23 chuyên đề HSG Toán 8

ĐS8 CHUYÊN ĐỀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT VÀ GIÁ TRỊ LỚN NHẤT CỦA BIỂU THỨC PHẦN I TRỌNG TÂM CẦN ĐẠT A Kiến Thức Cần Nhớ 1 Xét trong tập xác định (D) a) Hằng số a là giá trị lớn nhất của A(x) với nếu Ký hiệu b)[.]

ĐS8-CHUYÊN ĐỀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT VÀ GIÁ TRỊ LỚN NHẤT CỦA BIỂU THỨC PHẦN I.TRỌNG TÂM CẦN ĐẠT

a) Nếu tổng hai số dương không đổi thì tích của chúng lớn nhất khi và chỉ khi hai số đó bằng nhau.

b) Nếu tích của hai số dương không đổi thì tổng của chúng nhỏ nhất khi và chỉ khi hai số đó bằng nhau.

3 Một số bất đẳng thức hay dùng: (đã nêu trong chuyên đề 21)

a Bất đẳng thức Cauchy

b Bất đẳng thức Bunhiacôpxki

c Bất đẳng thức về giá trị tuyệt đối

Khi ấy max ( )A x  a x x o

Để tìm giá trị nhỏ nhất của B(x) ta phân tích B(x) thành bình phương một tổng (hoặc hiệu) trừ đi một số

a) Sử dụng tách hoặc thêm bớt để biến đổi biểu thức làm xuất hiện các bình phương một nhị thức.

b) Hoán vị và nhân từng cặp làm xuất hiện các biểu thức có phần giống nhau y211y rồi đặt ẩn phụ để giải

a) Biến đổi biểu thức thành tổng các bình phương các nhị thức với một hằng số

b) Dùng tách, thêm bớt các hạng tử làm xuất hiện bình phương các biểu thức Sử dụng hằng đẳng thức:

x B x

1 2

x x C

Ví dụ 5:

a) Chứng minh giá trị lớn nhất của

2 2

 khi và chỉ khi x 1.

b) Chứng minh giá trị nhỏ nhất của

2 2

Hiển nhiên đúng Dấu “=” xảy ra  (x 2)2  0 x2.

6 Dạng cùng tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của một biểu thức

Ví dụ 6: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức 2

10( 2)5

x M

x







Tìm cách giải: Biến đổi biểu thức M để có a M  b x, (a, b là các hằng số).

x

 với x 2b) Cho 7a9b42 với a b , 0 Tìm giá trị lớn nhất của tích P ab

2) Nếu a b h.  0 không đổi ta có (a b )2 4h

Nghiệm x 10 thỏa mãn điều kiện của bài Vậy minA4,5 x2.

b) Xét 63P7 9a b trong đó 7a9b42 không đổi nên tích của chúng lớn nhất khi và chỉ khi hai số đó bằng nhau

 nhỏ nhất khi và chỉ khi

Theo chứng minh trên ta có C     3 2 2 2 9

Nên B 1 C 1 9 Vậy minB8 x y z.

8 Dạng bài tập các biến bị ràng buộc bởi các hệ thức

Ví dụ 9: Cho x y z  6.

a) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A x 2y2z2.

b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức B xy yz zx   .

c) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A 2 B

b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức B2x 5 2x11

c) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức C4 5x 8 16 (5  x 8) 2

2 2

Dạng tam thức bậc hai và đưa về tam thức bậc hai

1 Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức:

a) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức C(x 3)(x 5)(x2 8x17)

b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức D (1 x x)( 311x241x 55).

c) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức E(x29x18)(x2 x 2) 1.

d) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

12016

x E

a) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

2 2

.2

5

x E x

.4

y x

y x



 và với x 2. Vậymin ( ) 2g x   y1 hay x 3.

Dạng chứng minh giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) của biểu thức

9

a) Chứng minh giá trị nhỏ nhất của biểu thức A x 2 6x15 là 6 khi và chỉ khi x 3.

b) Chứng minh giá trị lớn nhất của biểu thức

2 2

y C

3 x 

Nếu x 3 thì

230

3 x  nên

23

3 x lớn nhất  (3 x) nhỏ nhất

Dạng cùng tìm giá tị lớn nhất và nhỏ nhất của một biểu thức

11 Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của các biểu thức: