Tạp chí toán học số 1 năm 2009 kỳ 1

Muc luc Lời mở đầu Câu chuyện Toán học e Cứu sống nhân loại: Toán học trong chụp hình cắt lớp e Danh ngõn Toán học Bài viết Chuyên đề MathVn e Lớp bài toán sử dụng phương trình Pell

Muc luc

Lời mở đầu

Câu chuyện Toán học

e Cứu sống nhân loại: Toán học trong chụp hình cắt lớp

e Danh ngõn Toán học

Bài viết Chuyên đề MathVn

e Lớp bài toán sử dụng phương trình Pell

e Định lý Stolz trong các bài toán giới hạn

e Định ly Hall va SDRs

Cuộc thi giải toán MathVn

e Đề toán dành cho Học sinh

e Đề toán danh cho Sỉnh viên

Bài viết Chuyên đề dịch thuật

e Đa giác Euler

Olympic Học sinh - Sinh viên

e Olympic Sinh viên TashSU 2008

e Olympic Sinh viên NSU 2008

e Olympic Xác suất Kolmogorov 2008

e Olympic Toàn Nga 2008

P.T THẢO HIỀN

góp chút sức lực nhỏ nhoi của mình cho công cuộc đổi mới giáo dục của đất nước, trong đó cụ thể

là giáo dục Toán học Đây chính là lý do chúng tôi tập hợp nhau lại, cùng nhau trăn trở suy nghĩ và làm việc nghiêm túc để cho ra đời một tạp chí Toán học dành riêng cho học sinh, sinh viên Việt Nam

Trên thế giới hiện nay, có rất nhiều tạp chí Toán học dành cho hoc sinh và sinh viên, điển hình như Kvant, Reflections, Crux Thậm chí, có nhiều khoa Toán của các trường đại học nổi tiếng thế giới cũng có các tập san sinh viên, từng tháng hay từng tuần đều có các chủ đề, các bài toán đưa,

ra cho những người quan tâm cùng nhau tham gia giải quyết Cách làm đó đã thu hút được nhiều

bạn trẻ trên toàn thế giới Nhiều bạn học sinh, sinh viên Việt Nam đã tích cực viết bài, giải toán

và được xưng tên Thật đáng tự hào! Những bài viết hay, những lời giải đẹp của các tạp chí Toán

học đã thổi vào hồn đam mê làm Toán của bao thế hệ học sinh, sinh viên chúng ta Điều này thực

sự quan trọng cho sự phát triển khoa học nói chung và Toán học nói riêng Với mục tiêu không quá

to lớn, chúng tôi muốn tạo ra một sân chơi cho học sinh, sỉnh viên nước nhà - một nơi mà các bạn trẻ yêu Toán có thể tham gia giải toán, gửi bài viết là những ghi chép các tìm tòi, ý tưởng sáng tạo trong quá trình học Toán của chính chúng ta Nói như thế có nghĩa là từ các bạn học sinh phổ thông cho đến sinh viên, học viên cũng như các nhà sư phạm, các bạn yêu Toán nói chung chính là

đối tượng mà chúng tôi hướng đến

Chúng tôi đặt tên chính thức cho tạp chí là: Tạp chí Toán học MathVn Về ban biên tập, chúng tôi là những sinh viên tré còn đang trên ghế giảng đường đại học trong nước và cả ngoài

nước, năng lực phần nào còn rất hạn chế Do đó, chúng tôi rất mong sự tham gia nhiệt tình của các bạn trẻ, sự ủng hộ của các tấm lòng yêu Toán tâm huyết, sự góp sức của các cố vấn khoa học

về chuyên môn Về mặt nội dung tạp chí, bên cạnh những bài viết mang tính chất lý thuyết-bài

tập, đề toán hàng tháng, chúng tôi còn đăng những bài viết, bài dịch mang tính chất ứng dụng Ý tưởng này chúng tôi học hỏi từ tạp chí Kvant của Liên bang Nga Ở tạp chí Kvant, những bài viết như thế đã trang bị phương pháp tư duy và dẫn đường cho nhiều thế hệ tiếp cận với thế giới khoa

học Nói một cách dễ hiểu hơn, nó đã giúp nhiều bạn trẻ thực sự chọn được con đường đi của riêng

mình và từ những bài viết nho nhỏ đó, họ biết rằng: "À! Thì ra lý thuyết, định lý này có ứng dụng thật là tuyệt vời!" Đây chính là cái hay mà chúng tôi cho là cần thiết phải đưa vào Ngoài ra chúng

tôi bổ sung một số chuyên mục như: Danh Ngôn Toán học, Góc lập trình tính toán, Giải trí toán học Tuy nhiên vạn sự khởi đầu nan, các chuyên mục có lẽ là sẽ chưa được phong phú như mong

đợi trong những số đầu tiên Hy vọng rằng Tạp chí MathVn sẽ ngày càng hoàn thiện hơn, thiết thực

hơn, phù hợp với đông đảo bạn yêu Toán

Chúng tôi phát hành tạp chí điện tử qua website của Cộng đồng Học sinh - Sinh viên yêu Toán Việt Nam tại địa chỉ http: //mathvn.org Website này sẽ là một cổng thông tin, một diễn đàn giao

lưu đồng hành song song với Tạp chí Toán học MathVn Các bạn có thể đề xuất tất cả các ý kiến, góp ý chân tình tại ngôi nhà tỉnh thần này để chúng tôi có thể điều chỉnh, đổi mới sao cho tạp chí

sẽ đa dạng hơn, đầy đủ hơn cả về "chất" và "lượng"

Và cuối cùng, xin trích ngang câu nói nổi tiếng của Giáo sư Hoàng Tuy: "Hãy hết lòng uới khoa

học, trong khó khăn hay uươn lên, người trì thúc không thể sống hèn Con người không có cắm xúc, không rung động, uô cảm trước mọi uiệc thà không thể làm được bất cứ việc gì" Chúng ta hãy tiếp thêm niềm đam mê của mình trên những trang Toán, hãy trả về cho chính bản thân người học Toán

những cảm xúc trong sáng và đáng quý thay vì tâm lý bài vở, thi cử hay áp lực thành tích đè nặng lên suy nghĩ của học sinh, sinh viên chúng ta bấy lâu nay để không ngừng vươn lên hăng say sáng tạo, tiếp bước trên con đường làm Toán về vang của các thế hệ cha anh chúng ta

BAN BIEN TAP

việt bài cho Tạp chí MathVn

lệ v

Th

THE LE VIET BAI

e Bai viét được soạn thảo theo một trong các hành thúc:

- Sử dụng trình soạn thảo Microsoft Word và Microsoft Equation hoặc MathType, st dụng font Times New Roman, mã Unicode đựng sẵn (lưu ý: không dùng Unicode tổ hợp)

- Sử dụng chuẩn soạn thảo I4TEX2e, gói UTE-8 Tiếng Việt

- Bản chụp bài viết tay

e Bài uiết được trình bay đơn giản, hạn chế dùng màu, định dạng phúc tạp nếu không cần thiết

e Gửi thư kèm file dạng *.doc, *.tez uà file hành ảnh hau các file mã nguồn khác nếu có sử dụng

trong bài tiết

e Ghi rõ đầu đủ thông tín cá nhân bao gồm:

- Họ và tên

- Số chứng minh thư nhân dân (nếu có)

- Trường đang theo học hoặc cơ quan công tác

- Địa chỉ e-mail và địa chỉ liên lạc qua bưu điện

e Đài uiết phải chưa được công bố trên bất cứ tạp chí, tập san hay website céng cộng nào

CÁC MỤC DỰ KIÊN CỦA TẠP CHÍ

e Đài uiết chuyên đề: bài viết cho toán học sơ cấp, toán học cao cấp, bài viết chuyên đề dịch từ

tạp chí nước ngoài

e Câu chuyện toán học: các ứng dụng thực tế của toán học vào đời sống, chuyện kể về các danh

nhân, giai thoại toán học, danh ngôn toán học

e Dé ra ki nay: bao gồm đề cho học sinh phổ thông và đề cho sinh viên đại học

e Góc lập trình tính toán: sử dụng các phần mềm toán học và các thuật toán có ứng dụng trong

học tập nghiên cứu

e Giải trí toán học: các câu chuyện vui, đố vui toán học, thơ văn tự sáng tác của các độc giả

NHUẬN BÚT VÀ GIẢI THƯỞNG

Sẽ có nhuận bút dành cho tất cả tác giả các bài viết và các bạn tham gia giải toán (được tính

từ số đầu tiên), thông tin chỉ tiết sẽ được công bố khi chúng tôi đủ điều kiện về nguồn quỹ

Tắt cả các bài tiết, bài giải các đề toán 0à ú kiến đóng góp của độc giả zin gửi uê gửi uề địa chỉ

thu dién td mathvn2008@gmail.com Théng tin thém, xin tham khdo ¢ website http: //mathvn.org

CÂU CHUYỆN LOÁN HỌC

Cứu sông nhân loại:

Toán học trong chụp hình ảnh cắt lớp

Dya theo "Saving lives: The mathematics of tomography" ctia Chris Budd va Cathryn Mitchell

DƯƠNG TẤN KHANH - SV ĐẠI HỌC Y DƯỢC HUẾ DƯƠNG TẤN VŨ - HS 12 CHUYÊN TOÁN, THPT Quốc Hoc-Hué

Toán học có thật sự cứu sống bạn không? Tất nhiên là có thế! Toán học có nhiều ứng dụng trong những vấn đề liên quan đến sức khỏe và hạnh phúc Trong bài viết này, chúng tôi sẽ giải thích tại

sao Toán học của phương pháp chụp cắt lớp lại trở thành một ứng dụng quan trọng đề duy trì sự

sống con người

Hinh 1: Chup CAT phan bên trong đầu

Y học ngày nay phụ thuộc rất nhiều vào phương pháp hình ảnh, khởi đầu với việc sử dung tia

X đầu thế kỉ 20 Về bản chất, những phương pháp hình ảnh này có hai hình thức: chụp X-quang

và siêu âm sử dụng một nguồn phóng xạ ngoài cơ thể Tia phóng xạ được nhận biết sau khi nó đã

đi xuyên qua cơ thể, và một bức ảnh được xây dựng từ cách thức mà các tỉa này hấp thụ vào Khi

dùng tỉa X, quá trình này được gọi tắt là CAT (chụp cắt lớp vi tính theo trục) Bài viết này sẽ đi vào chỉ tiết quá trình này

Một số phương pháp hình ảnh khác dùng nguồn bên trong cơ thể: chụp cộng hưởng từ - MRI

(magnetic resonance imaging), chụp positron cắt lớp còn gọi là PET, và chụp photon cắt lớp đơn gọi

là SPECT Những phương pháp này có một số thuận lợi so với CAT' về phân giải hình ảnh và tính

an toàn, vì tỉa X có thể phá hoại dễ dàng các mô mềm Vấn đề toán học cơ bản đằng sau phương pháp hình ảnh cắt lớp được phát triển bởi nhà toán học Johann Radon vào năm 1917 Mãi đến thập

niên 1960, Allan MeLeod Cormack, làm việc cùng với EMI, đã phát triển dụng cụ cắt lớp ứng dụng

đầu tiên - máy cắt lớp EMI nổi tiếng Vì thành tựu này, Cormack đã được trao giải Nobel Những

mô hình đầu tiên chỉ có thể cắt lớp những vật thể kích thước của một đầu người Nhưng không lâu sau đó, những máy cắt lớp toàn bộ cơ thể nhanh chóng ra đời

Trang 5

Phương pháp hình ảnh y học hoạt động dựa trên sự phối hợp của công nghệ đo đạt rất cần thận, thuật toán máy tính phức tạp và toán học cao cấp Phương pháp Toán học là điều mà chúng tôi

sẽ mô tả ở đây Chúng tôi cũng sẽ cho bạn thấy toán học của hình ảnh cắt lớp có nhiều ứng dụng khác, bao gồm cả chụp ảnh khí quyển, dò tìm mìn, và phù phiếm hơn là giải trò chơi Sudoku

Vận chuyển sữa và Killer Sudoku

Trước khi nghiên cứu kĩ chiều sâu của y học, chúng ta sẽ bắt đầu với một ví dụ đơn giản để minh họa cho nguyên lí của chụp hình cắt lớp, nó gần gũi với nhiều loại Sudoku da tré nén phổ biến gần đây Ví dụ này liên quan đến vận chuyển sữa Hãy tưởng tượng sữa và nước trái cây được vận

chuyển trong các chai được đặt trong khay với 9 vị trí theo phân bố 3 x 3 Mỗi vị trí của khay có một chai có thể chứa sữa, nước trái cây hoặc không chứa gì Câu hỏi đặt ra là các chai của mỗi loại

nằm ở những vị trí nào?

Thật không may, những khay khác được đặt trên và dưới cái đang xét, và chúng ta không thể

nhìn từ trên đỉnh khay xuống Vấn đề này có vẻ như không thể giải quyết Tuy nhiên, chúng ta có thể nhìn kỹ vào phía bên và đo lượng ánh sáng bị hấp thụ vào từ nhiều hướng khác nhau Các loại chai khác nhau sẽ hấp thụ lượng ánh sáng khác nhau Việc đo đạc kỹ lưỡng đã cho thấy rằng, chai

sữa hấp thụ 3 đơn vị, nước trái cây là 2 và chai không là 1 Nếu một chùm sáng chiếu qua một vài

chai thì đơn vị hấp thụ sẽ được cộng lên Ví dụ, nếu một chùm sáng chiếu qua một chai sữa và một chai nước trái cây, thì đơn vị hấp thụ là 5 Nếu nó chiếu qua ba chai rỗng thì sẽ có 3 đơn vị hấp thụ

Trong ví dụ bên dưới, chúng tôi đưa ra tổng cộng lượng ánh sáng hấp thụ khi chiếu ánh sáng xuyên qua mỗi hàng và cột

Chúng ta đang đối mặt với một tình huống hơi hiếm đối với các nhà toán học, vì chúng ta có hai đáp án hoàn toàn hợp lí cho một bài toán Vấn đề như thế này được gọi là không rõ ràng và rất phổ biến trong những tình huống khi chúng ta cố gắng khai thác thông tin từ một bức ảnh Để tìm chính xác cách phân bố của các bình, chúng ta cần cho vào đó thêm một vài thông tin Một thứ

hiển nhiên chúng ta có thể đo thêm là ánh sáng hấp thụ tại hai đường chéo của cái khay Chúng

tôi thực hiện điều đó và tìm ra rằng có 6 đơn vị được hấp thụ theo đường chéo từ góc trên bên trái xuống góc dưới bên phải của cái khay và 3 đơn vị ở đường chéo còn lại (đáy bên trái đến đỉnh bên phải) Từ ít thông tin thêm đó, rõ ràng rằng lời giải đầu tiên là đúng, không phải thứ 2, phù hợp với thông số đo được Thêm một chút Toán học vào nữa, nếu chúng ta đo được lượng ánh sáng hấp thụ ở hàng, cột, và đường chéo một cách chính xác, thì chúng ta có thể xác định sự xắp sếp duy nhất của các chai trong những ô của khay

Vấn đề này trong có vẻ tầm thường, nhưng nó lại rất giống với vấn đề y học hình ảnh mà chúng tôi sẽ mô tả ở phần tiếp theo, và nó cho thấy tầm quan trọng của việc thu nhận đầy đủ thông tin

về tình huống để chắc chắn rằng chúng ta biết chính xác chuyện gì đang diễn ra

Nếu độc giả cảm thấy bất cứ gì ở đây có vẻ quen thuộc thì đúng là như vậy Killer Sudoku là

một cấp độ cao của trò chơi Soduku thông thường O Killer Sudoku, cing nhu trong Sudoku , người

chơi phải điền các con số từ 1 đến 9 vào một mạng lưới các ô vuông sao cho mỗi số chỉ xuất hiện một và chỉ một lần trong hàng hay cột chứa số đó Tuy nhiên thay vì cho người chơi một vài số khởi

đầu (trong Sudoku), Killer Sudoku cho bạn biết tổng của một vài tổ hợp nhất định Đây rõ ràng

giống với vấn đề được miêu tả ở trên

CAT và phép biến đổi Radon

Hành 4: Méy CAT hién dai

Cho đến khá gần đây, nếu bạn có gặp vấn đề bên trong, bạn phải được mổ để tìm ra đó là gì Bất cứ một việc mổ nào cũng mang một rủi ro đáng kể, đặc biệt là những vấn đề với não bộ Nhưng điều này không như trước nữa, như chúng tôi mô tả ở lời giới thiệu, bác sĩ có thể sử dụng toàn bộ các công nghệ cắt lớp để nhìn vào bên trong cơ thể một cách an toàn tuyệt đối

Ở máy cắt lớp này, bệnh nhân nằm trên giường và được đi qua một cái khoang ở giữa thiết bị Cái khoang này bao gồm một nguồn tỉa X quay quanh bệnh nhân Những tia X từ nguồn này đi

xuyên qua người bệnh nhân và được dò tìm ở phía bên kia Độ mạnh của tỉa X được đo đạc chính

xác và kết quả sẽ được đưa ra

Nếu một tia X đi xuyên qua một bệnh nhân, cường độ của nó sẽ giảm Mức độ giảm sẽ phụ

thuộc vào loại vật chất nào mà tỉa xuyên qua: nó sẽ giảm nhiều khi đi qua xương hơn là qua cơ,

Trang 7

Khi tia X đi qua một cơ thể, nó đi theo đường thẳng, và độ hấp thụ của nó là tổng của tấc cả

các độ hấp thụ của các vật chất mà nó xuyên qua Để thấy điều này diễn ra như thế nào, chúng ta,

cần sử dụng một phép tính nhỏ Tưởng tượng tỉa X di chuyển theo một đường thẳng và ở độ sâu s

vào trong cơ thể, nó có độ mạnh ï(s) Và khi s tăng, I(s) giảm vì tia X bị hấp thụ Nếu tia X đi

được một khoảng nhỏ 6s độ mạnh của nó giảm một lượng nhỏ ổÏ Sự giảm này phụ thuộc vào cả

độ mạnh của tia và mật độ quang học (s) của vật liệu Nếu khoảng cách đi được đủ nhỏ, sự giảm

độ mạnh được biểu diễn qua công thức

ỗÏ = —u(s)1(s)ð(s) Bây giờ, nếu độ mạnh khi tỉa X đi vào cơ thể là 7;;z„; và khi nó ra ngoài là Ï¿;„;„„, xét tất cả, những yếu tố đã làm giảm cường độ tia X Từ đó, chúng ta có thể suy ra được độ giảm của cường

độ của tia X :

ÏƑ¿msb = lạyar+e—f với R = [ u(s)ds

Độ giảm cường độ của tia X cho chúng ta nhiều thong tin vé cơ thể Dưới đây, chúng ta xem

xết một vật thể được chiếu bởi vài tia X và độ mạnh được đo trên một máy dò tìm Với một vài tỉa

đi xuyên qua tất cả vật thể và bị hấp thụ mạnh hơn, vì vậy độ mạnh của chúng (được đo ở điểm

giữa máy dò tìm) là yếu, trong khi các tỉa khác đi xuyên qua ít hơn thì ít bị hấp thụ hơn Thực tế,

vật thể tạo một cái bóng của các tỉa X và từ đó chúng ta có thể tính ra kích thước cơ bản của nó Chúng ta có minh họa sau:

Độ mạnh của tia X khi nó chạm tới máy dò tìm phụ thuộc vào chiều rộng của vật thể và chiều

đài con đường mà nó xuyên qua cả vật thể lẫn không khí

Trang 8

Hành 7:

Đồ thị này miêu tả độ mạnh của các tia khi nó chạm tới máy dò Những tỉa đi xuyên qua toàn

bộ chiều rộng của vật thể thì yếu hơn, như chúng ta thấy ở vùng lõm giữa đồ thị Các tia bắt đầu

trượt khỏi cơ thể có cường độ mạnh nhất, bởi vì tất cả các tia điều không bị hấp thụ và có khoảng cách ngắn nhất Điều đó được thể hiện ở hai đỉnh của đồ thị Ra gần mép, đồ thị trượt xuống, phản

ánh một điều là các tia tương ứng đã đi một khoảng cách tương đối xa

Tuy nhiên, bí mật của việc chụp cắt lớp theo trục chính là tìm ra được bản chất của vật thể hơn

là các số liệu của nó, bằng việc khảo sát sự giảm cường độ của càng nhiều tia X càng tốt Để làm điều này chúng ta cần nghĩ đến một vài tia X ở các góc Ø khác nhau và khoảng cách ø đến tâm vật thể Một tia X điển hình được minh họa như sau:

Với

R(p, 0) = | cos — ssin 0, psin@ + s cos Ø)đs

Ham R(p, 6) được gọi là biến đổi Radon của hàm +(z, ) Khi R càng lớn thì tia X ở hướng này càng bị hấp thu mạnh hơn Biến đổi này là điểm mấu chốt của một máy cắt lớp CAT' và tất cả các vấn đề trong chụp X quang Điều này được nghiên cứu lần đầu tiên bởi Johann Radon năm 1917 (Radon is cũng nổi tiếng với những khám phá liên quan đến một ngành của toán học gọi là lí thuyết

độ đo - nền tảng của tích phân) Bằng việc đo đạc sự giảm cường độ của tỉa X từ nhiều góc nhất

càng tốt, chúng ta có thể tính hàm này với một độ chính xác cao Một câu hỏi lớn của toán học trong chụp cắt lớp là chiều ngược lại của biến đổi Radon: “Liệu chúng ta có thể tìm được u(z, y)

nếu biết R(ø, Ø) không?”

Đây chính xác là vấn đề người vận chuyển sữa của chúng ta phải đối mặt ở phần trước Câu trả lời ngắn gọn là “có”, nếu chúng ta làm đủ những phép đo chính xác Tuy nhiên, vấn dé sé dudc minh

hoạ ở ví dụ tiếp đây O 2 bức tranh dưới, chúng ta thấy ở bên trái là một hình vuông và bên phải

là một biến đổi Radon ở đó những giá trị lớn của R(ø, Ø) được biểu diễn ở các điểm đậm hơn

Hành 9:

Điểm mấu chốt cần chú ý ở hai bức hình là 4 đường thang cấu thành các mặt của hình vuông

hiển thị thành các điểm có cường độ cao (được chỉ bởi mũi tên) ở biến đổi Radon Những điểm

này cho chúng ta thấy được cả hướng của các đường lẫn khoảng cách của nó đến đến tâm của hình

vuông Lí do mà các đường này cho giá trị #* lớn ở các điểm đó là vì một tia X khi đi qua một đường thẳng sẽ bị hấp thụ mạnh, trong khi đó những tia còn lại, cho dù có trượt qua nhẹ thì cũng khó để

chúng bị hấp thụ

Biến đổi Radon rất có ích khi tìm các đường thẳng trong một bức ảnh Một phương pháp để tìm u(z, ), gọi là thuật toán chiếu ngược xâm nhập, phương pháp này giả thuyết rằng bức ảnh gốc

được cấu thành từ các đường thẳng và vẽ nó bằng các giá trị cao của # Phương pháp này nhanh

nhưng không thật chính xác Tuy nhiên, việc tìm ra giá trị u(z, ) chính xác và nhanh chóng là điều

có thể làm được, và thuật toán để làm điều đó được ứng dụng trong các thiết bị cắt lớp Bước phát triển nguyên thủy của những thiết bị này sử dụng một đối tượng toán học gọi là biến đổi Eourier,

để đảo ngược biến đổi Radon

Chụp cắt lớp còn có những ứng dụng khác bên cạnh những ứng dụng y học Một ví dụ thú vị là trong ngành khảo cổ học, với việc dùng phương pháp chụp cắt lớp để tìm ra nguyên nhân cái chết

của Tutankhamen Một máy CAT' được sử dụng để chụp xác chết, và nó đã tiết lộ một chỗ sưng lên

ở đầu gối, điều này ngụ ý rằng cái chết đó là kết quả một một bệnh nhiễm trùng nặng Nguyên nhân

của nó hoàn toàn do một vết thương vì té ngã Tuy nhiên Tutankhamen bị đẩy hay do tai nạn, thì

đó vẫn còn là điều bí ẩn mà máy quét CAT vẫn không thể giải đáp được

Nhìn chung, chúng ta có thể áp dụng phương pháp chụp cắt lớp vào bất cứ vấn đề mà ở đó chúng

ta có thông tin về giá trị trung bình của một hàm theo đường thẳng Nó còn được dùng để tìm bằng

chứng của những đường thẳng trong một bức tranh (như viền của một vật thể chẳng hạn) Bây giờ

chúng tôi sẽ tiếp tục đề cập đến hai ví dụ mô tả phương pháp chụp cắt lớp được ứng dụng như thế nào

Chụp cắt lép, GPS va lam sao dé hạ cánh một chiếc máy bay an toàn

Quay quanh quỹ đạo trái đất là một số lượng lớn các vệ tỉnh GPS và đang truyền các tín hiệu radio xuống mặt đất Nếu bạn có thể dò tìm các tín hiệu và xác định được sự lệch pha giữa tín hiệu

từ các vệ tỉnh khác nhau, bạn có thể biết được vị trí của mình ở mức độ chính xác cao Phương

pháp định vị GPS được sử dụng rất rộng rãi trong hệ thống hàng không, thiết bị SATNAV và những

người đi bộ đường dài Một vấn đề đối với hệ thống này là sự thay đổi của tầng điện li có thể ảnh

hưởng hưởng đến sóng radio, làm lệch pha một lượng nhỏ Sự thay đổi pha này có thể dẫn tới sự

sai sót trong định vị của hệ thống ŒPS Chúng không lớn lắm và hoàn toàn có thể chấp nhận được trong hàng hải Tuy nhiên khi hạ cánh một máy bay, một lỗi GŒPS nhỏ có thể dẫn tới một hậu quả lớn Ở đây điều mấu chốt là phải có một sự thấu hiểu chính xác về tầng điện li

Có nhiều lí do khác khiến việc hiểu biết về tầng điện li là quang trọng Một trong những lý do chính, đó là tầng điện li có một ảnh hưởng rất quan trọng đến sự truyền của sóng radio và sóng viễn

thông thông thường Nói đại khái, sóng radio có thể bị nảy ra khỏi tầng điện li, tăng mạnh phạm vi

(dải tầng số) của máy phát radio

Và một điều lý thú là chúng ta có thể giám sát trạng thái của tầng điện li bằng cách sử dụng phương pháp chụp cắt lớp Trong việc hình ảnh hóa một bệnh nhân, chúng ta đã chiếu những tia

X xuyên qua cơ thể họ Và để hình ảnh hóa tầng điện li, chúng ta dùng sự dẫn truyền từ các vệ

tinh GPS Diéu nay hình thành nên một tập hợp các “đường thắng” đi xuyên qua tầng điện ly Các

đường đi được biểu diễn ở dưới

Hành 10:

Pha của sóng radio bị ảnh hưởng bởi electron trong không khí, vì vậy toàn bộ các thay đổi ở pha

sẽ tương xứng với sự tích hợp mật độ electron trên đường đi của tia Nếu chúng ta có thể đo được những sự thay đổi pha này, thì chúng ta có thể ước lượng được sự tích hợp mật độ electron và tìm

ra biến đổi Radon của mật độ clectron Chúng ta có vẽ như đang ở đúng tình huống trong vấn dé

y học hình ảnh và vì thế có thể giải ra được mật độ electron ở bất cứu điểm nào trong không khí

Nhưng, không hoàn toàn là như vậy Có hai khác biệt lớn giữa vẫn đề này và vấn đề CAT Trước tiên, những vệ tỉnh thường đang di chuyển cùng với trái đất Thứ hai là một phần lớn diện tích trên trái đất không thể đo đạc được, bao gồm đại dương, nơi không có máy thu tín hiệu vệ tỉnh nào, hoặc

Trang 11

Ở các địa cực, nơi quỹ đạo vệ tỉnh không di qua Vì vậy, chúng ta có ít thông tin hơn so với trường hợp máy quét CAT Điều này có nghĩa là chúng ta thường phải ở trong tình huống của người vận

chuyển sữa không thể phân biệt hai cách sắp xếp các chai sữa, mỗi cách lại dẫn tới cùng một tập hợp các số liệu

Để giải quyết vấn đề này trong trường hợp tầng điện li, chúng ta sử dụng thông tin có sẵn trước

đó về tầng điện li, có nghĩa là một dự đoán hợp lí đáp án sẽ như thế nào Điều này cho phép chúng

ta có thể loại đi một đáp án không đúng với dự đoán và chọn đáp án càng giống với dự đoán càng

tốt Thật may, chúng ta hiều được về tính chất vật lí của tầng này đủ sâu để có thể dự đoán khá gần

với thực tế xảy ra Bằng cách này (cùng với các phương pháp tỉnh thông minh khác) thì việc dùng

phương pháp chụp cắt lớp để tìm ra tình trạng của tầng điện li là điều có thể Ở bức tranh dưới,

chúng tôi minh họa một sự tính toán (sử dụng phần mềm MIDAS phát triển bởi Đại học Bath) của

một cơn bão ở tầng điện li (màu đỏ) đang mở rộng ra khắp miền Nam nước Mĩ

Do tim bom min

Mìn xác thương là một trong những đòn ác hiểm nhất trong chiến tranh hiện đại Điển hình, chúng thường được được kích nỗ bằng một sợi dây gắn với còi nổ Các thủ thuật dò tìm dây phải

được thực hiện nhanh và không được nhầm lẫn bởi lá và tán cây, những thứ thường che đậy cho sợi

dây Và một vấn đề được cho như bức hình bên dưới, trong đó một số sợi dây được ẩn dưới một khu

áp dụng biến đổi Radon, bức hình phải được xử lí trước tiên để làm nổi các đường viền Sau khi sử

dụng biến đổi làm lớn hình ảnh, một ngưỡng được áp dụng vào các giá trị kết quả dé phân biệt các

đường thẳng thật của dây còi nổ (tương ứng với những giá trị lớn của R) với các đường thẳng giả

Trang 12

do lá cây và các tán lá tạo nên (7#? không thật sự lớn bằng)

Hành 1:

Theo kết quả của việc tính toán kích cỡ và ước lượng phân tích một số bức hình khác nhau, thì

chúng ta có thể nhận được một thuật toán để tìm ra các sợi dây bằng các bước lọc ảnh, sau đó sử

dụng biến đổi Radon, áp dụng một ngưỡng, rồi sử dụng biến đổi đảo Radon Kết quả của việc áp

dụng phương pháp này cho bức hình trước được cho ở trên, với 3 dây cò nổ được tô đậm Chú ý

phương pháp không chỉ dò tìm các sợi dây mà từ độ rộng của các đường đã cho thấy một sự biểu thị về mức độ tin cậy của việc tính toán

“Toán học thật sự cứu sống loài người”

Trang 13

Danh ngôn Toán học

"It seems that mathematical ideas are arranged somehow in strata, the ideas in each stratum being linked by a complex of relations both among themselves and with those above and below The lower the stratum, the deeper (and in general the more difficult) the idea Thus, the idea of an irrational

is deeper than the idea of an integer."

G H HARDY

"Mathematical study and research are very suggestive of mountaineering Whymper made several efforts before he climbed the Matterhorn in the 1860’s and even then it cost the life of four of his party Now, however, any tourist can be hauled up for a small cost, and perhaps does not appreciate

the difficulty of the original ascent So in mathematics, it may be found hard to realise the great

initial difficulty of making a little step which now seems so natural and obvious, and it may not be surprising if such a step has been found and lost again."

L J MORDELL

"Mathematics is not a deductive science - that’s a cliche When you try to prove a theorem, you don’t just list the hypotheses, and then start to reason What you do is trial and error, experimentation, guesswork"

P R HALMOS

"Pure mathematics is, in its way, the poetry of logical ideas."

ALBERT EINSTEIN

"Since arts are more easily learnt by examples than precepts, I have thought fit to adjoin the so-

lutions of the following problems "

"Die ganze Zahl shuf der liebe Gott, alles brige ist Menschenwerk (God made the integers, all

the rest is the work of humanity.)"

BAI VIET CHUYEN DE MATHVN

Lớp bài toán sử dụng phương trình Pell

NGUYỄN THỌ TÙNG - HS KHỐI PHỔ THÔNG CHUYÊN TOÁN, TRUONG DHSP HA NOI

Trong quá trình học toán, tôi đã gặp bài toán nhỏ sau đây:

quanh bài toán này

Trước hết tôi xin nhắc lại một số lí thuyết cơ bản cần thiết để tiếp cận:

Phuong trinh Pell loai I:

#2 — dụ? — 1

Định lý 1 Phương trình Pell loại I có vô hạn nghiệm Nếu goi (x9, yo) 1& c&p nghiệm nhỏ nhất

của phương trình thì mọi nghiệm của nó có dạng :

— (#o+ yowd)” + (a0 — yowd)” _

Chúng ta tạm thừa nhận định lí này, chứng minh của nó vượt ra ngoài khuôn khổ và nội dung

bài viết Bạn có thể tìm đọc trong nhiều tài liệu về phương trình vô định và liên phân số

Phương trình Pell tổng quát dạng toàn phương :

az’? — by? =n trong d6 a,b nguyén ditong va ab không chính phương

Dinh lí 2 Nếu tập nghiệm nguyên dương của phương trành đã cho khác rỗng thà nó có uô hạn

phần tử

Chứng mình

Thật vậy ta có phương trình tương đương véi u* — aby? = an trong đó u = a#

Gọi (z,') là nghiệm của phương trình Pell z2 — abw2 = 1

Do giả thiết phương trình đã cho có nghiệm, ta gọi đó là (uy, z)

Ta có

(a'? — aby’*)(u2 — aby?) = an © (uy#' + abW'uy)2 — ab(wJuy + ø'ụy)? = an

Từ đó suy ra cặp (0+1; yeti) Voi

+1 = # uy + 0bUkU”, Uk+1 = uy + # 0k

Cũng là một nghiệm của phương trình hơn nữa y+i > uy Và k+1 > 1z

Từ hệ tuyến tính trên và bằng quy nạp ta nhận được một dãy tăng các nghiệm {un, yn} với mø„ = 0,1,2 thỏa mãn quan hệ đệ quy

Yn+2 = 22 Yn+1 — Yn; Un4+2 = 20 Uns — Un Công việc còn lại của ta là chứng minh tồn tại một dãy con {un,, yn, } thda man a | un, với mọi n=1,2,

Ta goi {rn},n =0, 1,2 1A day s6 xc dinh bdi:

i Un =Tn (mod a)

ii rn € {0,1, ,a—1}

Do cặp (rz,r„+¡) chỉ nhận hữu han gié tri nén 4t tén tai m > 0 ma (ro, 71) = (Tm; Tm41):

Từ quan hệ đệ quy xc dinh {uy} v& quy nap suy ra rn =Tn+m (mod a) hay rn = rnim

Như vậy dãy {r„} tuần hoan véi chu ki m

Do vay rem =o, cht ¥ 14 uo chia hét cho a nén ro = 0 Suy ra a | Ugm, Vk > 0

Dinh đã được chứng minh V

Phương trình Pell mở rộng cho hàm thuần nhất bậc 2

ax” + cay + by? =n trong đó ø, b, c thỏa mãn

i.a>0O

ii D = c? — 4ab > 0 va khong chfnh phuong

Định lí Nếu tập nghiệm nguyên dương của phương trình đã cho khác rỗng thà nó có uô hạn

phần tủ

Chứng mình Phương trình đã cho tương đương với

V

Bây giờ quay trở lại bài toán ban đầu dé kiểm tra khẳng định đã nêu

Bài toán 1 Liệu có tồn tại uô hạn cặp số nguyên dương (œ,) sao cho

Dat d = gcd(z,) Khi d6 tén tai (a,b) sao cho x = da, y = db

Khi đó bài toán tương đương với dab | d(a* +67) +a+b

Từ đó suy ra đ | a+b Để đơn giản ta chọn d — ø + b

Một cách tự nhiên để tổng quát bài toán đó là thay 1 bởi hằng số nguyên dương k bất kì

Bài toán 2 Liệu có tồn tai vd hạn cặp số nguyên dương (+, y) thỏa mãn

z+k ytk

là số nguyên dương

Thực chất đây cũng là hệ quả của bài toán đã nêu nếu đặt z = kz”, = kự'

Hướng tổng quát này không mang lại nhiều kết quả như mong đợi Tuy nhiên không nản ở đó,

ta xót tiếp một bài toán tổng quát hơn

Bài toán 3 Liệu có tồn tại 0ô hợn cặp số nguyên duong (x,y) sao cho

Ta cũng bắt đầu với một phương pháp tương tự

Dat d = gcd(x,y) Khi đó tồn tại cặp số nguyên dương (m,m) sao cho ø = đm,t = dn va gcd(m, n) = 1

Khi đó bài toán là tương đương với

Thật vậy, D = (a2 + a-+ 1)2 — 4ø2 > 0

Giả sử D là số chính phương Ta có

(a? +a-—1)? <D< (a? +a+1)?

Ti day suy ra D = (a? + a)’, trái với công thức của D Vì vậy D là số không chính phương

Theo Định lý 3 thì phương trình có vô hạn nghiệm (n,n) tức là có vô hạn cặp số (z,) thỏa, mãn điều kiện bài toán V

Nếu dừng ở đây thì thật đáng tiếc! Liệu bài toán còn đúng nếu bỏ di tinh đối xứng của biểu

Đặt d = gcd(z, ) Khi đó tồn tại u, mà # = đu, = du với gcd(u, 0) = 1

Chon d = bu+ nv Khi đó điều kiện bài toán chuyển về

tu | œu2 -} m2 + 1 Khi đó để ý rằng cặp (0,0) — (1,ø + 1) là bộ số thỏa mãn Ta có:

@u2 + mu2 +1 — œa+m(øœ+1)2+1

Ta quy về xét phương trình

au? + mv? — kuv +1=0

Chứng minh nguyên D = (ma + rn + 1)2 — 4œm dương và không chính phương xin dành cho bạn

đọc Lại áp dụng Định lý 3 thì thu được điều khắng định.V

Mẫu thức trong biểu thức điều kiện có thể tính tiến một hằng số

Bài toán 5 Liệu có tồn tại uô hạn cặp số nguyên dương (x,y) sao cho

œz + _ rnụ + Trị

y + be y+ne

là số nguyên dương, trong đó ít nhất một trong các biểu thức bị = abo,n1 = mng khong zdy ra

Hiển nhiên đây là kết quả khẳng định, coi như hệ quả bài toán 4 nếu đặt — #-Lma và 0 = -Lba

Bài toán có thể mở rộng kết quả trong trường hợp nhiều biến

Bai todn 6 Cho P,(x), Po(zx), ,Pm(x) |

ton tai tt nhat mot da thitc théa man P,(0)

các đa thức bậc nhất uới các hệ số nguyên sao cho

0 Khi đó tồn tại uô hạn bộ số nguyên (1, #a, #n)

là số nguyên, trong đó gu ước #n+\ = 1

Không mất tính tổng quát có thể giả sử k — 1 Chỉ cần chọn rq = 13 = = #„„, khi đó bài toán chuyển về bài toán 4

Tiếp theo xin nêu ra một vài ứng dụng khác của của phương trình Pell trong các bài toán chia hết Bài toán 7 Cho œ là một số thực dương Chứng mình răng ton tai vd han x nguyén dương sao cho

Khi đó nhận thấy nghiệm nhỏ nhất của phương trinh 1a (x, y) = (D,1) Do đó phương trình có

vô hạn nghiệm nguyên

Ta có #2 = (D7 + 1)y? — 1, tite lA ax = a((D? + 1)y? — 1)

Như vậy điều kiện (2) là tương đương với

(D? + 1)y? | [a((D* + 1)y* — 1]!

Đến đây bài toán đã đơn giản hơn rất nhiều Trong các nghiệm như thế xét y > D? +1

Khi đó ta có (D2 + 1)? | (3g)!

Chỉ cần chọn g sao cho a((D? + 1)y? — 1) > 3 Điều này là hiển nhiên nếu chọn y > yo, trong

đó go là giá trị lớn nhất mà œ((D2 + 1)w2 — 1) = 3go

Do vậy ta xét dãy nghiệm (Z„, „),?› — 1,2, của phương trình mà „ > rnaz{o, D2 + 1} để

đảm bảo điều kiện (¡) được thỏa mãn

Ta cũng biết rằng dãy phần dư của #„ modulo ?n là tuần hoàn, do đó ta chỉ cần chọn nm | D +1

Khi đó tồn tại dãy con {z„„ } mà

k | In, +1 ,Yn, > maz{yo, D? + 1}

Vậy bài toán đã được giải quyết V

Một cách tự nhiên, ta mở rộng bài toán:

Bài toán 8 Cho a,m,n,k nguyên dương cho trước uà số thực dương œ Chứng mảnh rằng tồn

tại uô hạn số nguyên dương + sao cho

¡ ø2 +m | [az2]l

i.k|z+mn

Phép chứng minh cũng tương tự bằng cách xét phương trình

ax* +1 = (aD? + m)y?

trong d6 aD?+m khong chinh phương Các bạn hãy giải quyết xem như bài tập để rèn luyện thêm

Không chỉ ứng dụng trong phương trình 2 ấn số, phương trình Pell còn tỏ ra hữu ích để xây

dựng tập nghiệm cho phương trình Diophatine nhiều ẩn Ta bất đầu bằng một bài Olympiad của

2 = 5(4ˆ — #ụ + Uˆ — # — 9)

2‡2 — z2 — zụ +2 +~z+ụ

Ta chứng minh hệ này có vô hạn nghiệm Một cách đơn giản chọn z = 1

Hệ phương trình được đưa về

z = š(2 — 2w)

2‡2 —ˆ^+2

Từ hệ suy ra y = 2k, z = 2k? — 2k, t? — 2k? = 1

Ap dung phuong trinh Pell loai I, khi d6 tén tai v6 han c&p (k,t) théa man diéu kiện trên

Hơn nữa gcd(z, g, z, #) = 1 do z = 1

Vậy bài toán đã được giải quyết V

Tôi tin chắc rằng còn nhiều lời giải cho bài toán này, chắng hạn ta có thể chọn z lớn tùy ý Không nhất thiết là z = 1, việc chọn như vật chỉ đề đáp ứng một cách đơn giản điều kiện thứ 2 của bài toán Thực tế ta có thể giải quyết bài toán sau:

Bài toán 10 Cho trước số nguyên dương M, chứng minh rằng tồn tại vd hạn bộ số nguyên đương (z, U, z,É) sao cho

¡.z3 +ụ?) + z2 = É

i gcd(z, 0, z,#) = 1

1H ,,2,tU>M

Chứng minh xin dành cho bạn đọc Ta tiếp tục xét ví dụ khác

Bài toán 11 Chứng minh rằng tồn tai v6 han cap sé (x,y, z,t) nguyén dương sao cho

'Theo kết quả của phương trình Pell loại I, phương trình trên có vô hạn nghiệm, hơn nữa dễ kiểm

tra rằng b lẻ Bài toán được giải quyết xong V

Cuối bài viết, tôi cũng xin nhắn mạnh rằng những lời giải đã trình bày là không duy nhất Điều

đó khẳng định thông qua việc không chỉ tường minh các hằng số trong bài toán Tuy nhiên chúng

ta đều xuất phát từ một ý tưởng đó là sử dụng phương trình Pell xuất phát từ tính vô hạn nghiệm

Cũng xin nêu ra vài bài toán để luyện tập thêm

Bài tập 1 Chứng minh rằng với mọi ?m nguyên, tồn tại vô hạn cặp số nguyên (z, ) sao cho

i.z|?+m

ii y | z2 +m

Bài tập 2 Cho z, 9, z,£ nguyên dương thỏa mãn

z+†„—=zrtu 2ry = zu

Tìm hằng số m tốt nhất sao cho với mọi #z > thỏa mãn hệ ta đều có „mm

Bài tập 9 Chứng minh tồn tại hai dãy tăng thực sự {a,}, {b,} sao cho

Định lí Stolz trong các bài toán giới hạn

TRAN THANH Nam - SV DH BACH KHOA TOMSK, LIÊN BANG ÑGA

Định lý 1 (Stolz) Cho 2 day sé thuc {xy} vd {yn} théa man các điều kiện sau:

1 {yn} la dấu thực dương tăng ngặt uà không b‡ chặn

2 lim tn —#n—1 —_ L

n—›oO tụ — Yn-1

Thi: lim “? =Ị

Định lí Stolz gần gũi với Định lí Toeplitz về dãy trung bình

Dinh ly 2 (Toeplitz) Cho déy sé thuc {en(k)}, k = 1,2, n, n = 1,2, sao cho thỏa mãn các điều kiện :

1 en(k) — 0Ö khả n — oo uới mỗi k cố định

Dinh ly Stolz cing nhu Toeplitz déu có thể chứng minh độc lập và điều này đã có ở nhiều tài

liệu Ngoài ra định lí Stolz xem như là hệ quả Định lí Toeplitz, và chứng minh điều này sẽ được xét ngay bên dưới

Bồ đề Cho 2 dấu số {a„}, {b„} thỏa mãn điều kiện sau:

luận của định ly Stolz

Phần tiếp theo, xin trình bày ứng dụng của Định ly Stolz trong các bài toán giới hạn

Bài toán 1 Cho 2 dấu số hội tụ an —> œ 0à b„ — b Chứng mình rằng:

.— Andy + Gn_1b2 + + Gabn_1 + aiby,

=ab+ ays? + by?) + +

Ta cần chứng minh: lim ny) = lim + = lim +” =0

Ấp dụng Định lí Stolz dễ dàng thấy lim 7? = lim +? =0

Bài toán 3 Chứng tỏ rằng không tồn tại hàm số f(z) : (0,00) — (0, œ) thỏa mãn

ƒŒœ +) > ƒ() +/((z))

vdi moi x,y € (0, 00)

Lời giải

Rõ ràng ta thấy ring f(z) tang do f(z+y) > ƒ(z) với mọi > 0

Mặt khác, lấy z = 1 thì về phải là phương trình đường thẳng do đó lim ƒ(z) = œ Lấy = 1

ta có ƒ(œ + 1) — ƒ(z) = ƒf(z)) Vậy khi z đủ lớn thì f(x +1) - f(z) tiền tới vô cùng

Ap dung Dinh Ii Stolz: lim Unt 7 in _ lim © rie Onén lim “ = 0, va do dé

N00 On+1 — Bn, n+©© Ôn +] NCO On,

Kết luận của bài toán là tồn tại số nguyên dương & như vậy V

Bài toán 5 Cho dấu số thực {an} sao cho lìm n”an„ — œ 0ới mọi số thực x Chitng minh rang:

noo

+ lim mŸ (didads đ„_—1d„)" —= @

noo

Lời giải Xét day s6: un = 2" a1 a203 dn—1An-

lim —2t* PF — Jim (€4n41 — €n41) =0> lim S, =e.V

n—0o n n—0o n—oo

Bài toán 7 Cho k > 2 nguyên va dé thi dudng cong (C): y= 2z +1 (z > 0) Gọi tọa độ tiếp

điểm (ay, v/2ay + 1) là giao điểm của tiếp tuyến qua tọa độ (0, k) uới Ơ Hãy tính

lim — 3 ak

n—Cco n3

Đường thắng đi qua (0, k) nên k — /2a, +1 = lagi):

Do đó, a2 + 2(1 — &Ÿ)ay + 1 — k2 = 0 hay ag = (k? —1)+k(Vk? — 1) (loại nghiệm âm vi a, > 0 với mọi k > 2)

} (nh be Ể =1 S1 — sec Bnet) Sag Sh (PB ee Pg)

2 Sử dụng kết quả của (1), lời giải xin dành cho bạn đọc

Một vài bài tập tương tự:

Bài tập 1: Tính các giới hạn sau

: 1°4+2?+3?+ 4+n? _? 4i

1 Jim Tp :HỊ với pEN

2 lim = 1 (a+ (e+)! + Œ+2)! + (k+3)! 14 (een)

3 lim 1+a+2a? +30 Thẻ tna” v6ia>l

luôn đúng với s > 2 và ay là các số thực dương

Bài tập 6: Cho dãy số {a„} thỏa mãn

Bài tập 8: Cho dãy sé {ry}, hoi tu Chứng minh nếu lim 0é(#„+1 — #ạ) tồn tại thì

lim nz, = lim =~ = lim —T———+ = lỉm —T———~+ = lim (1—z„) = 1

n— oo noo — noo —=— — -_— n—0o ”m—— n_—>oo

Ln Ln+1 Ln #n„—#£, Ln

Vậy bài toán được giải quyết V

Mở rộng bài toán

Cho dãy số {z„} được xác định bởi zo = 3,®m+1 —= #ụ — #2 n°

Tim tat cd gid trim € R sao cho tồn tại L = lim n™(nap,—1) va L € R\{0}

Noo

Bài toán 10 Cho đấu số z„ uới n > 1 được xác định bởi công thúc : z\ < 0, #n+1 —= 6”" —1,1m > 1

Tim giới hạn của déy 86 {xn} vd tinh Jim | NL

Lời giải

Với phương pháp qui nạp ta chứng minh được z„ < 0,Vnw > 1

Mặt khác ta có: e” — l > z,Vz € R, do đó #„-+¡ = e7» — l > z„ nên dãy tăng

Dãy {z„} tăng và bị chặn nên hội tụ và giới hạn này bằng 0

lim nz, = lim = =—- lim 5 i = 7 lim lim ————”——— =-)

T,—>OO n-co — n—-0co —— — ——— T,—>oo % n—oo CẦn — | —

Kết luận: Giới hạn của dãy {z„} là -2 V

Bài toán 11 Cho đấy số {rn} véi x, > 0 oà được xác định bởi công thúc: #Z„+t+ — „+ sim mø„ > 1

Héy tinh lim ~~ y noo Inn

Tui—>©O In(n) n— oo nln ntt n— oo ct#n n—o0o et#n+1 — c‡t#n

= n—00 etfn (ef@s+i—zs) _ 1) lim = noo ete f2n _ |] hn —,— =7: t

(với nhận xét là dãy số {z„} tăng và không bị chặn) V

Bai todn 12 Dat zo € (0,1) vd p41 = 2pm — arcsinsin? r,,n > 0 Tinh lim /nữa

Viết lại dãy s6: sinzn41 = sing, V1 — sin’ zp — sin” z„c0s#„,

1 1 sin yp — SINFn41 sin, — SINZnV 1 — sin* x, + sin? £,,costn

SN In+1 SING SIN Ly SIN Ly +1 sin Ln, (sin InV1-—sin* x, — sin? Sn COSn )

Bài tập 3: Cho dãy số {z„}„cq với #\> Ú và #„+1 — #m T crarrrrrarm VỚI É > Ú và r > 1

Tính giới hạn: lim =>

noo NN

Bài tập 4: Cho da thtte P(x) = anx™ + am_12™ 1+ a9 véi a; > 0,1 = 0,1,2, ,m

Đặt A„ và Œ„ lần lượt là trung bình cộng và nhân của các giá trị P(1), P(2), P, , P(n)

minh rang lim (#„ — #n_1) = 1

nrc

Mong được ý kiến đóng góp của các ban doc để khai thác thêm những khía cạnh mới trong việc vận dụng định lí Stolz trong các bài toán giới hạn

TAI LIEU THAM KHAO

1 Titu Andreescu; Putnam and Beyond

2 W J Kaczor, M T Nowak; Problems in Mathematical Analysis - AMS, 2000

3 Các diễn đàn toán học

4 Tap cht Mathematical Reflection - http : //reflections.awesomemath.org/