Microsoft Word - 07.NEU_TXTOCB01_Bai6_v1.0014105205.doc

Microsoft Word 07 NEU TXTOCB01 Bai6 v1 0014105205 doc Bài 6 Nguyên hàm và tích phân bất định 70 TXTOCB01 Bai6 v1 0014105205 BÀI 6 NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH Hướng dẫn học Để học tốt bài này, sin[.]

BÀI 6 NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH

Hướng dẫn học

Để học tốt bài này,sinh viên cần tham khảo các phương pháp học sau:

 Học đúng lịch trình của môn học theo tuần, làm các bài luyện tập đầy đủ và tham gia thảo luận trên diễn đàn

 Đọc tài liệu:

1 BỘ MÔN TOÁN CƠ BẢN, 2009, Bài tập toán cao cấp cho các nhà kinh tế, NXB Thống kê

2 NGUYỄN ĐÌNH TRÍ, TẠ VĂN ĐĨNH, NGUYỄN HỒ QUỲNH, 2008, Toán cao cấp 1, NXB Giáo dục

3 ALPHA C CHIANG,1995, Fundamental Methods of Mathematical Economics, Third edition, Mc Graw–Hill, Inc

4 MICHAEL HOY, JOHN LIVERNOIS, CHRIS MC KENNA, RAY REES, THANASIS STENGOS, 2001, Mathematics for Economics, The MIT Press Cambrige, Massachusetts, London, England

 Sinh viên làm việc theo nhóm và trao đổi với giảng viên trực tiếp tại lớp học hoặc qua email

 Tham khảo các thông tin từ trang Web môn học

Nội dung

 Nguyên hàm của hàm số;

 Tích phân bất định;

 Các công thức tích phân cơ bản;

 Các phương pháp tính tích phân

Mục tiêu

 Nắm vững được định nghĩa tích phân bất định và các tính chất cơ bản;

 Hiểu, nhớ và áp dụng được tích phân các hàm cơ bản;

 Nắm được 4 phương pháp tính tích phân;

 Nhớ các dạng tích phân cơ bản

T ình huống dẫn nhập

Giả sử chi phí cận biên (MC) ở mỗi mức sản lượng Q là:

MC = 25 – 30Q + 9Q2

và chi phí cố định FC = 55

Hãy chọn một cơ cấu sản lượng (Q1, Q2) để hàm lợi nhuận đạt giá trị tối đa

6.1 Nguyên hàm của hàm số

6.1.1 Khái niệm nguyên hàm

Bài này đề cập đến phép toán ngược của phép tính đạo hàm và vi phân của hàm số Ta

xét bài toán sau đây: Tìm tất cả các hàm số có đạo hàm là một hàm số f(x) cho trước

Định nghĩa: Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) trên một khoảng

X nếu:

F’(x) = f(x), xX

Ví dụ:

Hàm số sinx là nguyên hàm của hàm số cosx trên R:

(sinx)’ = cosx, xR Hàm số x4 là một nguyên hàm của hàm số 4x3 trên R:

(x4)’ = 4x3, xR

6.1.2 Biểu thức nguyên hàm tổng quát

Định lý: Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên khoảng X thì:

 Hàm số F(x) + C, với C là một hằng số bất kỳ, cũng là nguyên hàm của hàm

số f(x)

 Ngược lại, mọi nguyên hàm của hàm số f(x) đều biểu diễn được dưới dạng F(x) + C, với C là một hằng số

Chứng minh: Với C là hằng số bất kỳ ta luôn có [F(x) + C]’ = F’(x), do đó nếu

F’(x) = f(x), xX thì [F(x) + C]’ = f(x) xX

Ngược lại, với (x) là một nguyên hàm bất kỳ của hàm số f(x), ta có:

[(x) – F(x)]’ = ’(x) – F’(x) = f(x) – f(x) = 0, (xX)

Từ đây suy ra rằng hàm số (x) – F(x) nhận giá trị không đổi trên khoảng X:

(x) – F(x) = C, xX  (x) = F(x) + C, xX Định lý nêu trên cho thấy biểu thức F(x) + C bao quát tất cả các nguyên hàm của hàm

số f(x): mỗi hằng số C cho tương ứng một nguyên hàm

6.2 Tích phân bất định

6.2.1 Định nghĩa tích phân

Định nghĩa: Tích phân bất định của hàm số f(x) là biểu thức nguyên hàm tổng quát

F(x) + C, trong đó F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) và C là hằng số bất kỳ

Để biểu diễn tích phân bất định của hàm số f(x) người ta dùng ký hiệu:

∫f(x)dx [đọc là: tích phân của f(x)dx]

Biểu thức f(x)dx được gọi là biểu thức dưới dấu tích phân và hàm số f(x) được gọi là

hàm số dưới dấu tích phân

Theo ký hiệu nói trên ta có:

∫f(x)dx = F(x) + C

Ví dụ:

∫cosxdx = sinx + C

∫4x3dx = x4 + C

6.2.2 Các tính chất cơ bản của tích phân bất định

Tích phân bất định có các tính chất cơ bản sau đây:

1 f (x)dx f (x) hay d f (x)dx f (x)dx 

2 F'(x)dx F(x) C  hay dF(x) F(x) C  

3 [f (x) g(x)]dx f (x)dxg(x)dx

4 kf (x)dx k f (x)dx  (k là hằng số)

6.3 Các công thức tích phân cơ bản

Để tính tích phân bất định, trước hết bạn cần ghi nhớ các công thức sau đây:

1 1.dxdx x C 

1 x

1



 



dx



x x

a

ln a





5 sin xdx cos x C

6 cos xdx sin x C 

2

dx

sin x   



2

dx

cos x  



6.4 Các phương pháp tính tích phân

6.4.1 Phương pháp khai triển

Để tính tích phân ta cần phải sử dụng các phương pháp thích hợp để chuyển về các tích phân đã có trong bảng công thức tích phân cơ bản Một cách đơn giản là khai triển tích phân của tổng (hiệu) thành tổng (hiệu) các tích phân và đưa hằng số nhân ra ngoài dấu tích phân:

[af (x) bg(x) c (x)]dx a f (x)dx b g(x)dx c      (x)dx

Ví dụ 1: Tính tích phân

I(3x 5x 2sin x)dx Giải: Sử dụng quy tắc khai triển ta dễ dàng đưa về các tích phân cơ bản

I 3 x dx 5 x dx 2 sin xdx

2cos x C

Ví dụ 2: Tính tích phân

3 3

(1 2x) dx I

x





Giải: Ta có:

3

x



Sử dụng phương pháp khai triển và công thức tích phân của hàm lũy thừa (công thức 2) ta được:



Ví dụ 3: Tính tích phân

2 3 (1 x ) dx I

x





Giải:

3 2 3

3

3 2

3 2 3

2 x dx x dx ln x 2 3x x C

3

ln x 6 x x C

2

 

 

Ví dụ 4: Tính tích phân Itan x.dx2

Giải: Sử dụng công thức lượng giác 2

2

1

1 tan

cos

 x

x, ta có

Ví dụ 5: Tính tích phân I 2 dx 2

sin x.cos x



Giải: Sử dụng công thức lượng giác sin2x + cos2x = 1, ta có

Sử dụng quy tắc khai triển ta được:

I = tanx – cotx + C

6.4.2 Sử dụng tính bất biến của biểu thức tích phân

Tính bất biến của biểu thức tích phân có nội dung như sau:

Nếu ∫f(x)dx = F(x) + C thì ∫f(u)du = F(u) + C, trong đó u = (x) là một biểu thức hàm

số có đạo hàm liên tục

Trường hợp u = kx + b ta có du = kdx, hay dx du

k

 Sử dụng tính chất trên, ta có quy tắc như sau:

Nếu ∫f(x)dx = F(x) + C thì f (kx b)dx 1F(kx b) C

k



Ví dụ 1: Áp dụng quy tắc về tính bất biến của biểu thức tích phân trong trường hợp

u = kx + b, từ các công thức 2, 3, 6, 7, 8 trong bảng tích phân cơ bản ta suy ra:

1

(kx b)



 



dx 1

ln kx b C

kx b k  





kx 1 kx

e dx e C

k



1 sin kxdx cos kx C

k



1 cos kxdx sin kx C

k



Chú ý: Sử dụng công thức thứ nhất trong ví dụ 1 trên đây ta dễ dàng tính tích phân của phân thức hữu tỷ với mẫu số bậc nhất

P(x) dx

kx b



Với P(x) là đa thức, bởi vì bằng cách thực hiện phép chia đa thức P(x) cho nhị thức bậc nhất ta dễ dàng đưa được tích phân này về dạng:

Với Q(x) là một đa thức bậc nhỏ hơn 1 đơn vị và m là phần dư của phép chia

Ví dụ 2: Tính tích phân

2 3x 2x

x 1









Giải: Bằng cách chia đa thức P(x) = 3x2 + 2x cho x + 1 ta có:

2

3x 1

Bằng phương pháp khai triển ta dễ dàng tính được:

2





Ví dụ 3: Tính tích phân x(1 x ) dx 2 9

Giải: Biểu thức xdx có thể viết dưới dạng 1 2

xdx d(1 x ) 2

  , do đó

(1 x ) d(1 x ) (1 x ) C (u 1 x )

Ví dụ 4: Tính tích phân Isin x.ecos xdx

Giải: Biểu thức sinxdx có thể viết dưới dạng sinxdx = –d(cosx), do đó

I e d(cos x) e C (u cos x)

Ví dụ 5: Tính tích phân Itan x.dx4

Giải:

2

2

2

1

I tan x.tan xdx tan x 1 dx

cos x dx

tan x tan x.dx cos x

tan x.d(tan x) 1 dx tan x (tan x x) C

Ví dụ 6: Tính tích phân I dx

sin x.cos x



Giải: Biểu thức ở mẫu số có thể viết dưới dạng

sin x sin x.cos x cos x tan x.cos x

cos x

Do đó

2

ln tan x C sin x.cos x  tan x.cos x  tan x  

Ví dụ 7: Tính tích phân Icot x.dx

Giải

cos x.dx d(sin x)

sin x sin x

6.4.3 Phương pháp đổi biến số

Xét tích phân I = ∫f(x)dx, trong đó f(x) là một hàm số liên tục Để tính tích phân này ta

có thể chuyển sang một tích phân khác bằng cách thay x = (t) Với giả thiết hàm số

x = (t) đơn điệu và có đạo hàm liên tục, ta có

dx '(t)dt I f (x).dxf[ (t)] '(t)dt  g(t)dt Khi phép đổi biến được lựa chọn phù hợp thì tích phân theo biến số t sẽ đơn giản hơn Nếu ta tính được ∫g(t)dt = G(t) + C thì

If (x).dx G[h(x)] C  Trong đó t = h(x) là hàm ngược của hàm số x = (t)

Ví dụ 1: Tính tích phân I dx3

1 x







Giải: Trong trường hợp này ta có thể đổi biến như sau

x t , dx 3t dt 

2 2

2

t

2

Hàm ngược của hàm số x = t3 là t3 x , do đó

3

2

1 x



Chú ý: Khi tính tích phân của biểu thức chứa căn của nhị thức bậc nhất n kx b

Ta có thể thoát khỏi căn bằng cách đặt t n kx b , từ đó chọn phép đổi biến

 n 

1

k

Ví dụ 2: Tính tích phân I x.dx

2x 1 2



 



Giải: Đặt t 2x 1 và đổi ngược x theo t ta chọn được phép đổi biến làm mất căn:

2

t 1

x , dx tdt 2



Sau khi đổi biến ta được

2

3

2

3

1

2

t t t 5ln t 2 C

(2x 1) (2x 1) 2x 1 5ln( 2x 1 2) C

Chú ý: nếu biểu thức f(x)dx dưới dấu tích phân có thể biểu diễn dưới dạng

f(x)dx = g[(x)]d(x) Thì ta có thể đặt t = (x) để chuyển sang tích phân của biểu thức g(t)dt nếu tích phân

đó dễ tính hơn

Ví dụ 3: Tính tích phân Isin x.dx5

Giải: Ta có

sin x sin x.(sin x.dx) (1 cos x) [ d(cos x)]    Đặt t = cosx ta được

I (1 t ) ( dt) (1 2t t )dt t t t

cos x cos x cos x C

Nhận xét: Tương tự như ví dụ 2 ta dễ dàng tính các tích phân sau đây

Isin  x.cos x.dx.Ksin x.cos  x.dx

Với n là một số nguyên dương

Tích phân J dễ dàng đổi qua biến t = cosx:

sin cos x.dx sin x.cos x.(sin x.dx)

(1 cos x) cos x.(sin x.dx) (1 t ) t ( dt)

Tích phân J dễ dàng đổi qua biến t = sinx:

sin cos x.dx sin x.cos x.(cos x.dx)

sin x.(1 sin x) (cos x.dx) (1 t ) t dt

Ví dụ 4: Tính tích phân Ksin x.cos x.dx6 3

Giải: Trong trường hợp này ta có

sin x.cos x sin x.cos x(cos x.dx)

sin x(1 sin x).d(sin x)



Đặt t = sinx ta được

 

Ví dụ 5: Tính tích phân I4 e dx2xx

e 1







Giải: Ta có

e (e dx) e d(e ) I

Đặt t = ex, ta được

4

e ln(e 1) C

5

x dx I

1 x







Giải: Ta có

x dx 1 [(1 x ) 1].d(1 x ) I

3

Đặt t = 1 + x3 ta được

3 2

3

(1 x )



6.4.4 Phương pháp tích phân từng phần

 Công thức tính tích phân từng phần

Giả sử u = u(x) và v = v(x) là các hàm số có đạo hàm liên tục Ta có:

d(uv) = vdu + udv  udv = d(uv) – vdu

Từ đây suy ra:

udv d(uv) vdu udv uv vdu

Công thức này được gọi là công thức tích phân từng phần

 Áp dụng

Để tính tích phân I = ∫f(x)dx bằng phương pháp tích phân từng phần ta cần phải biểu diễn biểu thức dưới dấu tích phân dưới dạng:

f(x)dx = g(x).[h(x)dx] = udv trong đó u = g(x) và dv = h(x)dx Với u và dv là các biểu thức đã biết ta tìm được

du u 'dx g '(x)dx, v  dvh(x)dx sau đó sử dụng công thức tích phân từng phần

Ví dụ 1: Tính tích phân Ixe dx 2x

Giải: Với u = x, dv = e–2xdx, ta có du = dx, 2x 1 2x

2

   Thay vào công thức tích phân từng phần ta được



Ví dụ 2: Tính tích phân Ix sin 3xdx2

Giải: Với u = x2, dv = sin3xdx, ta có du = 2x.dx, v 1cos3x

3

  2

I cos3x x cos3xdx

Tiếp tục sử dụng công thức tích phân từng phần đối với tích phân ở vế phải với u = x,

dv = cos3x.dx ta có

2

2

1

3



Chú ý: Tương tự như ví dụ 1 và ví dụ 2, ta có thể tính các tích phân sau đây bằng phương pháp tích phân từng phần

n kx n n

x e dx; x sin kxdx; x cos kx.dx

Với u = xn và dv là phần còn lại của biểu thức dưới dấu tích phân

Ví dụ 3: Tính tích phân Ix ln x.dx2

Giải: Với u = lnx, dv = x2dx, ta có

3

du , v

2

x ln x 1 x ln x x

Ví dụ 4: Tính tích phân I x ln xdx2

Giải: Với u = ln2x, dv x , ta có du 2ln xdx, v xdx 2x x

Sử dụng công thức tích phân từng phần ta được

2 2x x ln x 4

Tiếp tục sử dụng công thức tích phân từng phần đối với tích phân ở vế phải với

u = lnx, dv xdx ta có

du , v

 

2

2

2

2x x ln x 4 2x x ln x 2

2x x ln x 4 2x x ln x 4x x

C

2x x

27



Chú ý: Tương tự như ví dụ 3 và ví dụ 4, ta có thể tính tích phân sau đây

n

x ln x.dx

 (n nguyên dương,  ≠ –1) Bằng phương pháp tích phân từng phần với u = lnnx và dv là phần còn lại của biểu thức dưới dấu tích phân

Ví dụ 5: Tính tích phân Ix tan x.dx2

Giải: Với u = x, dv = tan2x.dx, ta có

2

2

1

du dx, v tan xdx 1 dx tan x x

cos x

2

I x(tan x x) (tan x x).dx

d(cos x)

cos x 1

x tan x x ln cos x C

2



Ví dụ 6: Tính tích phân

x 2

xe dx I

(x 1)







Giải: Đặt x

2

dx

u xe , dv

(1 x)

 , ta có

du (1 x)e , v

1 x



 Sử dụng công thức tích phân từng phần ta được

T óm lược cuối bài

 Nguyên hàm của hàm số f(x) trên X là hàm F(x) thỏa mãn: F’(x) = f(x) trên X

 Tích phân bất định: f (x)dx F(x) C   với F(x) là một nguyên hàm

 Các tính chất cơ bản nhất:

f (x) g(x) dx f (x)dx g(x)dx k.f (x)dx k f (x)dx



 Có 4 phương pháp tính tích phân bất định: Phương pháp khai triển, phương pháp sử dụng tính bất biến của biểu thức tích phân, phương pháp đổi biến, phương pháp tích phân từng phần

C âu hỏi ôn tập

1 Nêu các tính chất cơ bản của tích phân bất định?

2 Nêu các tích phân cơ bản?

3 Sử dụng phương pháp khai triển, tính tích phân  5 3 

1

I  3x 4x x sin x dx

4 Sử dụng phương pháp khai triển, tính tích phân  2

2 3 2

I  5x  x dx

5 Sử dụng phương pháp bất biến, tính tích phân  2 20

3

I x 3x 4 dx

6 Sử dụng phương pháp bất biến, tính tích phân 2 x3

4

I x e dx

7 Sử dụng phương pháp đổi biến, tính tích phân I5 2x 3 dx

1 5x 1







8 Sử dụng phương pháp đổi biến, tính tích phân 3

6

I x 4x 3.dx

9 Sử dụng phương pháp tích phân từng phần, tính tích phân  3x2

7

I  2x e  dx

10 Sử dụng phương pháp tích phân từng phần, tính tích phân I8  3x 1 sin 5x.dx 