BAI GING MON LY THUYT XAC SUT VA THN

Liên hệ giữa các biến cố... Liên hệ giữa các biến cố8.1... Liên hệ giữa các biến cố... Liên hệ giữa các biến cố8.3... Liên hệ giữa các biến cố... Liên hệ giữa các biến cố... Nhu c u hàng

Trang 3

+ Hiện t ợng có thể x y ra (hoặc không x y ra) trong k t

Trang 5

Ch ơng 1 3.Xác suất của biến cố

3 XÁC SU T C A BI N C

Xác su t c a một bi n c là một con s đặc tr ng cho kh năng khách quan xu t hiện bi n c đó khi thực hiện

Trang 6

Ch ơng 1 4 Định nghĩa cổ điển về XS

4 Đ NH NGHƾA C ĐI N V XÁC SU T

4.1 Thí d

4.2 Đ nh nghƿa c đi n v xác su t

Xác su t xu t hiện bi n c A trong 1 phép thử là tỷ s giữa

s k t cục thuận lợi cho A (kí hiệuμ m) và tổng s các

k t cục duy nh t đồng kh năng có thể x y ra khi thực hiện phép thử đó (kí hiệuμ n)

Trang 7

Trang 8

Ví dụ 1.5 Một lớp có 50 học sinh, trong đó có 30 học sinh

gi i Toán, 20 học sinh gi i Văn, 15 học sinh gi i c

Toán và Văn Chọn ngẫu nhiên 1 học sinh Tìm xác

su t chọn đ ợc học sinh không gi i Toán và không

gi i Văn (không gi i môn nào)

Trang 9

c Ph ơng pháp dùng công thức của giải tích tổ hợp

• Chỉnh hợp chập k c a n ph n tửμ Ank (0≤ k ≤ n)

• Hoán vị c a k ph n tửμ Pk

• Chỉnh hợp lặp k c a n ph n tửμ (0≤ k ≤ n)Quy ớcμ 0! = 1

A

Trang 10

4.5 u đi m vƠ h n ch c a đ nh nghƿa c đi n

• Hạn chế: + Đòi h i s k t cục hữu hạn.

+ Các k t cục ph i th a mưn tính duy nh t, đồng kh năng

c Ph ơng pháp dùng công thức của giải tích tổ hợp

Ví dụ 1.7 Một hộp có 10 s n phẩm (2 s n phẩm xanh, 3

màu đ , 5 màu vàng) L y đồng th i 4 s n phẩm Tìm xác su t

a L y đ ợc 4 s n phẩm cùng màu

b L y đ ợc đ 3 màu

c L y đồng th i 5 s n phẩm Tìm XS l y đ ợc đ 3 màu

Trang 11

Ch ơng 1 5 Định nghĩa thống kê về XS

5 Đ NH NGHƾA TH NG Kể V XÁC SU T

5.1 Đ nh nghƿa t n su t

T n su t xu t hiện bi n c A trong n phép thử là tỷ s giữa

s phép thử trong đó bi n c xu t hiện (k) và tổng s phép thử đ ợc thực hiệnμ

5.2 Đ nh nghƿa th ng kê v xác su t

Xác su t xu t hiện bi n c A trong 1 phép thử là một s p không đổi mà t n su t f xu t hiện bi n c đó trong n

phép thử s dao động r t ít xung quanh nó khi s phép thử tăng lên vô hạn

( ) k

f A

n



Trang 13

Ch ơng 1 7 Nguyên lý xác suất

7 NGUYểN Lụ XÁC SU T

7.1 Nguyên lỦ xác su t nh

+ N u một bi n c có xác su t r t nh thực t có thể cho rằng trong một phép thử bi n c đó s không x y ra.+ M c xác su t đ ợc coi là nh tùy thuộc vào từng bài toán và gọi là m c ý nghĩa

+ Nguyên lý XS nh là cơ s c a ph ơng pháp kiểm định

7.2 Nguyên lỦ xác su t l n

+ N u một bi n c có xác su t r t lớn thực t có thể cho rằng trong một phép thử bi n c đó s x y ra

+ M c xác su t đ lớn gọi là độ tin cậy

+ Nguyên lý XS lớn là cơ s c a ph ơng pháp ớc l ợng bằng kho ng tin cậy

Trang 14

Ch ơng 1 8 Liên hệ giữa các biến cố

Trang 15

8.1 T ng các bi n c

và B, kí hiệu C = A + B, n u C chỉ x y ra khi và chỉ khi

có ít nh t một trong hai bi n c A và B x y ra

Trang 16

A1, A2,ầ, An n u A x y ra khi và chỉ khi có ít nh t một trong n bi n c thành ph n x y ra

Kí hiệuμ

1

n

i i

Trang 17

Trang 18

A1, A2,ầ, An n u A x y ra khi và chỉ khi t t c n bi n c thành ph n x y ra

Kí hiệuμ

1

n

i i

Trang 19

8.3 Tính xung kh c c a các bi n c

nhau n u chúng không thể đồng th i x y ra trong k t

Trang 20

A0,A1,ầ,A4 μ xung khắc từng đôi

A, A0, A1 μ không xung khắc từng đôi

Trang 21

Trang 22

chúng tạo thành nhóm đ y đ các bi n c

A = “xu t hiện chắn ch m”

→ Ā = “xu t hiện lẻ ch m”

Trang 23

Ai = “học sinh tr l i đúng câu th i” (i = 1, 2, 3)

Biểu diễn các bi n c sau qua A1, A2, A3

Trang 24

8.5 Tính đ c l p c a các bi n c

n u việc x y ra hay không x y ra c a bi n c này không làm thay đổi xác su t x y ra c a bi n c kia và ng ợc lại

Hai bi n c không độc lập gọi phụ thuộc

Trang 25

Trang 26

5, Quy tắc đ i ngẫu De Morgan

;

A B   AB AB   A B

Trang 27

8.6 Xác su t có đi u ki n

kiện bi n c B đư x y ra gọi là xác su t có điều kiện c a

Trang 28

Ch ơng 1 λ Định lý nhân xác suất

Trang 29

Trang 30

tr ng XS mua đ ợc chính phẩm l n đ u là 0,8 N u

l n tr ớc mua đ ợc chính phẩm thì XS mua đ ợc chính phẩm l n ti p theo là 0,λ5 N u l n tr ớc mua đ ợc

Trang 31

Trang 32

P A



Trang 33

h ng L y ngẫu nhiên 5 chi ti t Tìm xác su t l y đ ợc không quá 2 chi ti t h ng.

Trang 34

Ch ơng 1 10 Định lý cộng xác suất

P(A+B) = P(A) + P(B) – P(AB)

Trang 35

Ch ơng 1 10 Định lý cộng xác suất

quy định qua vòng tr ớc mới đ ợc dự thi vòng sau Tại vòng 1, 2, 3 s loại t ơng ng 50%; 40%; 30% s thí

sinh tham gia vòng đó Tìm

Trang 36

Bài toán đ ợc gọi là th a mưn l ợc đồ Bernoulli n u th a

mưn các điều kiện sauμ

+ Có n phép thử độc lập

+ Trong mỗi phép thử xác su t bi n c A x y ra không

thay đổi là p

Trang 37

mỗi câu h i có 4 ph ơng án tr l i trong đó chỉ có 1

ph ơng án đúng Một học sinh tr l i bằng cách chọn ngẫu nhiên 1 trong 4 ph ơng án Tìm xác su t học sinh

đó đ ợc 5 điểm

Trang 38

nhiên 1 s n phẩm, tìm XS l y đ ợc ph phẩm)

Trang 39

đây chỉ yêu c u sử dụng công th c đ y đ 1 l n

Trang 40

Ch ơng 1 11 Các hệ quả

A, 35% s n phẩm c a nhà máy B, còn lại là c a nhà máy C

Tỷ lệ ph phẩm c a các nhà máy l n l ợt là 3%; 4%; 5%

L y ngẫu nhiên 1 s n phẩm thì đ ợc ph phẩm Kh năng

ph phẩm đó c a nhà máy nào là cao nh t?

tr ớc khi đ a ra thị tr ng ph i đ ợc kiểm tra qua 1 máy tự động Máy kiểm tra có độ chính xác λ0% đ i với chính

phẩm và λ5% đ i với ph phẩm S n phẩm đ ợc k t luận là chính phẩm thì đ ợc đ a ra thị tr ng.

a, Kiểm tra 6 sp Tìm XS có 5 sp đ ợc đ a ra thị tr ng

b, Tìm tỷ lệ ph phẩm trên thị tr ng.

c, Mua 6 sp trên thị tr ng Tìm XS mua đ ợc 4 cp.

Trang 43

CH NG 2

BI N NG U NHIểN VẨ QUY LU T

PHỂN PH I XÁC SU T

1 M Đ U - Nội dung ch ơng 2

• Định nghĩa và phân loại bi n ngẫu nhiên (bnn)

• Quy luật phân ph i XS c a bi n ngẫu nhiên

• Các tham s đặc tr ng c a bi n ngẫu nhiên

Trang 44

Ch ơng 2 2 Định nghĩa và phân loại bnn

Trang 45

bia đ n tâm bia → Z là bnn

Z có thể nhận giá trị b t kì trong đoạn [0,R]

? Phân biệt khái niệm bi n c và bi n ngẫu nhiên

Trang 46

Trang 47

Ch ơng 2 3 Quy luật PPXS của bnn

Trang 48

Xác su t học sinh tr l i đúng câu 1, 2 t ơng ng là 0,6

và 0,7 Lập b ng ppxs c a s điểm đạt đ ợc

Trang 49

3.3 HƠm phơn b xác su t ậ dùng cho c bnn r i rạc và

liên tục

a Định nghĩa

Hàm phân b XS c a bnn X, kí hiệu F(x), là XS để bnn X nhận giá trị nh hơn x, với x là s thực b t kì

Trang 50

0, 7 ; 3 5

1 ; 5

x x

F x

x x

Trang 51

Trang 52

Trang 53

3.4 HƠm m t đ xác su t ậ chỉ dùng cho bnn liên tục.

Trang 54

P a    X b  f x dx

Ví dụ 2.λ. Cho bnn liên tục X có hàm mật độ XSμ

a, Tìm k

0 ; (0,10) ( )

Trang 55

Ví dụ 2.λ. Cho bnn liên tục X có hàm mật độ XSμ

b, Xác định F(x)

c, Tìm P(5 < X < 6); P(6 < X < 7) ; ầ

0 ; (0,10) ( )

c Ý nghĩa: Hàm mật độ XS c a bnn X tại mỗi điểm x cho

bi t m c độ tập trung XS tại điểm đó

Trang 56

Ch ơng 2 4 Tham số đặc tr ng của bnn

Trang 57

Trang 58

Trang 59

c, Bản chất , ý nghĩa và ứng dụng của kì vọng toán

Ví dụ 2.12 Nhu c u hàng ngày về một loại thực phẩm t ơi

s ng một khu vực là bnn r i rạc X có b ng PPXSμ

Gi sử khu vực này chỉ có 1 cửa hàng và mỗi ngày cửa hàng nhập 100 kg thực phẩm

Giá nhập là 40 nghìn đồng/kg, giá bán là 50 nghìn

đồng/kg, n u thực phẩm không bán đ ợc trong ngày thì

ph i bán với giá 20 nghìn đồng/ kg thì mới h t hàng

Mu n có lưi trung bình cao hơn thì cửa hàng có nên nhập thêm 20kg mỗi ngày hay không?

Trang 60

Trang 61



Trang 62

Trang 63

Trang 64

c, Bản chất , ý nghĩa và ứng dụng của ph ơng sai

Ph ơng sai đặc tr ng cho m c độ r i ro c a các quy t

định

Ví dụ 2.15 Tiền lưi sau 1 tháng đ u t 1 tỷ đồng vào các

ngành A, B là các bnn độc lập X, Y

a, Mu n lưi trung bình cao hơn thì đ u t vào ngành nào?

b, Mu n r i ro th p hơn thì đ u t vào ngành nào?

c, Mu n r i ro th p nh t thì chia v n đ u t theo tỷ lệ nào?

Trang 65

Ví dụ 2.15

d, Đ u t a tỷ vào ngành A và b tỷ và ngành B trong 1

tháng Tìm trung bình và ph ơng sai c a tổng tiền lưi trong 1 tháng?

e, Đ u t 2 tỷ vào ngành A trong 1 tháng, tìm trung bình

và ph ơng sai c a tiền lưi thu đ ợc?

g, Mỗi tháng đ u t 1 tỷ vào ngành A, độc lập, tìm trung bình và ph ơng sai c a tổng tiền lưi trong 2 tháng? Tìm

XS tổng tiền lưi không d ới 50 triệu

h, Tìm XS đ u t vào A đ ợc lưi cao hơn đ u t vào B

Trang 66

4.5 Đ l ch chu n

Độ lệch chuẩn c a bnn X, kí hiệu σ(X), là căn bậc hai c a

ph ơng sai c a bnn đó

Có đơn vị trùng với đơn vị c a X

ng dụngμ khi c n đánh giá m c độ phân tán c a bnn theo đơn vị đo c a nó thì dùng độ lệch chuẩn

( ) ( )

   

Trang 67

Trang 69

CH NG 3

M T S QUY LU T PHỂN PH I XÁC

SU T THÔNG D NG

• Với bnn r i rạcμ QL không – một, nhị th c, Poisson,

siêu bội

• Với bnn liên tụcμ QL đều, lũy thừa, chuẩn, Student, Khi

– bình ph ơng, Fisher – Snedercor

Trang 70

Ch ơng 3 2 QL không – một A(p)

2 QUY LU T KHÔNG ậ M T A(p)

2.1 Đ nh nghƿa

Bnn r i rạc X nhận 1 trong 2 giá trị có thể có là 0, 1, với

các XS t ơng ng đ ợc tính theo công th c

gọi là phân ph i theo quy luật không – một với tham s p

Trang 72

Ch ơng 3 3 QL nhị thức B(n,p)

Chú Ủμ N u bài toán th a mưn l ợc đồ Bernoulli với 2

tham s là n, p và X là s l n xu t hiện bi n c A sau n phép thử thì X ~ B(n, p)

Công th c XS

P(a ≤ X ≤ a + h) = Pa + Pa+1 + ầ+ Pa+h

với nhau Xác su t để trong một ngày mỗi máy bị h ng đều là 0,1 Gọi X là s máy h ng trong ngày

a, X phân ph i theo quy luật gì?

b, Tìm XS trong 1 ngày có từ 2 đ n 4 máy h ng

Trang 73

ngày với XS bán đ ợc hàng mỗi ngày đều là 0,7.

a, Trung bình trong 1 năm có bao nhiêu ngày ng i đó bán

đ ợc hàng? Tìm ph ơng sai t ơng ng

b, Tìm s ngày bán đ ợc hàng có kh năng cao nh t trong

1 tháng và XS c a giá trị đó

Trang 75

Ch ơng 3 4 QL Poisson P( )

4 QUY LU T POISSON P( )

Bnn r i rạc X nhận 1 trong các giá trị có thể có là 0, 1,2,ầ

với các XS t ơng ng đ ợc tính theo công th c

gọi là phân ph i theo quy luật Poisson với tham s

Trang 76

Ch ơng 3 5 QL siêu bội M(N, n)

Trang 77

Ch ơng 3 6 QLPP đều U(a, b)

Trang 78

Ch ơng 3 7 QL lũy thừa E( )

Trang 79

Ch ơng 3 7 QL lũy thừa E( )

Trang 80

Ch ơng 3 8 QL Chuẩn N( , σ2)

8 QUY LU T CHU N N( , σ 2 )

Bnn liên tục X nhận giá trị trong kho ng (-∞,+∞) gọi là

n u hàm mật độ XS c a nó có dạng

Kí hiệuμ X ~ N( , σ2)

? V đồ thị c a f(x)

2 2

Trang 82

8.3 Quy lu t phơn ph i Chu n hóa

a Định nghĩa

Bnn liên tục U nhận giá trị trong kho ng (-∞,+∞) gọi là

phân ph i theo quy luật Chuẩn hóa n u hàm mật độ

Trang 84

8.4 Giá tr t i h n chu nμ u α

Giá trị tới hạn chuẩn m c α, kí hiệu là uα là giá trị c a

bnn U th a mưn điều kiện

P( U > uα) = α

↔ P( U < uα ) = 1 – α

B ng giá trị tới hạn chuẩnμ phụ lục 6 trang λ52

B ng s TKTμ tra uα tại dòng ∞ c a b ng giá trị tới hạn

Student

Trang 86

Ch ơng 3 8 QL Chuẩn N( , σ2) Quy tắc hai sigma

ng dụngμ N u QLPPXS c a bnn th a mưn quy tắc hai

sigma và quy tắc ba sigma thì xem nh bn đó phân

ph i chuẩn

Trang 87

d, S n phẩm đạt tiêu chuẩn n u có trong l ợng sai lệch so

vơi m c trung bình không quá 30g Tìm tỷ lệ s n phẩm đạt tiêu chuẩn

Trang 88

trung bình là 3,6 năm và độ lệch chuẩn là 1,2 năm Khi bán đ ợc 1 sp thì cửa hàng lưi 70 nghìn đồng, n u sp bị

h ng trong th i gian bao hành thì cửa hàng ph i chi

100 nghìn đồng cho việc b o hành (chịu lỗ 30 nghìn

đồng) Quy định th i gian b o hành là 1 năm

a, Tìm tỷ lệ s n phẩm ph i b o hành

b, N u mu n b o hành cho 2,5% s sp thì quy định th i

gian b o hành bao lâu?

c, Tìm tiền lưi trung bình trên mỗi sp bán ra

d, Mu n tiền lưi trên mỗi sp bán ra là 65 nghìn đồng thì

quy định th i gian b o hành bao lâu?

Trang 89

ph i chuẩn với trung bình là 60 cm Bi t rằng có 10%

s sp có chiều dài trên 63cm S n phẩm có chiều dài từ

55 cm tr lên thì đạt tiêu chuẩn

a, Tìm ph ơng sai về chiều dài s n phẩm

b, Tìm tỷ lệ s n phẩm đạt tiêu chuẩn

c, Tìm xs trong 10 sp có đúng 8 sp đạt tiêu chuẩn

Trang 90

X, đ u t 100 triệu vào B thu đ ợc lưi là Y, X và Y độc lập và X ~ N(10; 16); Y ~ N(λ;λ) (th i gianμ 1 quý)

a, N u đ u t 40 triệu vào A và 60 triệu vào B trong 1 quý

thì xs thu đ ợc lưi trên 10 triệu bằng bao nhiêu?

b, Tìm xs đ u t vào A đ ợc lưi cao hơn đ u t vào B

Trang 91

chi ti t đạt tiêu chuẩn là 0,λ Gọi X là s chi ti t đạt

tiêu chuẩn trong s λ00 chi ti t đ ợc kiểm tra

a, Có thể coi nh X phân ph i theo ql Chuẩn đ ợc không?

b, Tìm xs trong đó có từ 800 đ n 850 chi ti t đạt t/c

Trang 92

8.8 ng d ng c a quy lu t chu n

QL Chuẩn đ ợc áp dụng rộng rưi trong thực t

Lí doμ Nếu bnn X là tổng của một số lớn các bnn độc lập

và giá trị của mỗi biến chỉ chiếm một vị trí nhỏ trong

Trang 93

Ch ơng 3 λ QL Khi – bình ph ơng χ2(n)



  

Trang 94

V n

Trang 97

CH NG 4

BI N NG U NHIểN HAI CHI U

HẨM CÁC BI N NG U NHIểN

• Khái niệm bnn nhiều chiều

• Bnn 2 chiều r i rạc, b ng ppxs, các tham s đặc tr ng

• Bnn 2 chiều liên tục, hàm mật độ xs, các tham s

• Hàm các bnn

Trang 98

Ch ơng 4 2 Khái niệm

2 KHÁI NI M V BNN HAI CHI U

Trang 100

Ch ơng 4 3 Bảng ppxs

xs học sinh làm đúng đều là 0,2 Đúng câu 1 đ ợc 4

điểm, câu 2 đ ợc 6 điểm, sai đ ợc 0 điểm Gọi X là s câu tr l i đúng, Y là s điểm đạt đ ợc c a học sinh

c không thể có

Trang 103

3.3 B ng phơn ph i xác su t có đi u ki n

a Bảng ppxs có điều kiện của Y khi của X = xj

L y từng xs tại dòng xi chia cho tổng c a dòng ta có

Trang 104

B ng ppxs có điều kiện c a Y khi X = xi nh sauμ

P P(y1/xi) ầ P(yj/xi) ầ P(ym/xi)

b T ơng tự ta có b ng ppxs có điều kiện c a X khi Y = yj

Từ các b ng ppxs có điều kiện c a Xvà Y ta có thể tìm

đ ợc các tham s đặc tr ng t ơng ng

+ E(Y/X=xi), E(X/Y=yj)μ các kì vọng toán có điều kiện

+ V(Y/X=xi), V(X/Y=yj)μ các ph ơng sai có điều kiện

Trang 105

Ch ơng 4 4 Tham số

4 CÁC THAM S Đ C TR NG

4.1 Kì vọng toán

Từ các b ng ppxs biên ta tìm đ ợc các kì vọng toán sauμ

Các kì vọng toán trên ph n ánh giá trị trung bình c a mỗi

Trang 106

Ch ơng 4 4 Tham số

4.2 Ph ng sai

Từ các b ng ppxs biên ta tìm đ ợc các ph ơng sai sauμ

Các kì vọng toán trên ph n ánh m c độ phân tán c a các

giá trị c a mỗi thành ph n so với giá trị trung bình c a

Tiêu đề	Xác Suất Và Thường Kết
Trường học	Trường Đại Học Khoa Học Tự Nhiên - Đại học Quốc Gia Hà Nội
Chuyên ngành	Toán học
Thể loại	Bài tập môn lý thuyết xác suất và thống kê
Thành phố	Hà Nội

Định dạng
Số trang	202
Dung lượng	612,71 KB