(TIỂU LUẬN) TIỂU LUẬN một số ỨNG DỤNG của PHÉP TỊNH TIẾN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINHKHOA TOÁN TIN HỌC MÔN HÌNH HỌC SƠ CẤP TIỂU LUẬN MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA PHÉP TỊNH TIẾN Người hướng dẫn: TS.. LỜI MỞ ĐẦUL

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

KHOA TOÁN TIN HỌC MÔN HÌNH HỌC SƠ CẤP

TIỂU LUẬN MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA PHÉP TỊNH TIẾN

Người hướng dẫn: TS Trần Nam Dũng

Thành viên

MỤC LỤC

I LỜI MỞ ĐẦU

II GIỚI THIỆU VỀ PHÉP TỊNH TIẾN

1 ĐỊNH NGHĨA

2 TÍNH CHẤT

2.1 Định lý

2.2 Hệ quả

2.3 Biểu thức toạ độ của phép tịnh tiến

3 PHƯƠNG PHÁP LÀM

3.1 Xác định phương trình ảnh (d’) của đường thẳng (d)

3.2 Xác định phương trình ảnh (C’) của đường tròn (C)

3.3 Xác định phương trình ảnh (H’) của đường (H)

3.4 Xác định quỹ tích của một điểm

3.5 Xác định hình cần dựng

III ỨNG DỤNG PHÉP TỊNH TIẾN TRONG GIẢI TOÁN

1.GIẢI BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN HÀM SỐ

1.1 XÁC ĐỊNH ĐIỂM, ĐỒ THỊ HÀM SỐ KHI BIẾT PHÉP TỊNH TIẾN

1.2 TÌM PHÉP TỊNH TIẾN KHI BIẾT ĐỒ THỊ HÀM SỐ

2.GIẢI BÀI TOÁN HÌNH HỌC

2.1 DẠNG TOÁN XÁC ĐỊNH GÓC, ĐỘ DÀI

2.2 DẠNG TOÁN XÁC ĐỊNH QUỸ TÍCH

2.3 DẠNG TOÁN CHỨNG MINH

2.4 DẠNG TOÁN DỰNG HÌNH

2.5 DẠNG TOÁN CỰC TRỊ

1

I LỜI MỞ ĐẦU

Lời đầu tiên nhóm chúng em xin gửi đến quý thấy cô khoa

Toán- tin học, trường Đại học Khoa học Tự nhiên lời chào trân trọng

nhất, cùng lời chúc sức khỏe và lời cám ơn sâu sắc Nhờ sự quan tâm

và sự chỉ dẫn nhiệt tình, chu đáo, tận tâm của quý thầy cô, chúng em

đã có thể hoàn thành được bài tiểu luận này

Một lần nữa, với lòng biết ơn sâu sắc, chúng em xin gửi lời cám

ơn đến quý thầy cô thuộc khoa Toán- tin, trường Đại học Khoa học Tự

nhiên, cùng như quý thầy cô thuộc Đại học Quốc gia Thành phố Hồ

Chí Minh, vì đã tạo cơ hội cho chúng em được tiếp cận với bộ môn

Hình học sơ cấp, một môn học vô cùng bổ ích, thú vị và có nhiều ứng

dụng trong thực tiễn đời sống Đặc biệt, chúng em xin gửi lời cám ơn

chân thành nhất đến thầy Trần Nam Dũng đã hỗ trợ, cung cấp kiến

thức, chỉ bảo, hướng dẫn chúng em trong suốt quá trình làm tiểu luận

Bài tiểu luận này của chúng em được thực hiện với sự cố gắng,

nỗ lực và tâm huyết của tất cả các thành viên trong nhóm Tuy nhiên,

với tầm hiểu biết, kiến thức vẫn còn hạn chế nên bài tiểu luận vẫn còn

nhiều thiếu sót Vì vậy chúng em rất mong có thể nhận được sự nhận

xét, góp ý từ quý thầy cô cũng như bạn bè để chúng em có thể hoàn

thiện hơn bài tiểu luận, đúc kết kinh nghiệm để phục vụ tốt hơn cho

những dự án trong tương lai

Xin chân thành cám ơn!

II GIỚI THIỆU VỀ PHÉP TỊNH TIẾN

Trong mặt phẳng cho vectơ Phép biến hình biến mỗi

điểm M thành M’ sao cho:

⃗ ′

= được gọi là phép tịnh tiến theo vectơ

Định ly 2: Phép tịnh tiến biến ba điểm thẳng hàng thành ba diểm

thẳng hàng và không làm thay đổi thứ tự của ba điểm đó

2.2 Hệ qua

Phép tịnh tiến theo vectơ biến:

+Đường thẳng (đoạn thẳng) thành đường thẳng (đoạn thẳng) song song hoặc trùng với đường thẳng(đoạn thẳng) đã cho +Tia thành tia

có cùng hướng

+Đa giác thành đa giác bằng với đa giác đã cho

+Đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính (khi đó chỉ cần xác định ảnh của tâm)

+Góc thành góc bằng góc đã cho

3 PHƯƠNG PHÁP LÀM

3.1 Xác định phương trình anh (d’) của đường thẳng (d)

Phương pháp 1:

 Chọn điểm M( 0 , 0 ) cụ thể thuộc đường thẳng (d) và vecto pháp tuyến = (A, B) của đường thẳng (d).

 Dùng biểu thức tọa độ để tìm ′ ( 0 ′ , 0 ′ ) là ảnh của M qua phép tình tiến .

 ( ′ ): A(x - 0′) + B(y - 0′) = 0

Phương pháp 2:

 Chọn 2 điểm M( 0 , 0 ) và N( 1 , 1 ) cụ thể thuộc đường thẳng

(d)

 Dùng biểu thức tọa độ để tìm ′ ( 0′, 0′) và ′ ( 1′, 1′) là ảnh của M và N qua phép tình tiến



3.2 Xác định phương trình anh (C’) của đường tròn (C)

Xác định tâm O( , ) và bán kính R của đường tròn (C).

 Dùng biểu thức tọa độ để tìm tọa độ ảnh ′ ( 0′, 0′) của tâm O qua phép tịnh tiến .

 Đường tròn ( ′ ) là đường tròn có tâm ′ và bán kính R

 ( ′ ): (x − 0′) 2 + (y − 0′) 2 = R 2

3.3 Xác định phương trình anh (H’) của đường (H)

Gọi M(x, y) là điểm tùy y trên đường (H): ƒ(x, y) = 0.

 Gọi ′ ( ′ , ′ ) là ảnh của M qua phép tịnh tiến

 {

 MЄ(H)=>ƒ( ′ − , ′ − )=0.

 ( ′ ) là ảnh của (H) qua phép tịnh tiến => ( ′ ) là tập hợp tất cả các điểm ′

 ( ′ ): ƒ(x − a, y − b) = 0

3.4 Xác định quỹ tích của một điểm

Từ giả thiết chọn điểm E di động sao cho EM v không đổi (tức là phải tìm

ra một hình bình hành có EM là cạnh và cạnh đối diện của nó phải cố định)

 Xác định hình (H) là quỹ tích của điểm E

 Khi đó tập hợp các điểm M là (H’) - ảnh của (H) qua phéptịnh tiến theo vectơ v

3.5 Xác định hình cần dựng

 (Dựng điểm M) Tìm một hình (H) cố định và vectơ v không đổi cho trước sao cho khi thực hiện phép tịnh tiến theo vectơ v ta có được ảnh là hình (H’) giao với (C) cố định tại điểm M cần dựng

 Thực hiện phép tịnh tiến theo vectơ v để tìm các điểm còn lại từ đó ta có hình cần dựng

III ỨNG DỤNG PHÉP TỊNH TIẾN TRONG GIẢI TOÁN

1.1 XÁC ĐỊNH ĐIỂM, ĐỒ THỊ HÀM SỐ KHI BIẾT PHÉP TỊNH TIẾN

Bài 1: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho điểm A(1;2), B(-2;3) Tìm toạ độ điểm M’ là ảnh của điểm M(-3;4) qua phép tịnh tiến .

Theo công thức toạ độ phép tịnh tiến ta có:

x ′ = 4 + 2t − 3 = 2t + 1

là phương trình tham số của đường thẳng d’

Kết luận: Suy ra x’ = 2(1 − y’) + 1 2y’ + x’ = 3 là phương trình tổng quát của đường thẳng d’

Bài 3: Trong mặt phẳng tọa độ cho đường tròn (C) có phương trình2 +2 − 2 + 4 − 4 = 0 Tìm ảnh của đường tròn (C) qua phép tịnh tiến theo vecto = (−2; 3).

Bài 4: Trong mặt phẳng tọa độ cho đường tròn (C) có phương trình ( − 2)2 + ( + 1)2 = 16 và đường tròn (C’) có phương trình ( − 5)2 + ( + 5)2

= 16 Biết đường tròn (C’) là ảnh của đường tròn (C) qua phép tịnh tiến theo vecto Tìm tọa độ của vecto .

Hướng dẫn

Tâm đường tròn (C) là điểm (2; −1), tâm đường tròn (C’) là điểm

′(5; −5).

Do đường tròn (C’) là ảnh của đường tròn (C) qua phép tịnh tiến theo vecto nên′ cũng là ảnh của qua phép tịnh tiến theo vecto .

Gọi tọa độ của vecto là: = ( ; )

Vậy tọa độ của vecto là: = (3; −4)

1.2 TÌM PHÉP TỊNH TIẾN KHI BIẾT ĐỒ THỊ HÀM SỐ

Bài 1: Cho hàm số y = 2x − 1 có đồ thị là đường thẳng d và hàm số y = 2x − 7 có đồ thị là đường thẳng (d 1 ) Tìm phép tịnh tiến biến d thành (d 1 ).

Hướng dẫn

Đặt f(x) = 2x − 1

Ta có: y = 2x − 7 = 2x − 6 − 1 = 2(x − 3) − 1 = f(x − 3)

Kết luận: Vậy phép tịnh tiến cần tìm ở đây chính là ta đã tịnh tiến (d)

sang phải 3 đơn vị để được (d1)

Kết luận: Vậy phép tịnh tiến cần tìm ở đây chính là ta đã tịnh tiến đồ

thị sang phải 2 đơn vị

Bài 3: Cho đồ thị (P 1 ): y = x2 − 10x + 5 có và đồ thị

8

Kết luận: Để biến (P 1 ) thành (P 2 ) thì chúng ta phải tịnh

tiến (P 1 ) sang trái 1 đơn vị, sau đó tịnh tiến tiếp đồ thị lên trên 3 đơn vị.

u v

2 GIẢI BÀI TOÁN HÌNH HỌC

2.1 DẠNG TOÁN XÁC ĐỊNH GÓC, ĐỘ DÀI

Bài 1:

ABC

Cho tứ giác ABCD có AB 6 3 cm, CD 12 cm, 150

, ADC 90 Tính độ dài cạnh BC và DA

10

Bài 2: Cho đường tròn (O, R) và hai điểm A, B nằm trên đường tròn

sao cho số đo cung AB bé hơn 180 Gọi (O’;R’) và B’ là ảnh của

(O;R) và B qua phép tịnh tiến theo 2OA Tính số đo BAB'

 (O,R) tiếp xúc (O’, R’)

 A là điểm tiếp xúc giữa (O) và (O’)

Kẻ tiếp tuyến (d) qua A cắt BB’ tại E

11

2.2 DẠNG TOÁN XÁC ĐỊNH QUỸ TÍCH

Bài 1: Cho hai điểm phân biệt B, C cố định (BC không phải là đường

kính) trên đường tròn (O), điểm A di động trên (O) Chứng minh rằngkhi A di động trên (O) thì trực tâm H của tam giác ABC di động trên một đường tròn

Hướng dẫn

Dựng đường kính AD

Ta chứng minh tứ giác BHCD là hình bình

Vậy quỹ tích điểm H là đường tròn (O’) với

Bài 2: Cho hình thang ABCD có đáy AB cố

Biết AB = a và CD = b (với a, b không đổi)

trong các trường hợp sau:

Do đó điểm D chạy trên đường tròn

Gọi A’ thuộc cạnh AB sao cho:

b a

bán kính R bỏ đi hai giao điểm của (C’) và đường thẳng AB

b) Gọi d là đường trung trực của AB

 d cố định (vì A, B cố định)

theo giả thiết ta có DA = DB

 D chạy trên d (bỏ trung điểm AB)

Gọi A’ thuộc cạnh AB sao cho:

Mà điểm C chạy trên đường thẳng d nên điểm C sẽ chạy trên đường thẳng d’.

Vậy tập hợp điểm C là đường thẳng d' = T (d) , bỏ giao điểm

I là trung điểm của HA '

OI là đường trung bình của tam giác

OI là đường trung bình của tam giác

ACA' A'C 2OI (2)

Từ (1) và (2) ta có A ' C AH AHCA' là hình bình hành HC AA ' O

14

Do đó theo định nghĩa của phép tịnh tiến ta có:

2.3 DẠNG TOÁN CHỨNG MINH

Bài 1: Cho tam giác

Phía ngoài tam giác

BB ' A ' A, BB'C'C, AA''C''C sao cho A là trung điểm đoạn

cắt cạnh

AA ''

A C

15

R ' R

Mà T R ' R là phép dời hình nên ta có:

A'B'C'CA, ABCC''A'' là các ngũ giác bằng nhau S

Bài 2: Cho hình bình hành ABCD và điểm M sao cho C

△MBD và MBC MDC Chứng minh rằng: AMD BMC

2.4 DẠNG TOÁN DỰNG HÌNH

Bài 1: Cho hình bình hành ABCD Dựng ảnh của

Bài 2: Cho hai đường tròn (O, R) và (O’, R’) (với R ≠ R’) và đường

thẳng 

Hãy dựng đường thẳng d song song với 

và chắnđường tròn (O) và (O’) những dây cung bằng nhau

Hướng dẫn Cách dựng:

Dựng đường tròn tâm I bán kính bằng R

Gọi {A’, B’} = (O’, R’) ∩ (I, R)

Dựng đường thẳng d đi qua hai điếm A’ và B’

Bài toán có nghiệm hình khi và chỉ khi 2 đường tròn (I, R) và (′,′) cắt nhau.

Khi đó bài toán chỉ có một nghiệm hình

2.5 DẠNG TOÁN CỰC TRỊ

Bài: Hai thôn nằm ở vị trí A, B cách nhau một con song (Xem hai bờ

sông là hai đường thẳng song song) Người ta dự định xây một chiếc cầu MN bắc qua sông (cầu vuông góc với bờ sông) và làm hai đoạn đường AM, NB (như hình vẽ) Hãy xác định vị trí chiếc cầu MN sao cho AM+NB ngắn nhất

Ta có AM + BN = A’N + NB ≥ A’B Để AM+BN

nhỏ nhất thì AM+BN=A’B Tức A’, M, B thẳng

hàng

M

N cố

Tài liệu tham khao: