Phßng gi¸o dôc & ®µo t¹o PHÒNG GD VÀ ĐT NGA SƠN TRƯỜNGTHCS NGA THỦY ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI LỚP 7 NĂM HỌC 2020 2021 Môn thi TOÁN 7 Thời gian 120 phút (không kể thời gian giao đề) Câu 1 (4,[.]
Trang 1PHÒNG GD VÀ ĐT NGA SƠN
TRƯỜNGTHCS NGA THỦY
ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI LỚP 7
NĂM HỌC 2020- 2021 Môn thi: TOÁN 7
Thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao đề)
Câu 1.(4,5 điểm) 1.Tính hợp lí giá trị các biểu thức sau:
A = 2−
5
3+
7
6−
9
10+
11
15−
13
21+
15
28−
17
36+
19
45
B = (0,4−2
9+
2 11 1,4−7
9+
7 11
−
1
3−0 ,25+
1 5
11
6−0 , 875+0,7):2020
2021
2 Cho a + b + c = 2021 và
1
a+b+
1
b+c+
1
c +a =
1
90 Tính C =
c a+b+
a b+c+
b
c +a
Câu 2.(3,5 điểm) Tìm x biết:
a (x +2)n+1 = (x + 2)n+11 với n là số tự nhiên
b |2019−x|+|2020−x|+|2021−x|=2
Câu 3.(4 điểm)
a) Tìm x, y nguyên thỏa mãn: 3xy - 5 = x2 + 2y
b) Cho a,b,c,d là các số nguyên thỏa mãn: a3 + b3 = 2(c3 - 8d3)
Chứng minh: a + b+ c+ d chia hết cho 3
Câu 4.(6 điểm)
Cho tam giác ABC, M là trung điểm BC Trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa điểm C dựng AE vuông góc với AB và AE = AB Trên nửa mặt phẳng bờ AC chứa điểm B dựng AF vuông góc với AC và AF = AC Chứng minh:
a) FB = EC
b) EF = 2AM
c) AM ¿ EF
Câu 5.(2 điểm).Chứng tỏ rằng S =
3
4+
8
9+
15
16+ +
n2−1
n2 không là số tự nhiên với mọi n ¿ N
Hết
Họ tên thí sinh: Số báo danh:
Trang 2PHÒNG GD VÀ ĐT NGA SƠN
TRƯỜNGTHCS NGA THỦY
HƯỚNG DẪN CHẤM THI
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 7
NĂM HỌC 2020 - 2021 Môn thi : Toán 7
1
(4,5đ)
1.a (1,5)
A = 2−
5
3+
7
6−
9
10+
11
15−
13
21+
15
28−
17
36+
19
45 =
2(1−5
6+
7
12−
9
20+
11
30−
13
42+
15
56 −
17
72+
19
90) = 2 (12+
1
2−
1
2−
1
3+
1
3+
1
4− −
1
8−
1
9+
1
9+
1
10)=2(12+
1
10)= 6 5
0,5đ 1đ
1.b
(1,5)
B= (0,4−2
9+
2 11 1,4−7
9+
7 11
−
1
3−0 ,25+
1 5
11
6−0 , 875+0,7):2020
2021
=
(25−
2
9+
2 11 7
5−
7
9+
7 11
−
1
3−
1
4+
1 5 7
6−
7
8+
7
10 ):2020
2021
= (27−
2
7):2020
2021=0
1,5đ
2 (1,5)
Vì a + b + c = 2021 => a = 2021 - (b+c); b = 2021 -(a+c);
c = 2021-(a+b) => C =
c a+b+
a b+c+
b
c +a = 2021(
1
a+b+
1
b+c+
1
c +a )
- 3 = 2021
1
90 - 3 =
1751
90
0,5đ 0,5đ 0,5đ
2
(3,5)
a
(1,5)
a (x +2)n+1 = (x + 2)n+11 Suy ra: (x+2)n+1[1− (x+2)10]=0 Từ đó tìm được x = -2; x= -1; x = -3
1,5đ
b (2đ)
b |2019−x|+|2020−x|+|2021−x|=2
Ta có |2020−x|≥0 ; | 2019−x|+|2021−x|≥|x−2019+2021−x|=2 Do
đó để |2019−x|+|2020−x|+|2021−x|=2 thì {(x−2019)(2021−x)≥0
2020−x=0
Suy ra x = 2020
1đ 1đ
3
(4đ)
a
(2,0đ)
a 3xy - 5 = x2 + 2y
⇒ y(3x - 2) = x2 + 5 (1)
Do x, y nguyên suy ra x2 + 5 chia hết cho 3x - 2 ⇒ 9(x2 + 5) chia hết cho 3x - 2
⇒ 9x2 -6x + 6x - 4 +49 chia hết cho 3x - 2
⇒ 49 chia hết cho 3x - 2 ⇒ 3x - 2 ¿{−49;−7;−1;1;7;49} ⇒ x
¿ {1,3,17} thay vào (1) được y ¿ {6;2;6} Vậy (x,y) = (1;6);
0.5 0.5 0,5 0,5
Trang 3(3;2); (17;6)
b
2,0
b) Ta có: a3 + b3 = 2(c3 - 8d3) ⇒ a3 +b3 +c3 +d3 = 3c3 - 15d3
Mà 3c3 - 15d3 chia hết cho 3 nên a3 +b3 +c3 +d3 chia hết cho 3 (1) Lại có a ¿ a3 (mod3)
b ¿ b3(mod3); c ¿ c3(mod3); d ¿ d3(mod3)
suy ra a + b+ c +d ¿ a3 + b3 +c3 + d3 (mod3) (2)
Từ (1) và (2) suy ra a +b +c + d chia hết cho 3
1đ 0,5 0,5
4
(6đ)
Vẽ hình chính xác và viết đúng GT,KL
0,5
a
(1,5đ) ∆ABF = ∆AEC (c-g-c) FB = EC
1 0,5
b
(2đ)
Trên tia đối của tia MA lấy điểm K sao cho AK = 2AM Ta có
∆ABM = ∆KCM (c-g-c) => CK//AB =>ACK + CAB = EAF + CAB = 1800
=>ACK = EAF Xét tam giác ∆EAF và ∆KCA có AE = AB = CK, ACK = EAF ,
AF = AC => ∆EAF = ∆KCA (c.g.c) => EF = AK = 2AM
0,5 0,5 0,5 0,5
c
(2,0đ)
Từ ∆EAF = ∆KCA =>CAK = AFE
=>CAK + FAK = AEF + FAK =900 => AK ¿ EF
1đ
1đ
5
3
4+
8
9+
15
16+ +
n2−1
n2 =
22−1
2 2 + 32−1
3 2 + 42−1
4 2 + +n2−1
n2
= (n - 1) - (
1
2 2 + 1
3 2 + 1
4 2 + + 1
n2 )
=> S < n - 1 (1)
1
22+
1
32+
1
42+ +
1
n2 <
1 1.2.+
1 2.3+
1 3.4+ +
1 (n−1)n = 1-
1
n <1
=> S > n- 1 - 1 = n - 2 (2)
0,5 0,5 0,5 0,5
M
F
B
K
C E A
Trang 4Từ (1) và (2) suy ra S không là số nguyên