Một số ứng dụng của phép biến hình vào giải toán trắc nghiệm lớp 12

Phép biến hình trong mặt phẳng đã được đề cập ở lớp11 và tập trung ởchương I hình học lớp11 nên trong quá trình giải bài tập trắc nghiệm các emthường quên hoặc chưa nắm chắc cách vận dụn

MỤC LỤC Trang

1 Mở đầu

1.1 Lí do chọn đề tài……… 2

1.2 Mục đích nghiên cứu……… 3

1.3 Đối tượng nghiên cứu……… 3

1.4 Phương pháp nghiên cứu……… 3

1.5 Những điểm mới của SKKN……… ………… 4

2 Nội dung sáng kiến kinh nghiệm 2.1 Cơ sở lí luận của đề tài……… 3

2.2 Thực trạng của vấn đề trước khi áp dụng SKKN ……… 8

2.3 Giải pháp thực hiện ……… 8

2.4 Hiệu quả của SKKN 18

3 Kết luận, kiến nghị 3.1 Kết luận …….……… 19

3.2 Kiến nghị …….……… 20

Tài liệu tham khảo……… 21

1 Mở đầu

1.1 Lí do chọn đề tài.

Toán học là môn khoa học cơ bản của các môn học khác, nó là môn khoahọc khó, trừu tượng đòi hỏi người học và người dạy phải đam mê, tâm huyết, tỉ

mỉ và kiên nhẫn mới thể nắm được

Từ năm học 2016-2017 trở đi, Bộ Giáo dục và Đào tạo thực hiện đổi mớitrong kỳ thi Trung học Phổ thông Quốc gia (THPTQG) Trong đó môn toánđược đổi từ hình thức thi tự luận sang hình thức thi trắc nghiệm.Việc thay đổi đãtạo nên nhiều bỡ ngỡ cũng như khó khăn cho cả giáo viên và học sinh trong việc

ôn luyện Hình thức thi trắc nghiệm môn toán đòi hỏi một số cách tiếp cận vấn

đề mới sovới hình thức thi tự luận Hơn nữa nội dung của kỳ thi THPTQG môntoán tăng độ khó dần Các câu hỏi rất phong phú, thức rộng chủ yếu là kiến thứclớp12 và dựa trên nền các kiến thức các kiến lớp trước đó

Phép biến hình trong mặt phẳng đã được đề cập ở lớp11 và tập trung ởchương I hình học lớp11 nên trong quá trình giải bài tập trắc nghiệm các emthường quên hoặc chưa nắm chắc cách vận dụng các phép biến hình vào giải bàitập

Là giáo viên dạy nhiều năm ở bộ môn toán THPT và trực tiếp giảng dạylớp chọn, đội tuyển học sinh giỏi trong nhà trường tôi đã gặp không ít nhữngtrắc trở trong việc giảng dạy ở nhiều bài toán, đặc biệt phép biến hình trong mặtphẳng có liên quan đến trắc nghiệm lớp12 Vì mỗi bài toán có thể có nhiều cáchgiải khác nhau, mỗi cách giải thể hiện được kiến thức toán học được vận dụngtrong đó.Trong các cách giải khác nhau đó, có cách giải thể hiện tính hợp lítrong dạy học, có cách giải thể hiện tính sáng tạo của toán học, có cách giải tìm

ra nhanh chóng nhất Trong đề tài này tôi muốn hướng dẫn học sinh cách tìmhướng khi giải mộ số bài toán trắc nghiệm thi THPTQG nhanh nhất theo phépbiến hình Từ đó để học sinh có nhiều định hướng trước khi tư duy để giải toándạng hàm số và số phức

Thực tế qua quá trình giảng dạy và tham khảo kết quả bài làm của họcsinh quacác kỳ thi,tôi thấy học sinh (kể cả những học sinh khá, giỏi) thườnglúng túng hoặc bỏ qua hoặc không làm được khi gặp loại toán này hoặc có giảiđược theo hướng đại số thông thường Có 2 nguyên nhân chính dẫn đến tìnhtrạng như trên đó là: Học sinh không định hướng được cách giải loại toán này

mà chỉ tư duy thuần túy theo đại số khi vận dụng kiến thức vào giải bài tập Cácthầy cô chưa tập trung khai thác nhiều và đứng trước một đề bài các em khôngbiết xử lí như thế nào cho phù hợp, tránh mất thời gian Phương pháp học tậpcủa học sinh quá thụ động, không sáng tạo, không linh hoạt khi hướng dẫn họcsinh học một cách tích cực

Do đó việc lựa chọn một đề tài SKKN nhằm góp phần giải quyết vấn đềtrên là việc làm phù hợp với thực tiễn, thể hiện tình yêu nghề và trách nhiệm của

người cán bộ giáo viên Từ thực tế trên tôi quyết định chọn đề tài: “Một số ứng dụng của phép biến hình vào giải toán trắc nghiệm lớp 12"

- Nhằm trang bị thêm cho học sinh một số công cụ mới để giải một số bài toán

đồ thị hàm số và số phức mới và khó

- Hệ thống hóa kiến thức, kĩ năng và nhận dạng một số bài toán về hàm số và sốphức mức độ vận dụng, để từ đó có hướng giải quyết bài toán

- Nâng cao khả năng tự học, tự bồi dưỡng

- Việc đưa ra hướng giải cho một số bài toán đó giúp cho học sinh có cái nhìnrộng hơn và nhanh chóng đưa ra được lời giải cho bài toán trắc nghiệm

1.3 Đối tượng nghiên cứu.

-Đề tài nghiên cứu,tổng kết về vấn đề giải bài toán ứng dụng của phép biến hình

vào giải toán trắc nghiệm lớp 12

- Học sinh khối lớp mà tôi được phân công trực tiếp giảng dạy Cụ thể là lớp 12

tôi đã và đang trực tiếp giảng dạy

1.4 Phương pháp nghiên cứu.

- Sử dụng phương pháp sưu tầm, phân tích các tài liệu, các đề thi thử THPTQG.Xây dựng cơ sở lí thuyết

- Nghiên cứu về cấu trúc và nội dung chương trình Toán 11, 12, phần phép biến

hình, đồ thị hàm số, ứng dụng hình học của số phức

- Gặp gỡ, trao đổi, tiếp thu ý kiến của các đồng nghiệp để tham khảo ý kiến làm

cơ sở cho việc nghiên cứu đề tài

- Thông qua thực tế dạy học trên lớp, giao bài tập,củng cố bài học,hướng dẫnhọc sinh chuẩn bị bài kết hợp với kiểm tra,đánh giá.Tổng hợp, so sánh,đúc rútkinh nghiệm

1.5 Những điểm mới của sáng kiến kinh nghiệm.

- Đưa ra tập tài liệu chính thống và cụ thể giúp học sinh nhận dạng và giải

nhanh một số bài toán trắc nghiệm ứng dụng phép biến hình để giải các bài toán

về đồ thị hàm số và số phức trong các kì thi THPTQG

- Phát triển tư duy hình học mới mẻ

2 Nội dung sáng kiến kinh nghiệm

2.1.Cơ sở lí luận của đề tài.

Nhiệm vụ trung tâm trong trường học THPT là hoạt động dạy của thầy và

hoạt động học của trò, xuất phát từ mục tiêu đào tạo “Nâng cao dân trí, đào tạo nhân lực, bồi dưỡng nhân tài” Giúp học sinh củng cố những kiến thức phổ

thông, đặc biệt là môn toán, môn học rất cần thiết và không thể thiếu được trongđời sống mỗi người

Môn toán ở trường THPT là một môn độc lập, chiếm phần lớn thời gian trongchương trình học của học sinh Môn toán có tầm quan trọng to lớn Nó là bộmôn khoa học nghiên cứu có hệ thống, phù hợp với hoạt động nhận thức tựnhiên của con người Nó có khả năng giáo dục rất lớn trong việc rèn luyện tưduy, suy luận logic, đem lại niềm vui,hứng thú, hình thành nhân cách tốt đẹpcho người lao động trong thời đại mới Bài toán ứng dụng giúp biến hình vàogiải các bài toán liên quan đến đồ thị hàm số và số phức giúp học sinh tư duy

hình học tốt hơn, hình thành phẩm chất của người lao động năng động,sáng tạo,làm chủ tương lai

Ứng dụng phép biến hình vào nội dung hàm số

Dựng đồ thị của một hàm số thông qua các phép biến hình từ đồ thị củamột hàm số đã cho

nên đồ thị hàm số y  f x( ) được suy ra từ đồ thị

hàm số y f x( ) bằng cách giữ nguyên phần bên trên trục hoành ( kể cả các điểmnằm trên trục hoành), lấy đối xứng phần bên dưới trục hoành qua trục hoành, sau

đó bỏ phần bên dưới trục hoành

nên đồ thị hàm số y f x( )được suy ra từ đồ thị hàm

sốy f x( ) bằng cách bỏ phần bên trái trục tung, lấy đối xứng phần bên phảitrục tung qua trục tung

Nếu k 1 do đó là phép dãn với hệ số dãnk

Nếu 0k 1đo đó là phép co với hệ số cok

Nếu k 0 thì ta dựng đồ thị hàm số y kf x( ) sau đó lấy đối xứng qua trụchoành Điểm bất động là những điểm nằm trên trục hoành

Hình 2.1.5 Hình 2.1.4

2.1.5 Đồ thị hàm số y f x( )m

Giả sử M x f x( ; ( ))thuộc đồ thị hàm số y f x( )đặt tương ứng với điểm'( ; ( ) )

M x f x m thuộc đồ thị hàm số yf x( )m.Do đó đồ thị hàm số( )

yf x m được suy ra từ đồ thị hàm số y f x( )bằng phép tịnh tiến theovéc tơ v(0; )m Từ đó ta thấy nếu m 0thì từ đồ thị hàm số y f x( ) ta “dịchlên” theo trục tung m đơn vị ta sẽ thu được đồ thị hàm số y f x( )m Nếu0

m  từ đồ thị hàm số y f x( ) ta “dịch xuống” theo trục tung  m đơn vị ta sẽthu được đồ thị hàm số y f x( )m Hiển nhiên m 0 thì phép tịnh tiến trêntrở thành phép đồng nhất.Nếu m 0 thì không có điểm bất động (điểm biếnthành chính nó)

cách bỏ phần bên dưới trục hoành, lấy

đối xứng phần bên trên trục hoành

qua trục hoành

Hình 2.1.6

Ứng dụng phép biến hình vào nội dung số phức

Các phép biến hình ứng với các phép toán trên tập số phức.Trong nộidung số phức ta đặt qui tắc mỗi số phức có dạng đại sốz a bi  với một điểm( ; )

M a b trên mặt phẳng Oxy

2.1.8 Phép cộng hai số phức

Dựa trên định nghĩa phép cộng hai số phức ta có nhận xét sau:

Giả sử số phức z được biểu diễn bởi điểm M , số phức z' được biểu diễn bởiđiểm M ' Khi đó điểm A biểu diễn số phức w z z  ' có được bằng cách tịnhtiến điểm M theo OM '

2.1.9 Phép trừ hai số phức

Dựa trên định nghĩa phép trừ hai số phức ta có nhận xét sau:

Giả sử số phức z được biểu diễn bởi điểm M , số phức z' được biểu diễn bởiđiểm M' Khi đó điểm Abiểu diễn số phức w z z  ' có được bằng cách tịnhtiến điểm M theo M O'

'

r .

2.1.12 Phép lấy số phức liên hợp

Dựa trên định nghĩa số phức liên hợp ta có nhận xét sau:

NếuM biểu diễn cho số phức z vàM'biểu diễn cho số phức z thì M và M 'đốixứng với nhau qua trục Ox

2.1.13 Phép lấy mô đun

Giả sử điểmM biểu diễn số phứcz khi đó OM z Giả sử điểm M biểudiễn số phức z , điểm 1 N biểu diễn số phức z Khi đó2 MN z2  z1

2.1.14 Một số biểu diễn hình học của số phức thường gặp

2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm

Các kiến thức phép biến đổi đồ thị, phép biến hình trong sách giáo khoatrình bày rất đơn giản, bài toán ở sách giáo khoa lớp 12 chỉ viết riêng cho hàm

số Trong khi đó các kỳ thi trắc nghiệm THPTQG trong những năm gần đây gầnnhư năm nào có ứng dụng của phép biến hình vào giải toán trắc nghiệm Kỹnăng giải quyết dạng bài tập này của học sinh còn yếu.Từ đó học sinh gặpvướng mắc với bài toán này hoặc có tâm lí ngại tiếp xúc với dạng toán này,thậm chí có rất nhiều học sinh yếu đọc lướt qua đề bài của bài toán này khi tham

dự các kì thi

Vì thế thông qua học tập làm sao giúp các em rèn luyện khả năng tư duysáng tạo, từ đó có kĩ năng giải quyết các vấn đề trong học tập, giúp học sinh cóhứng thú học tập bộ môn.Việc làm này tôi nghĩ cần thiết và phù hợp với yêu cầucủa giáo dục trong giai đoạn mới

Từ thực trạng trên để công việc đạt hiệu quả hơn, trong chuyên đề này tôi

muốn hướng dẫn học sinh cách định hướng phương pháp giải bài toán“Một số ứng dụng của phép biến hình vào giải toán trắc nghiệm lớp 12" Trong chuyên

đề các bài tập sẽ trình bày nhiều dạng khác nhau, để từ đó các em đưa ra đượckết luận cho mình, ứng dụng loại bài tập nào cho phù hợp

2.3 Giải pháp thực hiện

Chuyên đề đã thực hiện trong năm học 2018-2019 tại lớp chọn 12B1 Sau khithực hiện có kiểm tra, đốichứng, tôi thấy những học sinh trung bình khá, khá,giỏi đã không có cảm giác vướng mắc hoặc đọc lướt đề bài dạng toán này nhưtrước đây khi chưa được tiếp thu chuyên đề Cũng qua đó học sinh tỏa ra hứngthú học tập đối với phần này

Trong mỗi bài toán hướng dẫn học sinh cách tìm tòi các lời giải khác nhau Từ

đó giúp các em có cách nhìn rộng, từ một bài toán cụ thể đến các vấn đề tổngquát

Khi gặp bài toán trong nội dung số phức ta đặt qui tắc mỗi số phức códạng đại sốz a bi  với một điểm M a b( ; ) trên mặt phẳng Oxy

Khi gặp bài toán trong nội dung hàm số ta có thể biến đổi đồ thị bằngcách giải trực tiếp hoặc dựa vào đáp số để thử và loại trừ các phương án, phầnbiến đổi đồ thị chỉ đề cập ở sách bài tập.

Tuy nhiên đề thi minh họa,thử nghiệm hay chính thức THPTQG các năm

từ 2017 trở lại đây, ta gặp rất nhiều, thậm chí ớ các câu vận dụng, vận dụng cao

Nó đòi hỏi chúng ta phải có cái nhìn rõ về vấn đề, phải loại bỏ phương pháp và

sử dụng phương pháp nào là hợp lí Sau đây là cách mà tôi định hướng cho họcsinh thông qua một số bài tập khi giải loại toán này

BÀI TẬP MINH HỌA

Dạng 1: Sử dụng phép biến đổi đồ thị từ đồ thị hàm số đã cho

Bài 1 Cho hàm số y f x( ) có đồ thị như hình vẽ bên (Hình 1.2.1) Xác địnhtất cả các giá trị của tham số m để phương trình ( )f x m có đúng hai nghiệmthực phân biệt.[6]

A m4;m0 B 3m4 C 0m3 D  4 m0

Hình 1.2.1 Hình 1.2.2

Hướng dẫn:

Theo 2.1.1 ta dễ dàng dựng được đồ thị hàm số y  f x( ) (Hình 1.2.2) Số nghiệm của phương trình ( ) f x m là số giao điểm của đồ thị hàm số

( )

y  f x và đường thẳng y m Dựa vào đồ thị ta có: m4;m 0 Do đó chọn A.

Theo 2.1.2 thì đồ thị của hàm số y f x( ) được dựng như hình 1.2.8.

Do đó đồ thị hàm số y f x( ) có 3 đường tiệm cận gồm tiệm cận đứng và tiệmcận ngang Chọn C

Bài 4.

Cho hàm số bậc bay f x( ) có đồ thị

như hình ( Hình 1.2.9) Gọi M m, lần lượt

là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của

y f x bằng cách thực hiện phép dãn theo trục hoành với hệ số dãn 2 ( Hình

1.2.10) sau đó thực hiện phép dãn theo trục tung với hệ số dãn 3

2(Hình 1.2.11) Vậy M 3,m 0 M m 3 Chọn D

y m Dựa vào đồ thị của y x3 2x1 và y m suy ra để phương trình đã

cho có 3 nghiệm phân biệt thì 9 4 6 9 4 6

Dạng 2: Sử dụng phép biến hình vào nội dung số phức

Bài 6 Trong mặt phẳng tọa độ, điểm M là điểm biểu diễn của số phức z nhưhình vẽ bên Điểm nào trong các điểm sau là điểm biểu diễn của số phức 2z [4]

A Điểm N B Điểm Q

C Điểm E D Điểm P

Hình 1.2.13

Hướng dẫn: Số phức 2z ta thực hiện liên tiếp phép quay tâm O góc quay

2 0

Arg 

 ( đây là phép đồng nhất) và phép vị tự tâm O tỉ số 2 2 Do đó chọnC

Lưu ý: Phép quay biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính, biến tâm

thành tâm Phép vị tự tỉ số k biến đường tròn thành đường tròn có bán kính k R

, biến tâm thành tâm.Do đó theo 2.1.3, các điểm biểu diễn số phức (1i z) làđường tròn ( ')C Vì (1i)(1 2 ) 3 i   i nên tâm của ( ')C là I'(3; 1) Bán kínhcủa( ')C là R' 1 i.1 2

Hình 1.2.14

Theo 2.1.1, các điểm biểu diễn số phức w (1 i z)  5 2i là đường tròn ( '')C

Vì (1i)(1 2 ) 5 2 i   i   3 i 5 2i 8 3i nên tâm của ( '')C là I''(8; 3) Phép tịnh tiến không làm thay đổi bán kính nên bán kính của ( '')C là

Bài 8 Cho số phức z thỏa mãn z 1 2i  z 3 i 20,w w là hai số phức1, 2thỏa mãn phương trình w(3 4 ) i z 1 2i Tìm giá trị lớn nhất của w1 w2 [10]

Hướng dẫn:

Theo 2.1.14.3 thì z 1 2i  z 3 i 20là một đường elip có độ dàitrục lớn là 20 thì w(3 4 ) i z 1 2i cũng là elip có độ dài trục lớn là(3 4 )20 100 i  Do đó max w1 w2 100

2

1 ( 1)

AH d A F F     

  , AF 1 13; AF 2 73Vậy maxT  73, 5

Bài 10 Trong mặt phẳng phức, tìm tập hợp các điểm biểu diễn của số phức zthỏa mãn điều kiện: z 2    i z [1]

Đặt z a bi,  a,b ¡  là số phức đã cho và M x; y  là điểm biểu diễn của

z trong mặt phẳng phức, điểm A biểu diễn số  2 tức A 2; 0 và điểm B biểudiễn số phức i tức B 0;1  Khi đó    MA  MB

Vậy tập hợp điểm M cần tìm là đường trung trực của AB: 4x 2y 3 0   

Bài 11 Trong mặt phẳng phức, tìm tập hợp các điểm biểu diễn của số phức z

thỏa mãn điều kiện: z 2    z 2 5  [6]

Vì MF 1  MF 2  F F 1 2 nên tập hợp điểm Mlà 1elip.

Bài 7.

Cho số phức z có miền biểu diễn là

miền trong kể cả biên của hình vuông

A Elip B Parabol C.Đường thẳng D Đường tròn

2.4 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục,với bản thân,đồng nghiệp và nhà trường.

Để thấy rõ vai trò, ý nghĩa và sự tác động khác nhau lên quá trình lĩnh hội kiếnthức, sự phát triển năng lực tư duy sáng tạo, hình thành kĩ năng của học sinh khigiáo viên không sử dụng và sử dụng đề tài, tôi đã tiến hành kiểm nghiệm nhưsau:

-Tôi tiến hành kiểm tra 1 tiết ( thời gian 45 phút ) cho 2 lớp chọn 12B1 và 12C1(Lớp 12C1 năm học 2017-2018 và lớp 12B1 năm học 2018-2019)gồm 8 câu trắcnghiệm trong đề tài

-Tôi so sánh kết quả thực nghiệm của lớp 12C1 năm học 2017 – 2018 với kếtquả của lớp 12C2 năm học 2016 – 2017 khi chưa áp dụng đề tài với cùng mộtbài kiểm tra Đây là hai lớp chọn ban KHTN có khả năng tiếp thu tương đươngnhau Kết quả: các em lớp 12C1 đạt kết quả tốt hơn nhiều so với các em họcsinh lớp 12C2

SL 11

27,5%

SL 16

40%

SL 13

32,5%

12B1 37 SL 8

22%

SL 12

33%

SL 12

32%

SL 5

13%

SL 0

0%

- Từ kết quả kiểm tra tại lớp, phần làm bài của học sinh khi học bồi dưỡng ônthi đại học, tốt nghiệp THPTQG tôi nhận thấy việc đưa đề tài vào giảng dạy làthiết thực, phát huy hiệu quả cao.Từ đó nâng cao chất lượng thi học sinh giỏi, thiTHPTQG hàng năm.Từ đó tăng cường điểm số ở phần câu hỏi phân loại thísinh, góp phần làm nổi bật thành tích mũi nhọn của nhà trường

- Trong quá trình giảng dạy tôi đưa ra hệ thống các bài toán để học sinh nhận

dạng và lựa chọn phương pháp làm bài phù hợp Các bài toán này được thựchiện trên một số học sinh trung bình khá trở lên tiếp thu và vận dụng tốt đảmbảo yêu cầu chính xác, tiết kiệm được thời gian

Mặt khác đây cũng là tập tài liệu mà các thành viên trong tổ Toán học hỏi

và bổ sung kiến thức cho bản thân nhằm nâng cao chất lượng dạy và học trongnhà trường

3 Kết luận, kiến nghị

3.1 Kết luận.

Trên đây chỉ là một vài bài tập minh họa cho việc định hướng phương pháp sử

dụng phép biến hình trong việc giải một số bài toán về số phức và hàm số, đểchúng ta có cách nhìn đúng hướng về việc tìm ra lời giải cho bài toán dạng nàygiúp cho việc dạy và học toán có hiệu quả hơn, kiểu tư duy này được áp dụngtrong thực tế giảng dạy và học tập tùy theo yêu cầu của chương trình, của ngườihọc, người dạy mà ta lựa chọn bài tập phù hợp Sau khi thực hiện đề tài này, tôithấy có một số vấn đề cần rút ra như sau:

- Thứ nhất là qua cách định hướng các em tự hệ thống hoá được để giải quyếtcho cùng một bài tập, đồng thời các em nhận xét, áp dụng cách giải thích hợpcho từng kiểu bài toán