25 de thi hoc sinh gioi lop 9 mon toan

Vẽ các tiếp tuyến CD; CE vớiđường tròn tâm O D; E là các tiếp điểm và E nằm trong đường tròn tâm O'.. Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH, trung tuyến AM, phân giác AI.. Qua điểm

SỞ GD&ĐT NGHỆ AN KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 9

NĂM HỌC 2009 – 2010 Môn thi: TOÁN LỚP 9 - BẢNG A

Thời gian làm bài: 150 phút

Cho x; y; z là các số thực dương thoả mãn: xyz = 1

Tìm giá trị lớn nhất của biểu

Cho hai đường tròn (O; R) và (O'; R') cắt nhau tại hai điểm phân biệt A và

B Từ một điểm C thay đổi trên tia đối của tia AB Vẽ các tiếp tuyến CD; CE vớiđường tròn tâm O (D; E là các tiếp điểm và E nằm trong đường tròn tâm O') Haiđường thẳng AD và AE cắt đường tròn tâm O' lần lượt tại M và N (M và N khácvới điểm A) Đường thẳng DE cắt MN tại I Chứng minh rằng:

NH PD  tại H Xác định vị trí của điểm M để tam giác AHB có diện tích lớnnhất.

(Hướng dẫn và biểu điểm chấm gồm 04 trang )

(4,5đ) (2,5đ) Với x 0thoã mãn phương trình 0,25

2 1 4 (2)

x y z I

 MDI MBI  (cùng chắn cung MI) 0,25

mà MDI ABE  (cùng chắn cung AE của đường tròn tâm O) 0,25

Gọi Q là giao điểm của CO và DE OC  DE tại Q

 OCD vuông tại D có DQ là đường cao

OQ.OC = OD2= R2(1)

0,50

Gọi K giao điểm của hai đường thẳng OO' và DE; H là giao điểm

Xét KQO và CHO có Q H 90 ;O   0  chung

H

E

P N

Ta có ANMP là hình vuông (hình chữ nhật có AM là phân giác)

tứ giác ANMP nội tiếp đường tròn đường kính NP

mà NHP 90 0 H thuộc đường tròn đường kính NP

mà PC = BN BN = BE BNE vuông cân tại B

 NEB 45 0 mà  NHB NEB (cùng chắn cung BN)

 NHB 45 0 (2)

Từ (1) và (2) suy ra AHB 90 0 H  (O; AB/2)

gọi H' là hình chiếu của H trên AB

Lưu ý: - Học sinh làm cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa

- Điểm bài thi là tổng điểm không làm tròn.

PHÒNG GD&ĐT THẠCH HÀ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI HUYỆN

NĂM HỌC 2018 – 2019 Môn thi: Toán 9

(Thời gian làm bài: 150 phút)

1 Cho đa thức f(x), tìm dư của phép chia f(x) cho (x-1)(x+2) Biết rằng f(x)

chia cho x - 1 dư 7 và f(x) chia cho x + 2 dư 1.

1 Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH, trung tuyến AM, phân giác AI.

Tính HI, IM; biết rằng AC= 4/3AB và diện tích tam giác ABC là 24 cm 2

2 Qua điểm O nằm trong tam giác ABC ta vẽ 3 đường thẳng song song với 3 cạnh

tam giác Đường thẳng song song với cạnh AB cắt cạnh AC, BC lần lượt tại E và D; đường thẳng song song với cạnh BC cắt cạnh AB và AC lần lượt tại M và N; đường thẳng song song với cạnh AC cắt cạnh AB và BC lần lượt tại F và H Biết diện tích các tam giác ODH, ONE,

ĐỀ CHÍNH THỨC

SƠ LƯỢC GIẢI

Đề thi chọn HSG cấp huyện năm học 2018 – 2019

Môn: TOÁN 9 Đáp án

 



  

 3

(2) Û (x- 2) 2 + = 2 0 Do (x- 2) 2 + ¹ " 2 0 x nên pt này vô nghiệm.

Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là S = -{ }1

Vì (x- 1)(x+ = 2) x2 + -x 2 là đa thức bậc 2 nên f(x) : ( 1)(x x 2) có đa thức dư dạng ax + b

Vậy phương trình có nghiệm : (x; y) = (2; -3), (2; -1), (-2; 3), (-2; 1)

4 Vì a, b, c là ba cạnh của một tam giác nên b + c > a

c a a b c    ;

2

b a a b c   Suy ra: a b c 2a 2b 2c 2 (dpcm)

a b b c c a   là độ dài 3 cạnh của một tam giác (Đpcm)

Áp dụng định lí Pitago trong tam giác vuông ABC ta tính được BC = 10 cm, suy ra AM = 5 (cm) (1)

Áp dụng tính chất giữa canh và đường cao trong tam giác vuông ABC ta tính được

Dấu “=” xẩy ra khi a = b =c, hay O là trọng tâm của tam giác ABC

Lưu ý: Học sinh làm cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa;

Điểm toàn bài quy tròn đến 0,5.

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 9 THCS

Thời gian: 150 phút (không kể thời gian

b) Tìm giá trị tự nhiên của m để P là số tự nhiên

2 Cho biểu thức: P = (a + b)(b + c)(c + a) – abc với a, b, c là các sốnguyên Chứng minh rằng nếu a + b + c chia hết cho 4 thì P chia hết cho 4

Bài 2 (5,0 điểm).

a) Chứng minh rằng: với mọi số thực x, y dương, ta luôn có: 1 1 4

x  y  x y

b) Cho phương trình: 2x2  3mx  2 0  (m là tham số) Có hai nghiệm x1

2 Cho tam giác ABC có ba góc nhọn AD, BE, CF là các đường cao Lấy Mtrên đoạn FD, lấy N trên tia DE sao cho MAN = BAC  Chứng minh MA làtia phân giác của góc NMF

= 64k3  16bk2  16ak2  4abc  16ck2  4bck  4ack abc abc

= 4 16 k3  4bk2  4ak2  abk  4ck2 bck ack  2abc (*)

Giả sử a, b, c đều chia 2 dư 1  a+ b + c chia 2 dư 1 (1)

Mà: a + b + c 4  a + b + c  2 (theo giả thiết) (2)

Do đó (1) và (2) mâu thuẫn  Điều giả sử là sai

Trong ba số a, b, c ít nhất có một số chia hết cho 2

Dấu “=” xảy ra khi m = 0

Vậy GTNN của M là 8 2 8  khi m = 0

1.a) Cách 1: Trên tia đối của tia MC lấy điểm E sao cho ME = MB

Do đó: MB + MC = MA

Cách 2:

Trên AM lấy điểm E sao cho ME = MB

Ta có: BEM là tam giác đều

Do đó: MB + MC = MA

1.b) Kẻ AN vuông góc với BC tại N

Vì ABC là tam giác đều nên O là trọng tâm của tam giác

2R

Ta có: AN = AB.sinABN

 32 : 23 3sin

S S

R R



2 Qua M kẻ đường thẳng song song với BC cắt DE tại K

Tứ giác AEDB nội tiếp CDE BAC  

AMD = AKD (c.g.c)  AMD AKD 

Nên:  AMF  AKN Ta có:  AMF  AMN  AKN

PHÒNG GD&ĐT HẠ HÒA KÌ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9

Năm học: 2015 – 2016 Môn: Toán Ngày thi: 4 tháng 12 năm 2015

(Thời gianlàm bài: 150 phút - Đề thi có 01 trang)

Bài 1(3 điểm):

a) Tìm nghiệm tự nhiên của phương trình: x + xy + y = 9.

b) Với a, b là các số nguyên Chứng minh rằng nếu 4a + 3ab 11b2  2 chia hết cho 5 thì

2016 2016

1008 1008 1008

2( )

a) Chứng minh rằng: AE.AB = AF.AC.

b) Gọi I và K lần lượt là hai điểm đối xứng với H qua AB và AC Chứng minh rằng ba điểm I, A, K thẳng hàng.

c) Chứng minh tỷ số

3

Tìm giá trị lớn nhất của P x y z y z x 3z 3x 2y

12

33

12

33

HƯỚNG DẪN CHẤM THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9

NĂM HỌC 2015-2016

M«n To¸n 9

I.a a.1,5 điểm

- Từ (gt) ta có :(x + 1)(y + 1) = 10 ; vì 10 = 1.10 = 2.5

- Vì x,y  N

- Lập bảng ta tìm được 4 nghiệm (x ;y) =(0 ;9) ;(9 ;0) ;(1 ;4) ;(4 ;1)

0,75 0,75

II Câu a(2 điểm)

Câu b(2 điểm)

Ta cã: (x2 y2 ) 2  1 nªn

b a

y

x b

y a

( )

( )

2 4

b x a y abx y

0 ) ( 2  2 2 

y

x b

y a

III Câu b(2 điểm)

Từ (gt) ta có :3x 2 -xy -2y 2 =0 (x-y)(3x+2y)=0  x=y hoặc x = 2

y Thay vào hệ ta được hệ vô nghiệm

KL : Hệ phương trình có 2 nghiệm (x ;y) =(1 ;1) ;(-1 ;-1).

1 1

IV

K

M I

IV Câu a(1 điểm)

XÐt tam gi¸c vu«ng ABH cã HE  AB

PHÒNG GD&ĐT KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN LỚP

9 THCS

NĂM HỌC 2012 - 2013

Môn thi: Toán

Thời gian: 150 phút (Không kể thời gian giao bài)

1 : 1

2 1

a a a a

a a

3

3 3

y x

y x y

x

Bài 3 (4 điểm).

1 Tìm nghiệm nguyên của phương trình: y2= - 2(x6- x3y - 32)

2 Cho tam giác ABC vuông tại A có phân giác AD Gọi M, N lần lượt làhình chiếu của B, C lên đường thẳng AD

Chứng minh rằng: 2AD ≤ BM + CN

Bài 4 (5 điểm).

Cho tam giác ABC vuông cân tại C Gọi M là trung điểm của cạnh AB, P

là điểm trên cạnh BC; các điểm N, L thuộc AP sao cho CN ┴ AP và AL =CN

1 Chứng minh góc MCN bằng góc MAL

2 Chứng minh ∆LMN vuông cân

3 Diện tích ∆ ABC gấp 4 lần diện tích ∆MNL, hãy tính góc CAP

Bài 5 (2 điểm).

Cho a b và ab = 6 Chứng minh:a2 b2  4 3

Đề chính thức

Họ và tên thí sinh: Số báo danh:

Họ tên và chữ ký của giá thị 1 Họ tên và chữ ký của giám thị 2

THCS

Hướng dẫn chấm môn toán

1 : 1

2 1

a a a a

a a

a a

1 (

2 1

1 : 1

1 2

a a

a a

a

a a

) 1 )(

1 (

2 1 : 1

12

a a

a

a a

a a

1 (

) 1 )(

1 (

1

2 2

1,0

1,01,0

2(2,0 đ)

Khi a = 2010 -2 2009 = ( 2009-1)2Thì A = 1 + ( 2009  1 ) 2  2009

1,01,0Câu 2

4,0 điểm 1(2,0đ) Ta có

(x + 1)(x +2)(x + 4)(x + 8) = 28x2(x2+ 9x +8)(x2+8x + 8) = 28x2+ x = 0 không phải là nghiệm của phương trình (1)+ Với x0 chia hai vế (1) cho x2ta được:

(1) <=> (  8 6 )(  8 9 )

x

x x

0,5

0,5

3 3

y x

y x y

y x

y xy x

y x

Hệ này tương đương với tuyển của hai hệ phương trình sau:

y x

2 2

y x

y xy x

1 

* Xét hệ (II) từ x+y = -1 ta có y = - x-1 thay vào phương trìnhđầu của hệ (II) ta được x2+x -2 = 0

Phương trình này có hai nghiệm: x = -1 và x = - 2

Từ đó ta thấy h ệ (II) có hai ghiệm: (1; - 2); (2; -1)Kết luận: Hệ đã cho có nghiêm (x;y) l à: (

2

1

; 2

1 

 ); (1; - 2); (2; -1)

0,5

0,50,25

0,50,25Câu 3

4,0 điểm 1(2,0đ): Ta có: : y2= - 2(x6- x3y - 32) <=> x6+(y-x3)2= 64

=> x6≤ 64 => -2≤ x ≤2 do x Z => x {-1; -2; 1; 0; 1; 2}

Xét các trường hợp:

+ x = 2 => (y - x3)2= 0 => y = 8+ x = 1 => (y - x3)2= 63 => y Z => pt này không có nghiệmnguyên

+ x = 0 => (y - x3)2= 4 => y = 8 và y = - 8+ x = - 1 => (y - x3)2= 63 => yZ => pt này không có nghiệmnguyên

+ x = -2 => (y - x3)2= 0 =>y = - 8Vậy nghiệm của phương trình là: (0;8); (0;-8); (2;8); (-2;-8)

0,50,250,250,250,250,250.25

2(2,0đ)

Ta có ∆AMB và ∆ANC vuông cân nên MA = MB và NA = NCNên BM + CN = AM + AN

Giả sử: AB ≥AC

AB

AC DB DC

DB

DC DM

Nếu I là trung điểm củaMN thì AD≤ AI và AM+AN= 2AIKhi đó 2AD≤ 2AI - AM+AN = BM + CN (đpcm)

0,50,5

0,50,5

vuông cân tại M

1,01,0

3 (2,0đ) Do các ∆LMN, ∆ABC vuông cân nên:

a b a

1,01,0

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

(Thời gian làm bài 120 phút, không kể thời gian giao đề)

a) Nêu điều kiện xác định và rút gọn biểu thức A

b) Đặt B = A + x – 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức B

Bài 2 (4,0 điểm) Giải phương trình

a) Chứng minh CIJ· = CBH·

b) Chứng minh DCJH đồng dạng với DHIB

c) Gọi E là giao điểm của HD và BI Chứng minh HE.HD = HC2

d) Xác định vị trí của điểm C trên nửa đường tròn (O) để AH + CH đạt giá trịlớn nhất

Bài 5 (2,0 điểm) Cho a b c , , 0 Chứng minh rằng a b c 2

b c  c a  a b  -HẾT -

Họ và tên thí sinh:……… …… …… Họ, tên chữ ký GT1:………

Số báo danh:……….…… ……… Họ, tên chữ ký GT2:………

ĐỀ CHÍNH THỨC

Bài Câu Nội dung Điểm

KỲ THI HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2016 - 2017 Môn thi : Toán 9

1 1,

1, 7

1) Chứng minh rằng với k là số nguyên thì 2016k + 3 không phải

là lập phương của một số nguyên

Giả sử 2016k + 3 = a3với k và a là số nguyên

Từ x2  25  y y(  6)

Để ý trong phương trỡnh chỉ chứa ẩn số x với số mũ bằng 2 , do

đú ta cú thể hạn chế giải với x là số tự nhiờn

Khi đú: y+3+x  y+3-x

Ta cú ( y+3+x)+(y+3-x) = 2(y+3) là số chẵnSuy ra 2 số ( y+3+x ) và (y+3-x) cựng tớnh chẵn lẻ Ta lại cú tớchcủa chỳng là số chẵn , vậy 2 số ( y+3+x ) và (y+3-x) là 2 số chẵn

0,5

Ta chỉ cú cỏch phõn tớch - 16 ra tớch của 2 số chẵn sau đõy:

-16 = 8 (-2) = 4 (-4) = 2 (-8) trong đó thừa số đầu bằng giá trị

Khi y+3+x= 8 , y+3-x = -2 ta có x= 5 , y= 0

Khi y+3+x= 4 , y+3-x = -4 ta có x= 4 , y= -3

Khi y+3+x= 2 , y+3-x = -8 ta có x= 5 , y= -6

Vì thế ph-ơng trình đã cho có các nghiệm :( x,y)   5,0 ; 5, 6 ; 4, 3        

D

C

B A

+) Trong tam giác vuông CIJ ta có tanCIJ· CJ CJ(CI HI)

+ Lấy điểm M trên nửa đường tròn (O) sao cho BOM =· 45 0

+ Tiếp tuyến của nửa đường tròn (O) tại M cắt AB tại N Ta có

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

PHÚ THỌ KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 9 THCS NĂM HỌC 2009-2010

Thời gian làm bài: 150 phút, không kể giao đề

Câu 1 (4đ)

a) Chứng minh rằng A 2 n  1 2 n  1 chia hết cho 3 với mọi số tự nhiên n

b) Tìm số các số nguyên n sao cho B n  2   n 13 là số chính phương

Cho đường tròn (O;R) và dây cung AB cố định, AB R 2  Điểm P di động trên dây

AB (P khác A và B) Gọi C;R 1 là đường tròn đi qua P và tiếp xúc với đường tròn (O;R) tại

A , D;R 2 là đường tròn đi qua P và tiếp xúc với đường tròn (O;R) tại B hai đường tròn

C;R 1 và D;R 2 cắt nhau tại điểm thứ hai là M.

a) Trong trường hợp P không trùng với trung điểm dây AB, chứng minh OM//CD

và 4 điểm C, D, O, M cùng thuộc một đường tròn

b) Chứng minh khi P di động trên dây AB thì điểm M di động trên đường tròn cố định và đưởng thẳng MP luôn đi qua một điểm cố định N

c) Tìm vị trí của P để tích PM.PN lớn nhất ? diện tích tam giác AMB lớn nhất ?

Câu 5 Cho các số dương x, y,z thỏa mãn điều kiện xy yz zx 670    Chứng minh rằng:

x yz 2010 y  zx 2010 z  xy 2010  x y z

ĐÁP ÁN ĐỀ PHÚ THỌ 2009-2010 Câu 1

a) Theo giả thiết n là số tự nhiên nên 2 n  1;2 ;2 n n  là 3 số tự nhiên liên tiếp 1

Vì tích của 3 số tự nhiên liên tiếp luôn chia hết cho 3 nên 2 n  1 2 2 n n  1

chia hết cho 3

Mặt khác  2 ;3 n  1 nên 2 n  1 2 n  1 chia hết cho 3

Vậy A chia hết cho 3 với mọi số tự nhiên n

b) Ta thấy B là số chính phương  4B là số chính phương

a) Ta có 2x 2  4x 3 2(x 1)    2   1 1 nên tập xác định của phương trình là R

Phương trình đã cho tương đương với

Vậy phương trình đã cho có 3 nghiệm x 1,x    1,x 3 

b) hệ đã cho tương đương với

(*) (x 2y)(5x 3y) 0

Từ giả thuyết suy ra x, y, z khác 0 và

a) Nối CP, PD ta có  ACP, OAB  lần lượt cân tại C, O nên CPA CAP OBP   

do đó CP // OD (1)

Tương tự  DPB, OAB  lần lượt cân tại D, O nên DPB DBP OAB    nên

OD//CP (2) Từ (1) và (2) suy ra ODPC là hình bình hành

Gọi CD cắt MP tại H cắt OP tại K thì K là trung điểm của OP

Theo tính chất 2 của đường tròn cắt nhau ta có CD  MP  H là trung điểm MP

O Vì 4 điểm C, D, O, M cùn thuộc một đường tròn (kể cả M O  ) nên

Vì  MAB đồng dạng với  MCD suy ra AMB COD  hay AMB AOB 90   0

Do AB cố định nên điểm M thuộc đường tròn tâm I đường kính AB

Ta có ACP BDP AOB 90     0 nên

  (góc nội tiếp và góc ở tâm của (D))

Do đó MP là phân giác AMB

Mà AMB AOB 90   0 nên M thuộc đường tròn (I) ngoại tiếp tam giác AOB Giả sử MP cắt đường tròn (I) tại N thì N là trung điểm cung AB không chứa điểm O nên N cố định

c)  MAP và  BNP có MPA BPN  (đối đỉnh); AMP PBN  (góc nôi tiếp cùng chắn 1 cung) nên  MAP đồng dạng  BNP (g.g)

Vì tam giác AMB vuông tại M nên

Diện tích tam giác AMB lớn nhất bằng R2

2 khi PA=PB hay P là trung điểm dây AB

x y z

   Thật vậy, với a,b   và x, y 0  ta có:

 

2 3

3

   

PHÒNG GD&ĐT

TP BẮC GIANG ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP THÀNH PHỐ NĂM HỌC 2016-2017

Môn: Toán lớp 9Thời gian làm bài: 150 phút

a Tìm tất cả các cặp số nguyên (x;y) thoả mãn x5 y2 xy2  1

b Cho a, b, c>0 thỏa mãn abc=1 Chứng minh

2

ab a   bc b   ca c  

Bài 4: (6 điểm) Cho nửa đường tròn (O;R) đường kính AB Trên nửa mặt phẳng

bờ AB có chứa nửa đường tròn vẽ tiếp tuyến Ax với nửa đường tròn, trên Ax lấy

M sao cho AM > R Từ M vẽ tiếp tuyến MC với nửa đường tròn, từ C vẽ CHvuông góc với AB, CE vuông góc với AM Đường thẳng vuông góc với AB tại

O cắt BC tại N Đường thẳng MO cắt CE, CA, CH lần lượt tại Q, K, P

a Chứng minh MNCO là hình thang cân

b MB cắt CH tại I Chứng minh KI song song với AB

c Gọi G và F lần lượt là trung điểm của AH và AE Chứng minh PG vuônggóc với QF

Bài 5: (1 điểm) Tìm số nguyên dương n lớn nhất để A= 427+ 42016+ 4n là số

x x

-*Nếux    1 0 x 1 ta có 1 y2  y2  1 đúng với mọi y nguyên

Vậy ngiệm của PT là (1;y  Z)

*Nêu x4 x3 x2   x 1 y2  4x4  4x3  4x2  4x  4 (2 )y 2

Ta có

2 2

1 ( 1)( 3) 0

T G F

B A

a/

2đ -Ta cóvuông tại CACBnội tiếp đường tròn (vì ) mà AB là đường kính nênAC BN ACB

Ta có MA=MC ( ), OA=OC ( ) nên MO là trung trực của AC

-Ta có MO NB MO NB// ;  MNBO là hình bình hành.Ta có

MAO

 = NOB (cm trên) nên ta có NO=MA, mà MA=MC ( ) nên

NO=MC vậy MNBO là hình thang cân

0,25

a) Giải phương trình sau: 4x2 20x25 x2 6x 9 10x20

b) Cho x, y là 2 số thực thoả mãn: x2+ 2y2+ 2xy + 7x + 7y + 10 = 0

Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức: A = x + y + 1

Bài 4: (6,0 điểm)

Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a N là điểm tùy ý thuộc cạnh AB Gọi E

là giao điểm của CN và DA Vẽ tia Cx vuông góc với CE và cắt AB tại F Lấy

M là trung điểm của EF

a) Chứng minh: CM vuông góc với EF

ĐỀ CHÍNH THỨC

- Lưu ý: Học sinh không được sử dụng máy tính cầm tay.

Hết -ĐÁP ÁN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN LỚP 9

2 2

4 a

M

F E

C

B A

 ECF cân tại C

Mà CM là đường trung tuyến nên CM EF

CM = AM M thuộc đường trung trực của AC.

Vì ABCD là hình vuông nên B, D thuộc đường trung trực của AC

 B, D, M thẳng hàng vì cùng thuộc đường trung trực của AC