Tìm n, biết rằng số tập con gồm 7 phần tử của tập A bằng hai lần số tập con gồm 3 phần tử của tập A... Cần chọn 4 học sinh đi làm nhiệm vụ, sao cho 4 học sinh này thuộc không quá 2 trong
Trang 1Các bài toán về công thức k, k
n n
C A và Pn
D05: Tính giá trị của biểu thức
1 3
M
n
+ +
=
4
n
D03 (dự bị): Tìm n biết 2 n 2 2 2 3 3 n 3 100
ĐS: n = 4
A04 (dự bị): Cho tập A gồm n phần tử, n≥7 Tìm n, biết rằng số tập con gồm 7 phần tử của tập A bằng hai
lần số tập con gồm 3 phần tử của tập A
ĐS: C n7 =2C n3⇔ =n 11
A05 (dự bị): Tìm k∈{0;1;2; ;2005} sao cho C2005k đạt giá trị lớn nhất
B05 (dự bị): Tìm n biết 2P n+6A n2−P A n n2 =12
ĐS: n = 2 hoặc n = 3
Chuyên Lương Văn Chánh - Phú Yên: Chứng minh rằng 2 *
2
1
, 2
n n n
C n
2
1.3.5 (2 1)
n n n
n
−
+
Đại học An ninh: Giải phương trình
4 4
2
143 0 4
n
A
+ +
Đại học Bách khoa Hà Nội: Giải hệ phương trình 2 5 90
ĐS: x = 5; y = 2
Đại học Bách khoa Hà Nội: Giải bất phương trình 22 2 3
10
2A x −A x ≤ x C x +
-Các bài toán chọn số
A03 (dự bị): Có bao nhiêu số tự nhiên chia hết cho 5 mà mỗi số có 4 chữ số khác nhau?
ĐS: 952 số
A03 (dự bị): Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên mà mỗi số có 6 chữ số khác
nhau và chữ số 2 đứng cạnh chữ số 3?
ĐS: 192 số
B03 (dự bị): Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên mà mỗi số có 6 chữ số khác
nhau và tổng của ba chữ số đầu nhỏ hơn tổng của ba chữ số cuối một đơn vị?
ĐS: 108 số
D03 (dự bị): Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên chẵn mà mỗi số
gồm 7 chữ số khác nhau
ĐS: 90720 số
D04 (dự bị): Có bao nhiêu số tự nhiên chẵn nhỏ hơn 2156 gồm 4 chữ số khác nhau?
ĐS: 311 số
Trang 2B05 (dự bị): Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên, mỗi số gồm 6 chữ
số khác nhau và tổng của các chữ số hàng chục, hàng trăm, hàng nghìn bằng 8?
ĐS: 1440 số
D05 (dự bị): Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên, mỗi số gồm 5 chữ số
khác nhau và nhất thiết phải có mặt chữ số 1 và 5?
ĐS: 1200 số
A06 (dự bị): Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau? Tính
tổng của tất cả các chữ số tự nhiên đó
ĐS: 96 số và tổng S = 2599980
B06 (dự bị): Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên chẵn mà mỗi số gồm có 5
chữ số khác nhau, trong đó có đúng 2 chữ số lẻ và chúng đứng cạnh nhau?
ĐS: 360 số
D06 (dự bị): Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên chẵn mà mỗi số gồm có
5 chữ số khác nhau
ĐS: 360 số
D07 (dự bị): Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên chẵn mà mỗi số gồm có
4 chữ số khác nhau
ĐS: 420 số
A07 (dự bị): Có bao nhiêu số tự nhiên chẵn lớn hơn 2007 mà mỗi số gồm có 4 chữ số khác nhau?
ĐS: 2016 số
A08 (dự bị): Cho tập hợp E = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 7} Hỏi có bao nhiêu số tự nhiên chẵn gồm 4 chữ số khác
nhau được lập từ các chữ số của E?
ĐS: 320 số
Toán học & Tuổi trẻ: Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có năm chữ số và
chia hết cho 4?
ĐS: 1620 số
Đại học An ninh 2001: Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 7 chữ số, trong
đó chữ số 4 có mặt đúng 3 lần, các chữ số còn lại có mặt đúng một lần
ĐS: 720 số
Đại học Huế 2001: Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 4 chữ số sao cho không có chữ số nào lặp lại đúng 3 lần?
ĐS: 8676 số
Đại học Ngoại thương TP HCM 2001: Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên
có 6 chữ số khác nhau mà hai chữ số 1 và 6 không đứng cạnh nhau?
ĐS: 480 số
Đại học Quốc gia TP HCM 2001: Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 7 chữ số, biết rằng chữ số 2 có mặt đúng
2 lần, chữ số 3 có mặt đúng 3 lần và các chữ số khác có mặt không quá một lần
ĐS: 11340 số
-Các bài toán chọn người, chọn đồ vật
B04: Trong một môn học, thầy giáo có 30 câu hỏi khác nhau gồm 5 câu hỏi khó, 10 câu hỏi trung bình, 15
câu hỏi dễ Từ 30 câu hỏi đó có thể lập được bao nhiêu đề kiểm tra, mỗi đề gồm 5 câu hỏi khác nhau, sao cho trong mỗi đề nhất thiết phải có đủ 3 loại câu hỏi (khó, trung bình, dễ) và số câu hỏi dễ không ít hơn 2?
ĐS: 56875
B05: Một đội thanh niên tình nguyện có 15 người, gổm 12 nam và 3 nữ Hỏi có bao nhiêu cách phân công
đội thanh niên tình nguyện đó về giúp đỡ 3 tỉnh miền núi, sao cho mỗi tỉnh có 4 nam và 1 nữ?
ĐS: 207900
Trang 3D06: Đội thanh niên xung kích của một trường phổ thông có 12 học sinh, gồm 5 học sinh lớp A, 4 học sinh
lớp B và 3 học sinh lớp C Cần chọn 4 học sinh đi làm nhiệm vụ, sao cho 4 học sinh này thuộc không quá 2 trong 3 lớp trên Hỏi có bao nhiêu cách chọn như vậy?
ĐS: 225
D02 (dự bị): Đội tuyển học sinh giỏi của một trường gồm 18 em, trong đó có 7 học sinh khối 12, 6 học sinh
khối 11 và 5 học sinh khối 10 Hỏi có bao nhiêu cách cử 8 học sinh trong đội đi dự trại hè sao cho mỗi khối
có ít nhất một em được chọn
ĐS: 41811 cách
B03 (dự bị): Từ một tổ gồm 7 học sinh nữ và 5 học sinh nam cần chọn ra 6 em trong đó số học sinh nữ phải
nhỏ hơn 4 Hỏi có bao nhiêu cách chọn như vậy?
ĐS: 462 cách
D05 (dự bị): Một đội văn nghệ có 15 người gồm 10 nam và 5 nữ Hỏi có bao nhiêu cách lập một nhóm
đồng ca gồm 8 người, biết rằng trong nhóm đó phải có ít nhất 3 nữ?
5 10 5 10 5 10
D06 (dự bị): Một lớp có 33 học sinh, trong đó có 7 nữ và 26 nam Cần chia lớp học thành 3 tổ, tổ 1 có 10
học sinh, tổ 2 có 11 học sinh, tổ 3 có 12 học sinh sao cho trong mỗi tổ có ít nhất 2 học sinh nữ Hỏi có bao nhiêu cách chia như vậy?
7 26 4 19 7 26 5 18 7 26 5 18
Chuyên Lê Quý Đôn - TP Hồ Chí Minh: Có 10 viên bi đỏ có bán kính khác nhau, 5 viên bi xanh có bán
kính khác nhau và 3 viên bi vàng có bán kính khác nhau Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra 9 viên bi có đủ ba màu?
ĐS: 42910 cách
Đại học Cần Thơ 2001: Một nhóm gồm 10 học sinh, trong đó có 7 nam và 3 nữ Hỏi có bao nhiêu cách sắp
xếp 10 học sinh trên thành một hàng ngang sao cho 7 học sinh nam phải đứng liền nhau?
ĐS:
Học viện Chính trị Quốc gia 2001: Một đội văn nghệ có 10 người, trong đó có 6 nữ và 4 nam.
a Có bao nhiêu cách chia đội văn nghệ thành hai nhóm có số người bằng nhau và mỗi nhóm có số nữ như
nhau?
b Có bao nhiêu cách chọn ra 5 người mà trong đó không có quá 1 nam?
Học viện Kỹ thuật quân sự 2001: Một nhóm 16 học sinh gồm 3 giỏi, 5 khá, 8 trung bình Có bao nhiêu
cách chia số học sinh đó thành 2 tổ (không phân biệt tổ 1 với tổ 2) , mỗi tổ có 8 người sao cho ở mỗi tổ đều
có học sinh giỏi và mỗi tổ có ít nhất hai học sinh khá
ĐS: 3780 cách
-Các bài toán hình học B06 (dự bị): Cho hai đường thẳng song song a và b Trên đường thẳng a có 10 điểm phân biệt, trên đường
thẳng b có n điểm phân biệt ( n≥2) Biết rằng có 2800 tam giác có đỉnh là các điểm đã cho Tìm n.
10
10C n +nC =2800⇔ =n 20
A07 (dự bị): Trên các cạnh AB, BC, CD, DA của hình vuông ABCD lần lượt cho 1, 2, 3 và n điểm phân
biệt khác A, B, C, D Tìm n biết số tam giác có ba đỉnh lấy từ n + 6 điểm đã cho là 439 tam giác.
Trang 4
-NHỊ THỨC NEWTON
*****
A04: Tìm hệ số của x trong khai triển thành đa thức của 8 1+x2(1−x)8
ĐS: 238
D04: Tìm các số hạng không chứa x trong khai triển nhị thức Newton của
7 3
4
1
x x
ĐS: 35
A06: Tìm hệ số của số hạng chứa x trong khai triển nhị thức Newton của 26 14 7
n
x x
với x ≠0, biết rằng:
2 1 2 1 2n 1 2 1
ĐS: n=10 và hệ số bằng 210
D07: Tìm hệ số của 8
x trong khai triển thành đa thức của x(1 2 )− x 5+x2(1 3 )+ x 10
( 2)− C +3 C =3320
A08: Cho khai triển (1 2 )n 0 1 n
n
+ = + + + , trong đó n∈¥ và các hệ số * a a0, , ,1 a thỏa mãn hệ n
n n
a + + + = Tìm n và số lớn nhất trong các số a a0, , ,1 a n
ĐS: n=12 và số lớn nhất là 8 8
D08: Tìm số nguyên dương n thỏa mãn hệ thức 1 3 2 1
2 2 1 2n 2048
ĐS: n=6
A12: Cho n là số nguyên dương thỏa mãn 5 n 1 3
C − =C Tìm số hạng chứa x trong khai triển nhị thức 5
Newton của
2 1 14
n
nx x
ĐS: n=7 và số hạng cần tìm là 35 5
16x
−
A02 (dự bị): Giả sử (1 )n 0 1 n
n
k n
D02 (dự bị): Cho ( ) (10 ) 11 10 9
ĐS: a5 =672
(2+x) = +a a x+ + a x Chứng minh rằng a2 <a3 Với giá trị nào của k thì
1
a <a + (0≤ ≤k 99) ?
ĐS: a2 <a3 ⇔C1002 298 <C1003 297 ⇔ <6 98; a k <a k+1⇔ ≤ ≤0 k 32
B04 (dự bị): Giả sử (1 2 )n 0 1 n
n
+ = + + + Biết rằng a0+ + +a1 a n =729 Tìm n và số lớn nhất
trong các số a a0, , ,1 a n
ĐS: n=6 và số lớn nhất là 4 4
4 2 12
D04 (dự bị): Biết rằng trong khai triển nhị thức Newton của 1
n
x x
tổng các hệ số của hai số hạng đầu tiên bằng 24 Hãy tính tổng các hệ số của các số hạng chứa x với k k >0 và chứng minh rằng tổng này là một số chính phương
Trang 5ĐS: n=23 và S C= 230 +C231 + + C2311 =(2 )11 2
A05 (dự bị): Tìm hệ số của x trong khai triển nhị thức Newton của 8 ( )2
2 3− x n, biết rằng:
2 1 2 1 2 1 2n1 1024
ĐS: n=5 và hệ số bằng 3 7 3
103 2
C
B07 (dự bị): Tìm hệ số của x trong khai triển nhị thức Newton của 8 (x2+2)n, biết A n3−8C n2+C n1=49
ĐS: n=7 và hệ số bằng 280
A08 (dự bị): Tìm hệ số của x trong khai triển nhị thức Newton của 8 ( )2
1 3+ x n, biết A n3+2A n2 =100
ĐS: n=5 và hệ số bằng 61236
0 1
n
ĐS: n=9 và a8 =8C88+9C98 =89
1
4
ĐS: a8 =31680
Tam Dương - Vĩnh Phúc: Tìm số hạng không chứa x trong khai triển nhị thức Newton của
10 3
2
2
x x
x
với x>0
ĐS: 3360
Đại học Quốc gia Hà Nội: Tìm số hạng không chứa x trong khai triển nhị thức Newton của
17
4 3
3 2
1
x
x
+
17
C
Hàm Rồng - Thanh Hóa: Tìm hệ số của x trong khai triển nhị thức Newton của 9 3 22
3
n
x x
11
6
ĐS: n=8 và số hạng cần tìm là 448 9
27 x
−
Tứ Kỳ - Hải Dương: Tìm hệ số của x trong khai triển nhị thức Newton của 4 ( 2)8
1+ +x x
ĐS: 266
Liên Hà - Hà Nội: Tìm hệ số của x trong khai triển nhị thức Newton của 8 13 5
n
x x
với x>0, biết rằng
1
ĐS: n=12 và hệ số là 495
Trần Nguyên Hãn - Hải Phòng: Tìm hệ số của x trong khai triển nhị thức Newton của 8 1 2
n
x x
0
x> , biết rằng 2 1
n
ĐS: n=12 và hệ số là C428
Trang 6Đại học Nông nghiệp: Tìm hệ số của 8
x trong khai triển nhị thức Newton của
40 2 2
1
x x
ĐS:
ĐS: a9 =3003
Đại học Y Dược TP HCM: Với n là số nguyên dương, chứng minh các hệ thức sau:
0 1