin 2 2cos cos 2 2cos 2sin cos 2 cos cos 2
cos 0 (1) cos (cos sin cos 2 ) 0
cos sin cos 2 0 (2)
x
=
2
x= ↔x=π +kπ k∈ + Giải (2):
(2) cos sin (cosx sinx)(cosx sinx) 0 (cosx sinx)(1 cosx sinx) 0 cos sin 0(VN)
cos sin 1 cos sin 1
Đến đây thì phương trình cơ bản rùi bậc nhất đối với sin và cos
1 chút: Nhìn vào đề bài thấy 1 vế có sin2x một vế có cosx đoán khả năng có nhân tử cosx Ah lại còn thấy thêm 1+cos2x nữa thì chắc chắn là nhân tử chung cosx rùi ( Nếu đề bài để số 1 cách xa cos2x ra có khi lại hay)
b) Giải hệ:
2 2
2
0
(I)
1
(II)
x y
y
y
↔
+ =
= +
− = −
+ Giải hệ (I): 30, 0 2
y
− = −
Thế x= 0,y= 0 vào phương trình còn lại không thỏa mãn Vậy (I) vô nghiệm + Giải hệ (II)
2
2
3
2
3 2 2
3
1
1
2 1
1 1
2
1
2 ( 1) 1 0(III) 1
1
1 2
y
x y
y y
y y y
y
− = −
= +
=
=
≥
≥
2
Giải hệ (III) Ta có:
Trang 33 2
3 2
y y y
≥ + + >
→ + + + >
Do đó hệ (III) vô nghiệm
Vậy: nghiệm của hệ phương trình đã cho là: ( 2;1);( − 2;1)
1 chút: Hệ này hay Lúc biến đổi ngờ ngợ có nhân tử chung 2 2
x +y biến đổi thấy okie Thế là làm ra! Sau đó biến đổi và thế vào Dù là bậc 6 nhưng lại nhẩm được nghiệm → sướng
Câu 3 (3,0 điểm)
Cho phương trình: .4x 2.9x 5.6x
m + = ( m là tham số, x ∈ ) a) Giải phương trình với m =3.
b) Tìm m để phương trình có nghiệm duy nhất
Giải: PT 2 2 5. 2 2 0(*)
↔ − + =
a) Với m =3 Phương trình đã cho trở thành:
2
1
0 3
1
x
x
x x
↔ + = ↔ − + =
=
=
=
=
3
x
t
= >
2
(*) ↔mt − 5t+ 2 0(**) =
Để (*) có nghiệm duy nhất:
+ (**) có đúng 1 nghiệm dương: vớim =0: 2 0
5
t = > →m= 0 thỏa mãn
+ (**) có nghiệm kép dương ↔
0
25
8
m m
m
≠
≠
+ (**) có 2 nghiệm trái dấu ↔ 0
0
m
m m
≠
↔ <
<
Vậy: để phương trình (*) có nghiệm duy nhất thì: 25
8
m = hoặc m ≤0
1 chút:
Ý a là ý cơ bản chỉ việc chia cho 9x là okie ( thực ra chia cho 3 , 6x x đều được Nhưng cô giáo khuyên nên chia cho cái nào có cơ số lớn nhất Đừng hỏi tại sao nhé!)
Ý b sẽ có nhiều học sinh làm xót giá trị của m Thật đấy
Câu 4 (4,0 điểm)
Trang 4Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với
, D 2,
AB=a A =a SA=a và SA vuông góc với mặt phẳng (ABC D) Gọi M và
N lần lượt là trung điểm của AD và SC, I là giao điểm của BM và AC
a) Chứng minh rằng MB⊥AC
b) Tính thể tích khối tứ diện ANIB
Giải:
a
I
a a
a
aaaa 3 3
1
2 1
1
aaaa 2222
N M
C
N
I M
C
D
S
D
S
a) Xét tam giác vuông ∆ABC, ∆MAB có:
2
2
2
a
Ta có: 0
M +A =A +C = → MB⊥ AC
b) Vì BI ⊥ AC,BI⊥SA→BI ⊥ (SAC) do đó tứ diện ANIB có BI là đường cao
3 3
AB BC a a
Xét tam giác vuông SAC→SC= SA2 +AC2 = a2 + 3a 2 = 2a
Vì N là trung điểm SC nên:
S
2
SC
NA=N =NC= =a,
2
3 3 2
a a
AB AM
MB
a
Tam giác SNA đều → A =3 300
3
1 . sin 1 . 3sin 30 3
ANI
1 chút:
a) Ý này thực ra kiểm tra lại kiến thức THCS Dạng này cũng thường xuất hiện trong các đề thi đại học những năm gần đây May nhé vì dạng này
mình làm quen rùi
Cho học sinh làm bài này các trò làm như sau ( chỗ em nhé):
Trang 50
2
2 2
a
a
Vì góc trong tam giác < 180 0 →k = 0
→ = rồi làm tương tự trên
b) Ui za Tính toán linh tinh hết cả May có ý a gợi ý chứ không thì chẳng biết tìm đường cao ở đâu Đầu tiên định tính ra hết 3 cạnh của tam giác ANI rồi Hê rô may có dấu hiệu tam giác SAN đều May thế
Câu 5 (3,0 điểm)
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho đường thẳng d x: −y+ 7 0 = và đường tròn (C) : x 2 +y2 + 2x 4 − y= 0
a) Chứng minh rằng đường thẳng d và đường tròn (C) không có điểm chung b) Tìm tọa độ điểm M tren đường tròn (C) có khoảng cách đến đường thẳng
d lớn nhất
Giải:
2 2
( 1) ( 2) 5
suy ra đường tròn (C) có tâm I −( 1;2) ,
bán kính R = 5
a) Ta có:
4
2
→ d và (C) không có điểm chung
d B
I A
H
b) Đường thẳng AB có véctơ chỉ phương: u AB =n d = (1; 1) −
Phương trình đường thẳng AB đi qua I : 1
2
AB
= − +
= −
Gọi M( 1 ; 2 − +t −t) AB ∈ , 2 5
(C) 2 t 5
2
M∈ → = ↔ = ±t ( M trùng A, hoặc trùng B)
Ta có: d(M, d) = t+ 2 2
So sánh 2 khoảng cách ta thấy 5
2
t = thỏa mãn Khi đó M trùng với điểm A
M
1 chút: Không biết ý b) lập luận có chặt chẽ không?
Trang 6Câu 6 ( 2,0 điểm)
Cho dãy số { }u n xác định bởi 1 0; 1 ( 4028)
1
n
n
+
+ với mọi n≥ 1,n∈ Tính lim n
n
u
n
→∞
Giải: Ta có:
1
0; .4028 1.2014; 2.2014
2
(n 1).2014
n
u
= −
Do đó: limu n lim2014 n 2014 2014
−
1 chút: Bài này ý đồ của tác giả cũng muốn có con số đẹp – người làm toán luôn luôn muốn vậy Nếu mình là người ra đề mình cũng sẽ làm như vậy Nhưng một điều đặt ra ở đây là con số 4028 có vẻ quá lộ liễu Điều lộ liễu đó làm cho bài toán trở nên đơn giản hơn Mình có vài điều băn khoăn:
1 Kí hiệu { }u n cho dãy số mình cảm giác hơi khác định nghĩa SGK chuẩn
Vì kí hiệu dãy số người ta thường để trong () Chưa xem SGK nâng cao vì trường mình không dạy và chưa có thời gian xem
2 lim n
n
u
n
→∞ Ở đây SGK chuẩn có nêu như sau: … Từ nay trở về sau thay cho lim n
→+∞ ta viết là limu u Vậy thử hỏi lim n
→∞ ý nghĩa là gì ở đây? ( mặc dù tôi biết ngày xưa người ta dùng kí hiệu này Nhưng ngày nay nếu giáo viên không giới thiệu – lý do giảm tải thì còn giới thiệu nhiều làm gì Khi đó học sinh sẽ tự hỏi bài này đề có sai không?)
Nhiều chút:
Trên đây là lời giải riêng của bản thân Có thể hoàn toàn đúng có thể sơ xảy ở một vài chỗ mong các bạn góp ý để mình thay đổi lại cách tư duy Trong lời giải cũng có 1 chút quan điểm riêng của bản thân – không mang tính “soi” nhé Đôi khi cái đó gọi là cá tính riêng
Vì chưa hết trang 6 nên dừng lại ở đây có vẻ lãng phí quá nên tiếp tục
- Đề thi này mình thấy hay Hay ở chỗ nó không quá khó Sẽ rất phù hợp với các học sinh trường huyện – vùng xa vùng sâu như trường mình Nhưng đối với học sinh trường C hay Tp thì sao? Dễ quá? Điều này phải chờ kết quả mới biết được Với kiểu xếp giải tính phần trăm như vậy thì kể cả học sinh huyện có làm được đi chăng nữa ở đây tôi giả sử làm được 15 điểm thì cơ hội
có giải cũng rất thấp ( vì học sinh trường C + TP toàn từ 16 - 20) cũng tiếc cho các em Ngày xưa cái kiểu xếp giải theo khung điểm cũng hay vì tôi đạt đến khung đó thì nên công nhận cho tôi
- Trên quan điểm ở trên tôi ước 1 điều như sau: Xếp kiểu gì để học sinh ở huyện đạt 15 điểm cũng được giải Nhưng “ xin lỗi anh chỉ là thằng đi giải đề” hay câu này cũng được “xin lỗi anh chỉ là thằng giáo viên toán”
# Facebook: http://fb.com/thanhtuanvnu