(LUẬN văn THẠC sĩ) một số ứng dụng của liên phân số

Vì vậy, chúng tôi đã chọn đề tài "Một số ứng dụng của liên phân số"nhằm tìm hiểu những ứng dụng của liên phân số vào một số bài toán số học vớinhững ví dụ đơn giản có thể áp dụng cho học

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

NGUYỄN MINH THÚY

MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA LIÊN PHÂN SỐ

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thái Nguyên - 2015

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

NGUYỄN MINH THÚY

MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA LIÊN PHÂN SỐ

Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP

Mã số: 60.46.01.13

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học

TS NGUYỄN VĂN HOÀNG

Thái Nguyên - 2015

Mục lục

Mục lục i

Danh sách kí hiệu ii

Danh sách hình vẽ iii

Mở đầu 1 1 Kiến thức cơ bản về liên phân số 3 1.1 Liên phân số hữu hạn 3

1.2 Liên phân số vô hạn 7

1.3 Giải phương trình đồng dư bậc nhất một ẩn 11

1.4 Giải phương trình nghiệm nguyên bậc nhất hai ẩn 12

1.5 Ứng dụng liên phân số giải phương trình Pell 14

2 Xấp xỉ tốt nhất một số vô tỉ và góc nhìn hình học 17 2.1 Xấp xỉ tốt nhất đối với số vô tỉ 18

2.2 Liên phân số dưới góc độ hình học 34

Mở đầu

Liên phân số được giới thiệu đầu tiên bởi Leonardo Fibonacci trong công trình

"Liber abaci" xuất bản năm 1202 Đến thế kỉ thứ 16, Bombelli đã biểu diễn các

số thực bởi liên phân số Sau này, vào thế kỉ thứ 17, Huygens đã sử dụng chúngtrong việc xây dựng mô hình hệ thống năng lượng mặt trời Điều tuyệt vời là liênphân số đã mang lại cách biểu diễn số vô tỉ rất rõ ràng

Liên phân số là một đối tượng rất quan trọng của Số học với nhiều ứng dụnghay không chỉ trong các lĩnh vực của Toán học mà còn có nhiều ứng dụng trongthực tiễn Vì vậy, chúng tôi đã chọn đề tài "Một số ứng dụng của liên phân số"nhằm tìm hiểu những ứng dụng của liên phân số vào một số bài toán số học vớinhững ví dụ đơn giản có thể áp dụng cho học sinh phổ thông, đồng thời nghiêncứu các xấp xỉ tốt nhất đối với một số vô tỉ, đặc biệt là việc xem xét liên phân số

ở góc độ hình học để hiểu sâu hơn về liên phân số

Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, luận văn gồm hai chương:Chương 1 Chương này chúng tôi trình bày một số kiến thức cơ bản về liên phân

số và một vài ứng dụng phổ biến của nó: giải phương trình đồng dư bậc nhất một

ẩn, giải phương trình nghiệm nguyên bậc nhất hai ẩn, ứng dụng liên phân số giảiphương trình Pell

Chương 2 Chương này chúng tôi trình bày cách xấp xỉ một số vô tỉ bởi một sốhữu tỉ thông qua các giản phân của liên phân số Phần thứ nhất của chương nàytrình bày về hai loại xấp xỉ xấp xỉ tốt nhất loại một và xấp xỉ tốt nhất loại haicủa một số vô tỉ dưới góc độ đại số, tính chất của số hữu tỉ đủ gần một số vô tỉ

và việc có thể tìm được một số xấp xỉ tốt hơn nữa trong một vài trường hợp đặcbiệt Phần thứ hai của chương trình bày về việc có thể minh họa hình học tínhxấp xỉ của số vô tỉ bởi các số hữu tỉ thông qua việc mô tả khoảng cách từ các điểmnguyên (q, p) đến một đường thẳng L có độ nghiêng là số vô tỉ α

Luận văn này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn và chỉ bảo tận tình của thầygiáo TS Nguyễn Văn Hoàng - Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên

Tôi xin bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn sâu sắc đến Thầy về sự hướng dẫn hiệuquả cùng những kinh nghiệm trong suốt quá trình học tập, nghiên cứu và hoànthành luận văn.

Tôi xin gửi tới các thầy, cô khoa Toán - Tin, phòng Sau Đại học, Trường Đạihọc Khoa Học - Đại học Thái Nguyên cũng như các thầy giáo, cô giáo tham giagiảng dạy lớp Cao học Toán A khóa 2013 - 2015 lời cảm ơn sâu sắc về công laodạy dỗ trong suốt quá trình giáo dục, đào tạo của nhà trường Tôi cũng xin gửilời cảm ơn đến Ban giám hiệu trường THPT Ngô Quyền - Hạ Long, Quảng Ninh,các bạn bè đồng nghiệp và các bạn học viên đã động viên và giúp đỡ tôi trong quátrình hoàn thành luận văn này

Cuối cùng, vì điều kiện thời gian nên luận văn không tránh khỏi những thiếusót, tôi rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của các thầy, cô và các bạn đểluận văn được hoàn thiện

Thái Nguyên, ngày 18 tháng 04 năm 2015

Tác giả

Nguyễn Minh Thúy

Chương 1

Kiến thức cơ bản về liên phân số

Chương này nhằm trình bày những kiến thức cơ bản cần thiết về liên phân

số đơn hữu hạn, liên phân số đơn vô hạn và một số áp dụng thông dụng củachúng (giải phương trình nghiệm nguyên, phương trình đồng dư) cũng đượctrình bày ở chương này giúp cho việc trình bày có tính hệ thống và sáng rõ.Kiến thức của chương này được trình bày dựa trên một số tài liệu [6], [1],[2], [4]

Định lý 1.1.2 Cho α ∈ R Khi đó α là một số hữu tỉ nếu và chỉ nếu α cóthể biểu diễn được dưới dạng một liên phân số đơn hữu hạn.

Định nghĩa 1.1.4 Choα = [a0; a1, a2, , an] là một liên phân số hữu hạn,

ta định nghĩa P0, P1, P2, , Pn và Q0, Q1, Q2, , Qn bởi quy tắc truy hồisau như:

P0 = a0, P1 = a0a1 + 1

Pi = aiPi−1 + Pi−2, với 2 ≤ i ≤ n;

Q0 = 1, Q1 = a1

Qi = aiQi−1 + Qi−2, với 2 ≤ i ≤ n

Bổ đề 1.1.5 Nếu α = [a0; a1, a2, , an] là một liên phân số đơn hữu hạnthì

Q0 ≤ Q1 < Q2 < < Qn.Chứng minh Theo Định nghĩa 1.1.4 ta có Q0 = 1 ≤ Q1 Các trường còn lại,khi i ≥ 1 ta có ai ≥ 1, Qi−1 ≥ 1 nên

Qi+1 = ai+1Qi+ Qi−1 ≥ 1Qi + 1 > Qi

Định lý 1.1.6 Choα = [a0; a1, a2, , an] là một liên phân số đơn hữu hạn,khi đó giản phân thứ i là ci = Pi

Chứng minh Quy nạp theo m Nếu m = 1, ta có vế trái là

Giả sử đẳng thức đúng với m = k Xét m = k + 1 ta phải chứng minh

Định lý 1.1.8 Choα = [a0; a1, a2, , an] là một liên phân số đơn hữu hạn,khi đó ta có các phát biểu đúng sau đây:

i) PiQi−1− Pi−1Qi = (−1)i−1 với mọi 1 ≤ i ≤ n

ii) (Pi, Qi) = 1 với mọi 0 ≤ i ≤ n

Chứng minh Chứng minh ý i) được suy ra từ Định lý 1.1.7 bằng cách tínhđịnh thức hai vế Ý thứ ii) được suy ra từ đẳng thức (−1)i−1PiQi−1 −(−1)i−1Pi−1Qi = 1 với mọi 1 ≤ i ≤ n Đối với i = 0 ta có (P0, Q0) =(a0, 1) = 1

Định lý 1.1.9 Choα = [a0; a1, a2, , an] là một liên phân số đơn hữu hạn,khi đó ta có các đẳng thức sau:

i) ci− ci−1 = (−1)

i−1

QiQi−1

với mọi 1 ≤ i ≤ n,ii) ci − ci−2 = (−1)

iai

QiQi−2

với 2 ≤ i ≤ n.Chứng minh i) Ta có

ci−ci−2 = (ci−ci−1)+(ci−1−ci−2) = (−1)

Định lý 1.1.10 Cho α = [a0; a1, a2, , an] là một liên phân số đơn hữuhạn, khi đó

i) c0 < c2 < c4 < < c5 < c3 < c1

ii) Qi ≥ i với mọi 0 ≤ i ≤ n

Định nghĩa 1.1.11 Một dãy số (Fn) được gọi là dãy Fibonacci nếu nó xácđịnh bởi quy tắc F0 = 0, F1 = 1 và Fn+1 = Fn+ Fn−1 với n ≥ 1

Định lý 1.1.12 Cho α = [a0; a1, a2, , an] là một liên phân số đơn hữuhạn và cho dãy Fibonacci (Fn) Khi đó Qi ≥ Fi+1 với mọi 0 ≤ i ≤ n

Chứng minh Ta chứng minh quy nạp theo i Với i = 0, ta có Q0 = 1 ≥ 1 =

F1 Với i = 1, ta có Q1 = a1 ≥ 1 = F2 Giả sử k ≥ 1 và mệnh đề đúng vớicác trường hợp i ≤ k Từ đó ta có

Qk+1 = ak+1Qk + Qk−1 ≥ Fk+1 + Fk = Fk+2(vì ak+1 ≥ 1 và Qk−1 ≥ Fk; Qk ≥ Fk+1 theo giả thiết quy nạp)

Bổ đề 1.2.1 Cho dãy số nguyên a0, a1, a2, trong đó a1, a2, > 0 Vớimỗi i ≥ 0 ta đặt ci = [a0; a1, a2, , ai] Khi đó tồn tại giới hạn lim

nó được gọi là một liên phân số vô hạn

Chú ý 1.2.3 i) Một liên phân số vô hạn δ = [a0; a1, a2, ] trong trườnghợp a0, a1, a2, ∈ Z thì δ được gọi là liên phân số đơn vô hạn Trong luậnvăn này ta chủ yếu xét liên phân số đơn vô hạn

ii) Ta nhận thấy rằng: tất cả các phát biểu của Định nghĩa 1.1.3 đến Bổ đề1.2.1 đều đúng cho liên phân số đơn vô hạn.

Định nghĩa 1.2.4 Với mỗi số thực x, phần nguyên của x là bxc, được xácđịnh bởi bxc = max{n ∈ Z | n ≤ x}; và phần thập phân của x kí hiệu là

f rac(x), được xác định bởi f rac(x) = x − bxc Ta thấy 0 ≤ f rac(x) < 1.Định lý 1.2.5 Nếu α là số vô tỉ (tức là α ∈ R−Q) thì α có thể biểu diễnđược thành một liên phân số đơn vô hạn, và điều ngược lại cũng đúng.Chứng minh Choα ∈ R−Q Lấyα0 = α Ta xây dựnga0, a1, như sau: lấy

f rac(αk) ∈ R−Q, nên bước quy nạp hoàn thành.

Từ đó ta thấy rằng ai < αi < ai + 1 ⇔ 0 < f rac(αi) < 1 với mọi i ≥ 0.Suy ra αi+1 = 1

f rac(αi) > 1, và ai+1 = bαi+1c ≥ 1 Vậy a0, a1, a2, ∈ Ztrong đó a1, a2, > 0 Bây giờ ta có

αi+1 = 1

f rac(αi) ⇔ f rac(αi) = 1

αi+1 ⇔ αi = ai+ 1

αi+1với mọi i ≥ 0 Do đó ta viết được

Nói cách khác α = [a0; a1, a2, , ai, αi+1] = αi+1Pi+ Pi−1

αi+1Qi+ Qi−1 với mọi i > 0.

Từ đó

|α − ci| =

αi+1Pi + Pi−1

αi+1Qi + Qi−1 − Pi

Qi

=

α − P0

Q0

=

√

8 − 2

≈ 0, 8,

Bổ đề 2.1.1 Cho số vơ tỉ α ∈ R−Q có khai triển thành liên phân số đơn

vô hạn... tốt số vơ tỉ góc nhìn hình học

Chương nghiên cứu cách xấp xỉ số vô tỉ số hữu tỉthông qua giản phân liên phân số Ta trình bày khái niệm xấp

xỉ tốt loại xấp xỉ tốt loại hai số. .. này, sử dụng biểu diễn liên phân số ta tìm tất cảcác nghiệm phương trình Pell x2 − dy2 = phương trình liên quan

x2 − dy2 = −1, d số nguyên