15 de thi hoc sinh gioi lop 11 mon toan

Hãy xác định điểm O sao cho O cách đều tất cả các đỉnh của hình chóp S.ABCD và tính độ dài SO theo a... Cho hình chóp S.ABC có đường thẳng SA vuông góc với mặt phẳng SBC.. Chứng minh rằn

TRƯỜNG THPT HẬU LỘC 4

Tổ - Toán KÌ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG Năm học: 2018 - 2019

Môn thi: TOÁN - Lớp 11

Thời gian: 180 phút (không kể thời gian giao đề)

Đề thi có 01 trang, gồm 05 câu

Câu I (3,0 điểm)

Cho hàm số y x 2m2x m 3 ( với m là tham số)

1 Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị  P của hàm số khi m 0

2 Tìm m để đồ thị của hàm số đã cho cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt có hoành độ x x1; 2 thỏa mãn

p là nửa chu vi của tam giácABC ) Tính các góc còn lại của tam giác ABC

2 Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a b c  6 Chứng minh rằng:

Số báo danh

………

2 Trong mặt phẳng với trục toạ độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD có AB 2BC, B 7;3 Gọi M làtrung điểm của AB; E là điểm đối xứng với D qua A Biết rằng N2; 2   là trung điểm của DM,điểm E thuộc đường thẳng  : 2x y   9 0 Tìm tọa độ đỉnh D

Hết Thí sinh không được sử dụng tài liệu Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.

Cho hàm số y x 2m2x m 3 ( với m là tham số)

1 Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị  P của hàm số khi m 0

đồ thị là parabol có bề lõm hướng lên có trục đối xứng là đường thẳng x 1

cắt trục hoành tại điểm 1;0 ; 3;0   cắt trục tung tại điểm 0; 3  0.50

x x





 



Xét phương trình hoành độ giao điểm x2m2x m  3 0 (*)

để đồ thị của hàm số đã cho cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt có hoành độ

điểm Điều kiện: Trường hợp 1 ếux 0. x 0 thì ( )  2 0 : sai nên x 0 không là nghiệm 0.50

 Trường hợp 2 ếu x 0, chia hai vế cho x 0, thì:

x x

        (1) Đặt 1 Cauchy2 2 1 2.

x x

x x

x   ta có VT(*) 0, VF(*)0 nên(*) vô nghiệm. 0.50

ếu1 x 3, cả hai vế của(*) không âm nên ta có

phương trình sẽ vô nghiệm khi t 3 Kết hợp với điều kiện  hệ phương trình

đã cho có nghiệm duy nhất là  ;  6 6;

a BC b CA c AB   và p là nửa chu vi của tam giácABC ) Tính các góc còn lại

của tam giác ABC

2.0

Ta có

0.50

3x4y13 0 Xác định tọa độ các đỉnh của tam giác ABC.

2.0

Đường thẳng AC đi qua M và vuông

góc với BK nên có phương trình

B Gọi M là trung điểm của AB E là điểm đối xứng với D qua A Biết

rằng N2; 2   là trung điểm của DM , điểm E thuộc đường thẳng

: 2x y 9 0

    Tìm tọa độ đỉnh D

2.0

Ta chứng minh BNNE

Ta có AMAD12AB nên tam giác

ADM vuông cân tại A , suy ra

ANDM

Xét tam giac ANE và MNB có

1 , 2

Tọa độ điểm E là nghiệm của hệ 2 9 0 3  3;3

Gọi D x y ; , vì DE 4 5 và BD 10 nên tọa độ điểm D là nghiệm của hệ:

1 Gọi A là tập hợp tất cả các số tự nhiên có 5 chữ số Chọn ngẫu nhiên một số từ tập A, tính xác suất

để chọn được một số chia hết cho 7 và chữ số hàng đơn vị bằng 1

1 Chứng minh rằng phương trình 8x36 1 0x  có ba nghiệm thực phân biệt Hãy tìm 3 nghiệm đó

2 Cho dãy số  u n được xác định bởi: u1 sin1; u n u n 1 sin2n

n



   , với mọi n, n2.Chứng minh rằng dãy số  u n xác định như trên là một dãy số bị chặn

Câu 4 (3,0 điểm).

1 Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a 2, các cạnh bên bằngnhau và bằng 3a (a 0) Hãy xác định điểm O sao cho O cách đều tất cả các đỉnh của hình chóp S.ABCD và tính độ dài SO theo a

2 Cho hình chóp S.ABC có đường thẳng SA vuông góc với mặt phẳng (SBC) Gọi H là hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng (ABC) Chứng minh rằng đường thẳng SB vuông góc với đường thẳng

Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.

Họ và tên thí sinh:……….……… …….…….….….; Số báo danh………

SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC

———————

KỲ THI CHỌN HSG LỚP 11 THPT KHÔNG CHUYÊN

NĂM HỌC 2011-2012 HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN: TOÁN

———————————

I LƯU Ý CHUNG:

- Hướng dẫn chấm chỉ trình bày một cách giải với những ý cơ bản phải có Khi chấm bài học sinh làmtheo cách khác nếu đúng và đủ ý thì vẫn cho điểm tối đa

- Điểm toàn bài tính đến 0,25 và không làm tròn

- Với bài hình học nếu thí sinh không vẽ hình phần nào thì không cho điểm tương ứng với phần đó

II ĐÁP ÁN:

1 1,5 điểm

Điều kiện: cos 0

2

x   x  k (*)Phương trình đã cho tương đương với: 2cos (tan2 x 2xtan ) sinx  xcosx

0,25

2

2sin 2sin cos sin cos 2sin (sin cos ) sin cos

(sin cos )(2sin 1) 0

Giả sử số tự nhiên có 5 chữ số chia hết cho 7 và chữ số hàng đơn vị bằng 1 là: abcd1 0,5

Ta có abcd1 10. abcd 1 3.abcd7.abcd1 chia hết cho 7 khi và chỉ khi 3.abcd 1

chia hết cho 7 Đặt 3 1 7 2 1

3

h abcd  habcd h  là số nguyên khi và chỉ khi

     suy ra số cách chọn ra t sao cho số abcd1

chia hết cho 7 và chữ số hàng đơn vị bằng 1 là 1286

 suy ra nhận xét được chứng minh.

Trở lại bài toán, từ công thức truy hồi ta được: sin1 sin 22 2 sin2

M S

Gọi I AC BD  Do SA SB SC SD   nên các tam giác SAC, SBD cân tại đỉnh S

nên SI vuông góc với AC, BD suy ra SI vuông góc với mặt phẳng (ABCD) Dễ thấy mọi

điểm nằm trên đường thẳng SI cách đều các đỉnh A, B, C, D.

Gọi K là giao điểm của đường thẳng AH và BC; trong mặt phẳng (SBC) gọi D là giao

điểm của đường thẳng qua S, vuông góc với SC Ta có BC vuông góc với SH và SA nên

BC vuông góc với mặt phẳng (SAH) suy ra BC vuông góc với SK.

0,25

Trong tam giác vuông SAK ta có 12 12 12

SH  SA SK , kết hợp với giả thiết ta được

D

C

G B

Gọi G là trọng tâm của tứ diện; M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, CD,

BC, AD Ta có tam giác ACD bằng tam giác BCD nên AN BN suy ra MN AB ,

0,25

tương tự ta chứng minh được MN CD và đường thẳng PQ vuông góc với cả hai

đường thẳng BC, AD Từ đó suy GA GB GC GD  

b) Cho phương trình: m x 1 x34xx33 1 0x  (x là ẩn, m là tham số) Chứng minh vớimọi giá trị thực của mphương trình đã cho có ít nhất ba nghiệm thực phân biệt

Câu 4.

a) Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ Chứng minh mặt phẳng A BD'  song song với mặt phẳng

CB D' '  Tìm điểm M trên đoạn BD và điểm N trên đoạn CD’ sao cho đường thẳng MN vuông góc với mặt phẳng (A’BD).

b) Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng AD, BB’, C’D’ Xác định thiết diện cắt bởi mặt phẳng (MNP) với hình lập phương ABCD.A’B’C’D’, tính theo a diện tích thiết diện đó

I LƯU Ý CHUNG:

- Hướng dẫn chấm chỉ trình bày một cách giải với những ý cơ bản phải có Khi chấm bài học sinh làmtheo cách khác nếu đúng và đủ ý thì vẫn cho điểm tối đa

- Điểm toàn bài tính đến 0,25 và không làm tròn

- Với bài hình học nếu thí sinh không vẽ hình phần nào thì không cho điểm tương ứng với phần đó

II ĐÁP ÁN:

1(2đ) Ta có sin 2x 3 cos2x 2 3 sin xcosx 1 3

A là biến cố chọn ra được một số có bốn chữ số đôi một khác nhau abcd và không nhỏ

hơn 2013 Ta sẽ tính số các số có bốn chữ số đôi một khác nhau abcd và các số này chỉ có

thể xảy ra với

0,25

1

a  , b0,1, ,9 \ 1  , c0;1; ;9 \ 1;  b và d0;1; ;9 \ 1; ;  b c có 7 cách chọn

suy ra trong trường hợp này có 9.8.7 số thỏa mãn 0,5

Từ hai trường hợp trên ta được n A   7.8.9.9 7.8.9 7.8.9.8  Do đó xác suất cần tìm là:

u n

0,25 3.b (1,0 điểm)

Đặt f x m x 1x34xx33 1x ta được f x  xác định và liên tục trên 

Ta có f    2 1, 0 1, 1f   f   1, 2f  3 0,5

Do đó ta được f    2 f 0 0, 0f    f 1 0, 1 f    f 2 0 nên phương trình f x   0

có nghiệm thuộc 2;0 , 0;1 , 1;2     suy ra phương trình có 3 nghiệm phân biệt 0,5 4(3đ) 4.a (1,5 điểm)

N

M

D'

C' B'

D

C B

A' A

Ta có tứ giác BCD’A’ là hình bình hành nên CD BA' 'CD BDA'  ' (1)

0,5

Ta có tứ giác BDD’B’ là hình bình hành nên B D BD' ' B D BDA' '  ' (2)

Từ (1) và (2) ta được A BD CB D'   ' '

0,5

D'

C' B'

D

C B

A' A

Gọi S là trung điểm của AB, khi đó MS BDMS BDC ' và NS C D' NS BDC '

suy ra MNS BDC  ' Do MNS BC ' nên (MNS) cắt (BCC’B’) theo giao tuyến qua N

song song với BC’ cắt B’C’ tại Q.

0,5

Do MNS BD B D ' ' nên (MNS) cắt (A’B’C’D’) theo giao tuyến qua Q song song với

B’D’ cắt D’C’ tại P’, do P’ là trung điểm của C’D’ nên P’ trùng với P Do MNS C D '

nên (MNS) cắt (CDD’C’) theo giao tuyến qua P song song với C’D cắt DD’ tại R. 0,5

Do đó thiết diện cắt bởi (MNP) và hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ theo một lục giác đều

2 0

a b c

————————————

Câu I: (2,0 điểm).

1.Giải phương trình: (1 tanx)cos x (1 cot x)sin x  3   3  2sin 2x.

2 Tìm các nghiệm trong khoảng    ;  của phương trình:

Câu II: (2,0 điểm).

1 Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 6 chữ số khác nhau trong đó có 3 số chẵn và 3 số lẻ ?

2 Cho k là số tự nhiên thỏa mãn 5 k 2011  

2 1

3.4

2 1 2.3

2 1

Gọi Unlà số hạng tổng quát của Pn Tìm Un

n  lim 

2 Tìm giới hạn: 2 3

x 0

(x 2012) 1 2x 2012 4x 1 lim

x



Câu IV: (1,0 điểm).

Cho dãy số (un) xác định bởi : 1

1 Cho tứ diện ABCD có AB = CD = a, AC = BD = b, AD = BC = c M là điểm tùy ý trên cạnh

AB, (P) là mặt phẳng qua M và song song với AC và BD cắt BC, CD, DA lần lượt tại , P, Q Tìm

vị trí của M và điều kiện của a, b, c để thiết diện M PQ là hình vuông, tính diện tích thiết diệntrong trường hợp đó

2 Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn Xác định điểm M bên trong tam giác sao

cho MA + MB + MC nhỏ nhất

HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN : TOÁN 11 THPT

1 (1.0 đ) ĐK: sin xcosx 0  Khi đó pt trở thành:

ĐK: sinx cosx 0   dẫn tớisinx 0;cosx 0  

0.25Khi đó: (1) sin 2x 1 x k

x 12

x 12

Số các số tìm được là 5.C C 5! 3600024 35  (số).

0.5

TH2: Trong 3 số chẵn đó không có mặt số 0

Số các số tìm được là C C 6! 2880034 35  (số) 0.25Đ/ số 36000 28800 64800   số

k(k2)

1)(k(k

21

1.4.2.5.3.6 n(n 3)2.3.3.4.4.5 (n+2)(n 1)

IV 3.01.(2 đ)

+) Chứng minh được M PQ là hình bình hành

0.5+) M PQ là hình vuông  

Ta được vị trí của M trong tam giác ABC 0.25

Chú ý: Học sinh giải cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa

Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề)

Ngày thi: 26 /01/2019

Câu 1 (5.0 điểm).

a Giải phương trình sau sin 2xsinxcosx1 2sin xcosx 3 0 .

b Có bao nhiêu số nguyên của tập hợp 1;2; ;1000 mà chia hết cho 3 hoặc 5?

a     Tìm hệ số lớn nhất ?

suất để cả ba cầu thủ đều ghi ban là 0,336 Tính xác suất để có đúng hai cầu thủ ghi bàn

Câu 3 (6.0 điểm).

vàBC2a,AB AD DC a a    0 Mặt bên SBC là tam giác đều Gọi O là giao điểm của AC

a TínhSD

BiếtMD x Tìm x để diện tích thiết diện lớn nhất

b Giải hệ phương trình sau:

b Đặt S 1;2; ;1000 ; AxS 3x  ; BxS 5x 

Yêu cầu bài toán là tìm A B

Ta có

0,5 điểm

0,5 điểm

1000 3333

1000 2005

A B

Mặt khác ta thấy A B là tập các số nguyên trong S chia hết cho cả 3 và 5 nên nó

phải chia hết cho BC của 3 và 5, mà BCNN 3,5 15 nên

1000 6615

0,5 điểm

n

n

a a

8 12.2 126720

0,5 điểm

0,5 điểm

1,0 điểm

0,5 điểm

b Gọi A i là biến cố “người thứ i ghi bàn” với i 1,2,3

Ta có các A i độc lập với nhau và P A 1 x P A,  2  y P A,  3 0,6.Gọi A là biến cố: “ Có ít nhất một trong ba cầu thủ ghi bàn”

B: “ Cả ba cầu thủ đều ghi bàn”

C: “Có đúng hai cầu thủ ghi bàn”

1,0 điểm

0,5 điểm

Câu 3

(6điểm)

a Dễ thấy đáy ABCD là nữa hình lục giác đều cạnh a

Kẻ DT AC (/ / T thuộcBC ) Suy ra CT AD a  và DT vuông gócSD

Ta có: DT AC a 3.Xét tam giác SCT có

cắt , AD DC lần lượttại N P,

Qua M N P, , kẻ các đường thẳng song song với SD cắt SB SA SC, , lần lượt

tạiK J Q, , Thiết diện là ngũ giácNPQKJ

P

K

Q J

2 ,0 điểm

1,0 điểm

1,5 điểm

x a

1,5 điểm

1,0 điểm

Câu 1 (4,0 điểm) Cho dãy số ( ) u n xác định bởi: u 1 2 và 2

Câu 2 (4,0 điểm) Cho tam giác ABC AB AC(  và BAC 120 )0 , về phía ngoài tam giác ABC

dựng các tam giác đều ABB ACC', ' Gọi M N P M N P, , , ', ', ' theo thứ tự lần lượt là trung điểmcủa các đoạn thẳng B C,CA, AB B C C, ' ', ' , 'A AB Chứng minh rằng:

b) MM NN PP đồng quy.', ', '

Câu 3 (4,0 điểm) Tìm tất cả các hàm số : f  thoả mãn

TRẠI HÈ HÙNG VƯƠNG LẦN THỨ XIII

TUYÊN QUANG 2017 ĐỀ THI OLYMPIC MÔN TOÁN LỚP 11

gày thi: 29 tháng 7 năm 2017Thời gian làm bài:180 phút (không kể thời gian giao đề)

(Đề thi có 01 trang)

ĐỀ CHÍNH THỨC

a) Tìm số dư của x2017 khi chia cho 4.

b) Chứng minh rằng x n100 x n (mod 101) với mọi số tự nhiên n

Câu 5 (4,0 điểm) Xét k là số nguyên dương thỏa mãn tính chất: Tồn tại 2017 tập con A1, , A20 71

i i

x A với i  1, ,2017 Hãy xác định giá trị bé nhất của k

-

HẾT -Thí sinh không được sử dụng máy tính cầm tay Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.

Họ và tên thí sinh: Số báo danh:

HƯỚNG DẪN CHẤM THI OLYMPIC TRẠI HÈ HÙNG VƯƠNG LẦN THỨ XIII

b) Tìm số thực c lớn nhất sao cho u n c với mọi số nguyên dương n

(Dựa trên đề đề xuất của THPT chuyên Lào Cai)

4,0

a) Từ giả thiết suy ra u  n 0 và *

Trước hết ta chứng minh u n    1, n * (2) bằng quy nạp

Với n 1,2 thì hiển nhiên (2) đúng

Giả sử (2) đúng với n k k ( 2) Khi đó: 1 1 1 ( 1) 1

0,5

Chú ý Nếu học sinh chỉ chứng minh được limu  k 1 mà chưa chứng minh được c  thì cho1

1 điểm.

Câu 2 (4,0 điểm)Cho tam giác ABC AB AC(  và BAC 120 )0 , về phía ngoài tam giác ABC dựng

các tam giác đều ABB ACC', ' Gọi M N P M N P, , , ', ', ' theo thứ tự lần lượt là trung điểm của các đoạnthẳng B C,CA, AB B C C, ' ', ' , A AB' Chứng minh rằng:

a) Các tam giác MN P M NP' ', ' là các tam giác đều

60 ( ') 60 ( (1 ' ')) 1( 60 ( ) 60 ( ')) 1( ' ) '.

Q  MN Q  BA CC   Q  BA Q CC     BB CA  MP

Suy ra tam giác MN P đều Tương tự, tam giác' ' M NP đều.'

Cách 2 Chứng minh các tam giác P AN P PM' ', ' và MNN bằng nhau Suy ra tam giác'

' '

b) Vì BAC1200 nên các đường thẳng MM NN PP', ', 'không song song

Gọi Q là giao điểm của NN PP', ' Đặt  MPN ANP ; APN MNP .

Ta có các điều kiện sau tương đương:

1) MM NN PP', ', ' đồng quy

2) M M Q, ', thẳng hàng

3) P NMM Q( ' )N PMM Q( ' )

4) P NMM P( ' ')N PMM N( ' ')

5) sin ' :sin ' sin ' : sin '

sin ' sin ' sin ' sin '

6) sin 60 : sin(60 ) sin 60 : sin(60 )

sin(60 ) sin(60 ) sin(60 ) sin(60 )

với mọi số thực x y,

(Đề xuất của Tổ ra đề)

4,0

Theo giả thiết ta có f x( ) ( x2y f y2) ( ) với mọi x y,

Đổi vai trò x y, được f y( )x2y f x2 ( ) Do đó  2 2  2 22

f y  x y f x  x y f y 1,5Cho x  thì2 f y( ) (4 y2 2) ( )f y Suy ra f y ( ) 0 với mọi y 1,0Mặt khác x y 0 ta được f(0) 0 Vậy f(0) 0 0,5Cho y 0 ta được f x ( ) 0 với mọi x Vậy f 0 1,0

Câu 4 (4,0 điểm) Cho dãy số nguyên ( )x n xác định bởi: x 0 0, x 1 1 và x n2 3x n1x n với mọi số tự

nhiên n

a) Tìm số dư của x2017 khi chia cho 4

b) Chứng minh rằng x n100 x n (mod 101) với mọi số tự nhiên n

2n k n k3 5 k

k n k

Áp dụng định lý Fermat nhỏ ta được: x 100 0 (mod101) và x 101 1(mod101) Do công thức

truy hồi, suy ra x n100 x n (mod101) với mọi số tự nhiên n 0,5

Cách 2 Học sinh có thể xét tìm dãy các số dư của x n modulo 101 Danh sách các số dư của

dãy khi chia cho 101 như dưới đây:

[0, 1, 3, 8, 21, 55, 43, 74, 78, 59, 99, 36, 9, 92, 65, 2, 42, 23, 27, 58, 46, 80, 93, 98, 100, 0, 1,

3, 8,….]

2,0

Sau đó học sinh giải thích do tính truy hồi nên dãy các số dư tuần hoàn Suy ra đpcm. 1,0

Chú ý Với cách 2, nếu học sinh chỉ tìm một vài số dư mà chưa ra đến số dư lặp (chu kỳ) thì

không cho điểm.

Câu 5 (4 điểm) Xét k là số nguyên dương thỏa mãn tính chất: Tồn tại 2017 tập con A1, , A20 71 của tập

1,5

Với mỗi số m{0,1, ,10 20171} thì s 2017 vì nếu s 2017 thì 10 10s 2017

s

m a  , mâuthuẫn

(y1) ;xy1; x2 theo thứ tự lập thành một cấp số nhân Hãy tìm x y,

Câu IV(2,0 điểm).

Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh A(3; 4), B(1; 2), đỉnh C thuộc đường thẳng

1 Tìm thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mp P  Thiết diện là hình gì?

2 Tính diện tích thiết diện theo a, b và x AM , 0  x b Tìm x theo b để diện tích thiết diệnlớn nhất

-Hết -Họ và tên thí sinh : Số báo danh

Họ và tên, chữ ký: Giám thị 1:

Họ và tên, chữ ký: Giám thị 2:

Môn thi: Toán – Lớp 11

Thời gian làm bài : 150 phút (không kể thời gian giao đề)

ĐỀ CHÍ H THỨC

x 3cos4 2cos24

2264

k x x

k x x

k Z

k x

k x

2 2

Câu V + Từ M kẻ đuờng thẳng song song với BC và SA lần luợt cắt DC tại , SB tại Q.

+ Từ Q kẻ đuờng thẳng song song với BC cắt SC tại P

Thiết diện hình thang cân M PQ

2a

M

Q P

x

0.5 0.5

ab a x QK

Thời gian: 180 phút (không kể thời gian giao đề)

Đề thi có 01 trang, gồm 05 câu