Các bài toán Tổ hợp – Xác suất và nguyên lý Dirichlet

Trong luận văn này đã đề cập đến một số bài toán tổ hợp – xác suất trong toán học phổ thông, cụ thể là các bài toán tổ hợp sử dụng các phương pháp đếm, ứng dụng nguyên lý Đirichlê vào gi

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

-

NGUYỄN THỊ HUẾ

CÁC BÀI TOÁN TỔ HỢP – XÁC SUẤT

VÀ NGUYÊN LÝ DIRICHLET

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Hà Nội – 2016

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

-

NGUYỄN THỊ HUẾ

CÁC BÀI TOÁN TỔ HỢP – XÁC SUẤT

VÀ NGUYÊN LÝ DIRICHLET

Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp

Mã số: 60 46 01 13

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

PGS.TS Vũ Đỗ Long

Hà Nội – 2016

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU……….1

CHƯƠNG 1 - TỔNG QUAN LÝ THUYẾT TỔ HỢP……… 3

1.1 Nhắc lại về tập hợp……… 3

1.2 Các phép đếm cơ bản……… 4

1.2.1 Quy tắc cộng……… ….4

1.2.2 Quy tắc nhân……… ….…5

1.2.3 Hoán vị……… …5

1.2.4 Chỉnh hợp……… 7

1.2.5 Tổ hợp……….9

1.3 Khái niệm về xác suất………10

1.3.1 Biến cố……… 10

1.3.2 Xác suất của biến cố……… … 11

1.3.3 Quy tắc cộng xác suất……… ….12

1.3.4 Quy tắc nhân xác suất……… ….13

1.3.5 Xác suất có điều kiện……… 14

1.3.6 Công thức xác suất đầy đủ, công thức Bayes……….… 14

1.3.7 Biến ngẫu nhiên rời rạc……… … 15

CHƯƠNG 2 - CÁC BÀI TOÁN VỀ TỔ HỢP VÀ XÁC SUẤT……… 17

2.1 Các bài toán về tổ hợp……… 17

2.1.1 Phương pháp chung giải bài toán tổ hợp……… …17

2.1.2 Các dạng toán thường gặp……… ….18

2.1.2.1 Dạng 1: Bài toán đếm số……….18

2.1.2.2 Dạng 2: Bài toán sắp xếp đồ vật hoặc người……… 26

2.1.2.3 Dạng 3: Bài toán chọn số phương án để thỏa mãn một số điều kiện cho trước……….32

2.1.2.4 Dạng 4: Các bài toán đếm trong hình học……… 38

2.2 Các bài toán về xác suất và phân bố xác suất………44

2.2.1 Dạng 1: Tính xác suất của một biến cố theo định nghĩa về xác suất…… 44

2.2.2 Dạng 2: Tính xác suất bằng quy tắc cộng và quy tắc nhân……… 52

2.2.3 Dạng 3: Xác suất có điều kiện ……… ……….… 61

2.2.4 Dạng 4: Lập bảng phân bố xác suất của biến ngẫu nhiên rời rạc Tính kì vọng, phương sai, độ lệch chuẩn của biến ngẫu nhiên rời rạc………….…78

2.3 Các bài toán sử dụng nguyên lý Dirichlet trong tổ hợp……….86

CHƯƠNG 3 - CÁC BÀI TOÁN KHÁC VỀ TỔ HỢP………106

KẾT LUẬN……….119

TÀI LIỆU THAM KHẢO……….120

MỞ ĐẦU

Toán học tổ hợp – xác suất là một trong những lĩnh vực được nghiên cứu từ khá sớm Hiện nay trong giáo dục phổ thông, toán học tổ hợp – xác suất là một trong những nội dung quan trọng, nó thường xuất hiện trong các đề thi cao đẳng và đại học ở nước

ta Mặc dù ở mức độ không khó nhưng học sinh vẫn gặp khó khăn khi giải quyết các bài toán này Còn trong các kỳ thi Quốc gia và Quốc tế, các bài toán tổ hợp luôn có mặt

và là một thử thách thực sự với các thí sinh, thậm chí quyết định thành tích đối với các đội tuyển dự thi

Trong luận văn này đã đề cập đến một số bài toán tổ hợp – xác suất trong toán học phổ thông, cụ thể là các bài toán tổ hợp sử dụng các phương pháp đếm, ứng dụng nguyên lý Đirichlê vào giải một số bài toán tổ hợp, các bài toán tìm xác suất của một biến cố ngẫu nhiên sử dụng định nghĩa về xác suất và các phép tính của lí thuyết xác suất Đây có thể coi là tài liệu tham khảo hữu ích cho giáo viên và học sinh THPT về chủ đề này

Luận văn gồm ba chương:

Chương 1 - Tổng quan lý thuyết tổ hợp

Chương 2 - Các bài toán về tổ hợp và xác suất

Chương 3 - Các bài toán khác về tổ hợp

Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn, giúp đỡ tận tình của PGS.TS Vũ

Đỗ Long, em xin gửi tới thầy lòng biết ơn sâu sắc Thầy đã dành nhiều thời gian hướng dẫn cũng như giải đáp các thắc mắc của học trò trong suốt quá trình học tập, nghiên cứu và giúp đỡ em hoàn thành luận văn này

Em xin gửi lời cảm ơn chân thành đến Ban chủ nhiệm khoa cùng các thầy cô giáo khoa Toán – Cơ – Tin học, Trường Đại học Khoa Học Tự Nhiên – Đại Học Quốc Gia Hà Nội đã tạo điều kiện, dạy bảo và dìu dắt em trong những năm học vừa qua

Do sự hạn chế về trình độ kiến thức và thời gian nên các bài toán tổ hợp, xác suất trong luận văn còn ít, chưa có nhiều bài toán khó Ngoài ra luận văn cũng không

thể tránh khỏi những sai sót ở nhiều góc độ Kính mong nhận được sự đóng góp ý kiến của quý thầy cô cùng các bạn đọc

Em xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, ngày 10 tháng 10 năm 2016

Học viên

Nguyễn Thị Huế

CHƯƠNG 1 - TỔNG QUAN LÝ THUYẾT TỔ HỢP

1.1 Nhắc lại về tập hợp

Tập hợp con

Định nghĩa: Cho tập hợp A Tập hợp B gọi là tập con của tập A khi mọi phần tử của

tập B đều thuộc A

B ⊂ A ⟺ ( ∀ x ∈ B ⟹ x ∈ A)

Tính chất:

- Mọi tập hợp A đều có 2 tập con là tập rỗng và A

- Tập A có n phần tử thì số tập con của A là 2𝑛

Tập hợp sắp thứ tự

Một tập hợp hữu hạn có m phần tử được gọi là sắp thứ tự nếu với mỗi phần tử của tập hợp đó ta cho tương ứng một số tự nhiên từ 1 đến m, sao cho với những phần tử khác nhau ứng với những số khác nhau

Khi đó bộ sắp thứ tự m phần tử là một dãy hữu hạn m phần tử và hai bộ sắp thứ tự ( a1, a2, … , am) và (b1, b2, … , bm) bằng nhau khi mọi phần tử tương ứng bằng nhau ( a1, a2, … , am) = (b1, b2, … , bm) ⟺ ai = bi, i = 1, 2, … , m

Số phần tử của một số tập hợp

Tập hợp A có hữu hạn phần tử thì số phần tử của A được kí hiệu là: |A| hoặc n(A)

A, B, C là 3 tập hợp hữu hạn, khi đó:

|A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|

|A ∪ B ∪ C| = |A| + |B| + |C| − |A ∩ B| − |B ∩ C| − |A ∩ C| + |A ∩ B ∩ C|

Tổng quát: Cho A1, A2, … , An là n tập hợp hữu hạn (𝑛 > 1)

Khi đó:

|A1∪ A2∪ … ∪ An| = ∑|Ai|

n

i=1

− ∑ |Ai∩ Ak|

n

1≤i<k≤n

+

∑ |Ai ∩ Ak∩ Al| + ⋯ + (−1)n−1|A1∩ A2∩ … ∩ An|

n

1≤i<k<l≤n

1.2 Các phép đếm cơ bản

1.2.1 Quy tắc cộng

Quy tắc cộng: Giả sử một công việc có thể được thực hiện theo phương án A hoặc

phương án B Có n cách thực hiện phương án A và có m cách thực hiện phương án B Khi đó công việc có thể được thực hiện bởi m + n cách

Quy tắc cộng cho công việc có thể được thực hiện theo một trong k phương án

A1, A2, … , Ak Có n1 cách thực hiện phương án A1, có n2 cách thực hiện phương án A2,

… và nk cách thực hiện phương án Ak Khi đó công việc có thể được thực hiện bởi

n1+ n2+ ⋯ + nk cách

Chú ý

Quy tắc cộng có thể được phát biểu dưới dạng sau:

Nếu A và B là hai tập hợp hữu hạn không giao nhau thì số phần tử của A ∪ B bằng số phần tử của A cộng với số phần tử của B, tức là:

|A ∪ B| = |A| + |B|

1.2.2 Quy tắc nhân

Quy tắc nhân: Giả sử một công việc nào đó bao gồm hai công đoạn A và B Công đoạn

A có thể làm theo n cách Với mỗi cách thực hiện công đoạn A thì công đoạn B có thể làm theo m cách Khi đó công việc có thể được thực hiện theo n m cách

Quy tắc nhân cho công việc với nhiều công đoạn được phát biểu như sau:

Giả sử một công việc nào đó bao gồm k công đoạn A1, A2, … , Ak Công đoạn A1

có thể được thực hiện theo n1 cách, công đoạn A2 có thể thực hiện theo n2 cách, …, công đoạn Ak có thể được thực hiện theo nk cách Khi đó công việc có thể thực hiện theo n1 n2 … nk cách

1.2.3 Hoán vị

a, Hoán vị

Định nghĩa: Cho một tập hợp A có n ( n ≥ 1) phần tử Khi sắp xếp n phần tử này theo một thứ tự, ta được một hoán vị các phần tử của tập A (gọi tắt là một hoán vị của A)

Định lí 1.2.3: Số các hoán vị của một tập hợp có n phần tử là

Pn = n! = n(n − 1)(n − 2) … 1

Chứng minh

Việc sắp xếp thứ tự n phần tử của A là một công việc gồm n công đoạn Công đoạn 1 là chọn số phần tử để xếp vào vị trí thứ nhất, công đoạn 2 là chọn phần tử để xếp vào vị trí thứ hai, công đoạn 3 là chọn phần tử để xếp vào vị trí thứ ba,…,công đoạn n là chọn phần tử để xếp vào vị trí thứ n Ở công đoạn 1 ta có thể chọn bất kì phần

tử nào trong n phần tử của A nên có n cách thực hiện Sau khi chọn xong phần tử xếp vào vị trí thứ nhất, ở công đoạn 2 ta có thể chọn bất kì phần tử nào trong n − 1 phần tử còn lại của A để xếp vào vị trí thứ hai nên có n − 1 cách thực hiện Tiếp tục như vậy ở bước thứ 3 ta có n − 2 cách thực hiện, …, và ở bước thứ n (bước cuối cùng) ta chỉ còn

1 cách thực hiện Theo quy tắc nhân, ta có: n(n − 1)(n − 2) … 1 = n! cách sắp xếp thứ

tự n phần tử của tập A, tức là có n! hoán vị

b, Hoán vị có lặp

Có n vật ( n ≥ 1) được sắp vào n vị trí trong đó:

Có n1 vật loại 1

Có n2 vật loại 2

…

Có nk vật loại 3

Ở đây n1+ n2+ ⋯ + nk = n

Mỗi cách sắp thứ tự n vật như trên vào n vị trí gọi là hoán vị có lặp của n phần tử đó

Công thức xác định: Số hoán vị có lặp của n vật là n!

n1!.n2!…nk!

Chứng minh

Do có n1 vật giống nhau nên số phương án sắp n1 vật vào n1 vị trí chỉ là một phương án cần tìm

Tương tự…

Từ đó suy ra có Pn

n 1 !.n 2 !…nk!= n!

n 1 !.n 2 !…nk! số hoán vị

c, Hoán vị vòng tròn

Khái niệm: Có n vật được sắp vào n vị trí theo một đường tròn

Công thức xác định: Số hoán vị vòng tròn là Pn = (n − 1) … 3.2.1 = (n − 1)!

Chứng minh

Cố định một điểm trên đường tròn, sắp n − 1 vật vào n − 1 vị trí còn lại Như vậy chúng ta có (n − 1)! số hoán vị vòng tròn

1.2.4 Chỉnh hợp

a, Chỉnh hợp

Định nghĩa: Cho một tập hợp A gồm n phần tử và số nguyên k với (1 ≤ k ≤ n) Khi lấy ra k phần tử trong số n phần tử của A và sắp xếp chúng theo một thứ tự ta được một chỉnh hợp chập k của n phần tử của A (gọi tắt là một chỉnh hợp chập k của A)

Định lí 1.2.4.1: Số các chỉnh hợp chập k ( 1 ≤ k ≤ n) của một tập hợp có n phần tử là:

Akn = n(n − 1)(n − 2) … (n − k + 1) (1.2.4.1)

Chứng minh

Việc lập một chỉnh hợp chập k của một tập hợp có n phần tử được coi như một công việc gồm k công đoạn Công đoạn 1 là chọn phần tử xếp vào vị trí thứ nhất, công đoạn 2 là chọn phần tử xếp vào vị trí thứ hai, …, công đoạn k là chọn phần tử xếp vào

vị trí thứ k Vì tập hợp có n phần tử nên công đoạn 1 có n cách thực hiện Sang công đoạn 2 chỉ còn n − 1 phần tử chưa chọn cho nên có n − 1 cách thực hiện tương

tự công đoạn 3 có n − 2 cách thực hiện, … và ở công đoạn cuối (công đoạn thứ k) ta

có n − k + 1 cách thực hiện Theo quy tắc nhân, ta có n(n − 1)(n − 2) … (n − k + 1) cách lập ra một chỉnh hợp chập k Đó cũng chính là số các chỉnh hợp chập k của một tập hợp gồm n phần tử

Nhận xét: Từ định nghĩa ta thấy một hoán vị của một tập hợp n phần tử là một chỉnh

hợp chập n của tập đó nên Ann = Pn = n!

Chú ý

Với 0 < k < n thì ta có thể viết công thức 1.2.4.1 dưới dạng

Akn = n!

(n − k)!

Ta quy ước 0! = 1 và A0n = 1

Khi đó công thức trên đúng cho cả k = 0 và k = n Vậy công thức trên đúng với mọi số nguyên k thỏa mãn 0 ≤ k ≤ n

b, Chỉnh hợp lặp

Định nghĩa: Một cách sắp xếp có thứ tự r phần tử có thể lặp lại của một tập n phần tử

được gọi là một chỉnh hợp lặp chập r từ tập n phần tử Nếu A là tập gồm n phần tử đó thì mỗi chỉnh hợp như thế là một phần tử của tập Ar Ngoài ra, mỗi chỉnh hợp lặp chập

r từ tập n phần tử là một hàm từ tập r phần tử vào tập n phần tử Vì vậy số chỉnh hợp lặp chập r từ tập n phần tử là nr

Định lí 1.2.4.2: Số các chỉnh hợp lặp chập r từ tập n phần tử bằng nr

Chứng minh

Rõ ràng có n cách chọn một phần tử từ tập n phần tử cho mỗi một trong r vị trí của chỉnh hợp khi cho phép lặp Vì vậy theo quy tắc nhân, có nr chỉnh hợp lặp chập r

từ tập n phần tử

Chú ý

Số các chỉnh hợp lặp chập p của n phần tử là np

Như vậy chỉnh hợp có lặp lại là khi giữa các phần tử yếu tố thứ tự là cốt lõi, còn yếu tố khác biệt không quan trọng

1.2.5 Tổ hợp

a, Tổ hợp

Định nghĩa: Cho tập A có n phần tử phân biệt và số nguyên k với 1 ≤ k ≤ n Mỗi tập con gồm k phần tử phân biệt không sắp thứ tự lấy trong số n phần tử đã cho được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử của A (gọi tắt là một tổ hợp chập k của A)

Kí hiệu Cnk (hoặc (nk)) là số các tổ hợp chập k của một tập hợp có n phần tử

Định lí 1.2.5.1: Số các tổ hợp chập k của một tập hợp có n phần tử (1 ≤ k ≤ n) là:

Cnk = Ank

k! = n(n−1)(n−2)…(n−k+1)

k! (1.2.5.1)

Chứng minh

Mỗi cách sắp thứ tự các phần tử của một tổ hợp chập k của A cho ta một chỉnh hợp chập k của A Nói cách khác, mỗi hoán vị của một tổ hợp chập k của A cho ta một chỉnh hợp chập k của A Vậy từ một tổ hợp chập k của A ta lập được k! chỉnh hợp chập

k của A Vậy ta có:

Akn = Cnk k! và Cnk = Ank

k! = n(n−1)(n−2)…(n−k+1)k!

Chú ý

Với 1 ≤ k ≤ n, ta có thể viết công thức (1.2.5.1) dưới dạng

Ckn = n!

k! (n − k)!

Ta quy ước Cn0 = 1 (coi ∅ là tổ hợp chập 0 của tập hợp có n phần tử) Với quy ước này công thức trên cũng đúng với k = 0 Vậy công thức trên đúng với mọi số nguyên k thỏa mãn 0 ≤ k ≤ n

b, Tổ hợp lặp

Một tổ hợp lặp chập k của một tập hợp là một cách chọn không có thứ tự k phần

tử có thể lặp lại của tập đã cho Như vậy một tổ hợp lặp kiểu này là một dãy không kể thứ tự gồm k thành phần lấy từ tập n phần tử Do đó có thể là k > n

Định lí 1.2.5.2: Số tổ hợp lặp chập k từ tập n phần tử bằng Cn+k−1k

Chứng minh

Mỗi tổ hợp lặp chập k từ tập n phần tử có thể biểu diễn bằng một dãy n  1 thanh đứng và k ngôi sao Ta dùng n  1 thanh đứng để phân cách các ngăn Ngăn thứ i chứa thêm một ngôi sao mỗi lần khi phần tử thứ i của tập xuất hiện trong tổ hợp

Mỗi dãy n  1 thanh và k ngôi sao ứng với một tổ hợp lặp chập k của n phần tử

Do đó mỗi dãy ứng với một cách chọn k chỗ cho k ngôi sao từ n + k − 1 chỗ chứa

n – 1 thanh và k ngôi sao Đó là điều cần chứng minh

Chú ý

Số tổ hợp có lặp chập p của n là Cn+p−1p = Cn+p−1n−1

Tổ hợp có lặp lại khi một phần tử có thể xuất hiện nhiều lần và thứ tự của các phần tử không cần để ý

1.3 Khái niệm về xác suất

1.3.1 Biến cố

Phép thử ngẫu nhiên (gọi tắt là phép thử) là một thí nghiệm hay một hành động mà:

- Kết quả của nó không đoán trước được

- Có thể xác định được tập hợp tất cả các kết quả có thể xảy ra của phép thử đó Phép thử thường được kí hiệu bởi chữ T

Tập hợp tất cả các kết quả có thể xảy ra của phép thử được gọi là không gian mẫu của phép thử và được kí hiệu Ω

Biến cố A liên quan đến phép thử T là biến cố mà việc xảy ra hay không xảy ra của A tùy thuộc vào kết quả của T

Mỗi kết quả của phép thử T làm cho A xảy ra, được gọi là một kết quả thuận lợi cho A Tập hợp các kết quả thuận lợi cho A được kí hiệu là ΩA Khi đó người ta nói biến cố A được mô tả bởi tập ΩA

- Biến cố chắc chắn là biến cố luôn xảy ra khi thực hiện phép thử T Biến cố chắc chắn được mô tả bởi tập Ω

- Biến cố không thể là biến cố không bao giờ xảy ra khi phép thử T được thực hiện Biến cố không thể được mô tả bởi tập ∅

1.3.2 Xác suất của biến cố

Định nghĩa cổ điển của xác suất: Giả sử phép thử T có không gian mẫu Ω là một tập

hữu hạn và các kết quả của T là đồng khả năng Nếu A là một biến cố liên quan đến phép thử T và ΩA là tập hợp các kết quả thuận lợi cho A thì xác suất của A là một số, kí hiệu là P(A), được xác định bởi công thức P(A) = |ΩA |

|Ω|

Chú ý

Từ định nghĩa trên ta suy ra:

0 ≤ P(A) ≤ 1, P(Ω) = 1, P(∅) = 0

Định nghĩa thống kê của xác suất: Số lần xuất hiện biến cố A được gọi là tần số của A

trong N lần thực hiện phép thử T

Tỉ số giữa tần số của A với số N được gọi là tần suất của A trong N lần thực hiện phép thử T

Khi số lần thử N càng lớn thì tần suất của A càng gần với một số xác định, số đó được gọi là xác suất của A theo nghĩa thống kê (số này cũng chính là P(A) trong định nghĩa

cổ điển của xác suất)

1.3.3 Quy tắc cộng xác suất

a, Biến cố hợp

Cho hai biến cố A và B Biến cố “ A hoặc B xảy ra”, kí hiệu là A ∪ B, được gọi là hợp của hai biến cố A và B

Nếu ΩA và ΩB lần lượt là tập hợp các kết quả thuận lợi cho A và B thì tập hợp các kết quả thuận lợi cho A ∪ B là ΩA∪ ΩB

Tổng quát: Cho k biến cố A1, A2, … , Ak Biến cố “có ít nhất một trong các biến cố

A1, A2, … , Ak xảy ra”, kí hiệu là A1∪ A2∪ … ∪ Ak, được gọi là hợp của k biến cố đó

b, Biến cố xung khắc

Cho hai biến cố A và B Hai biến cố A và B được gọi là xung khắc nếu biến cố này xảy

ra thì biến cố kia không xảy ra

Hai biến cố A và B xung khắc nếu và chỉ nếu ΩA∩ ΩB = ∅

c, Quy tắc cộng xác suất

Nếu hai biến cố A và B xung khắc thì xác suất để A hoặc B xảy ra là:

P(A ∪ B) = P(A) + P(B)

Quy tắc cộng xác suất cho nhiều biến cố được phát biểu như sau:

Cho k biến cố A1, A2, … , Ak đôi một xung khắc Khi đó:

P(A1∪ A2∪ … ∪ Ak) = P(A1) + P(A2) + ⋯ + P(Ak)

d, Biến cố đối

Cho A là một biến cố Khi đó biến cố “Không xảy ra A”, kí hiệu là A̅, được gọi là biến

cố đối của biến cố A