đề thi cao học toán đại học sư phạm hà nội năm 2009

cộng hòa xã hội chủ nghĩa vệt nam TRườNG Đại Học Sư phạm HÀ Nội Môn thi: Đại số Thi gian làm bài: 180 phút (không ke thi gian phát dê) Ngi thi không s dng tài lieu

Trang 1

C ỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM

ĐỘC LẬP – TỰ DO – HẠNH PHÚC

ĐỀ TUYỂN SINH CAO HỌC 2009 ĐỢT 2

TR ƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI

Môn thi: ĐẠI SỐ

Th ời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian phát đề)

Ng ười thi không sử dụng tài liệu

Câu I (3 điểm):

Cho R là trường các số thực và R – không gian vectơ R3

Cho ma trận thực

A

a

−

= − 

với a là tham số Chứng minh rằng:

(i) Ánh xạ 3 3

:

f R →R cho bởi f x y z( , , ) (= −z 2 ,x z− 2 ,y x+ +y az) là một ánh xạ

tuyến tính và A là ma trận của f theo cơ sở e1 =(1, 0, 0 ;) e2 =(0,1, 0 ;) e3 =(0, 0,1)

của R3

(ii) Với a = -3, hãy tìm trị riêng và vec tơ riêng của f

(iii) Với giá trị nào của a thì f không là một đơn cấu, và trong trường hợp f

không là một đơn cấu hãy tìm một cơ sở cho Imf

Câu II (2 điểm): Cho Q là trường các số hữu tỉ, còn Q[X] là vành các đa thức với

biến X trên Q Chứng minh rằng:

(i) Q – không gian vectơ Q[X] có chiều vô hạn, hãy chỉ ra một không gian

vectơ con cụ thể của Q[X] có chiều 2009

(ii) Tập { } { ( ) ( )2 ( ) }

1

n

≥

∪ + − + − + + − lập thành một cơ sở của Q –

không gian vectơ Q[X]

Câu III (3 điểm): Cho một vành chính A và I, J là hai ideal khác ideal không và A

Với mỗi phần tử a∈A, ta ký hiệu (a) là ideal chính sinh bới a Chưng minh rằng:

(i) I là một ideal nguyên tố khi và chỉ khi I là một ideal cực đại

(ii) I∩ ≠J { }0 , và nếu I∩J là một ideal nguyên tố thì I = J

(iii) 1( )n

i

a

∞

=

∩ là một ideal cực đại thì A là một trường

Câu IV (2 điểm): Cho G là một nhóm cyclic Chưng minh rằng:

(i) Nếu G có cập vô hạn thì G đẳng cấu với nhóm cộng các số nguyên Z và G

chỉ có đúng hai phần tử sinh

(ii) Không tồn tại G có đúng 2009 phần tử sinh

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

Trang 2

Câu 1:

a) Định nghĩa không gian mêtric compact Cho ví dụ về không gian mêtric

compact

b) Phát biểu và chưng minh tiêu chuẩn Hausdorff về tập compact trong không

gian mêtric đầy

Câu 2:

a) Định nghĩa toán tử compact giữa các không gian định chuẩn và chứng minh

các điểu kiện tương đương đối với toán tử compact

b) Chứng minh rằng nếu { }n 1 ( , )

n

f ∞= ⊂L E F là dãy các toán tử compact từ không

gian Banach E vào không gian Banach F h ội tụ tới f trong L E F( , ) thì f cũng là

toán tử compact

Câu 3: Phát biểu và chứng minh định lý về sự tồn tại phép chiếu trực giao trong

không gian Hilbert

II Bài t ập:

Câu 1: Giải sử X là không gian metric compact và f X: →X là ánh xạ thỏa mãn điều kiện

( ) ( )

(f x , f y ) ( )x y, , x y.

Chứng minh rằng f có điểm bất động duy nhất Lấy ví dụ cho thấy nếu bỏ giả thiết

compact thì kết quả trên không còn đúng

Câu 2: Cho X, Y là hai không gian định chuẩn, A X: →Y là toán tử tuyến tính liên

tục Chứng minh rằng:

a) Nếu A Y' : ' →X' là toàn ánh thì A là đơn ánh

b) Nếu A’ là đơn ánh thì A(X) là trù mật trong Y

Câu 3: Giả sử X là không gian Banach, A∈L X( ) là một toán tử compact, λ là

một số khác không Chứng minh rằng nếu Aλ = −A λ 1X là đơn ánh thì nó là phép đồng phôi

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

Trang 3

Câu I (3 điểm): Cho R là trường các số thực và một ánh xạ 3 3

:

f R →R cho bới tương ứng (x y z, , ) ( 3x− 2 , 2y − +x 3 ,y z)

(i) Chứng minh rằng f là một đẳng cấu tuyến tính của R – không gian vectơ R3

(ii) Tìm ma trận của f theo cơ sở e1 =(1, 0, 0 ;) e2 =(0,1, 0 ;) e3 =(0, 0,1) của R3

và các trị

riêng của f

(iii) Tìm các trị riêng và các vectơ riêng tương ứng của f 2009

Câu II (2 điểm): Cho một không gian vectơ V có chiều hữu hạn trên trường K; M và

N là hai không gian vectơ con của V Chứng minh rằng:

(i) dim(V/M) = dimV – dimM

(ii) M /(M ∩N) (≅ M+N)/N, từ đó suy ra đẳng thức

dim M +N = dimM + dimN− dim M∩N

Câu III (2 điểm): Cho I và J là các ideal của một vành giao hoán A có đơn vị Chứng

minh rằng:

1

| , , , ; , , , & 1, 2, 3,

n

i

=

I+ = +J {x y x| ∈I&y∈J} đều là các ideal của A

(ii) Nếu I+ =J A thì I J = ∩I J

Câu IV (3 điểm): Cho G là một nhóm với phép toán nhân có cấp hữu hạn n≥ 2 và a

là một phần tử của G Chứng minh rằng:

(i) Quy tắc T a( ):G→G cho bới xax với mỗi x∈G là một song ánh trên G

và T bc( ) ( ) ( )=T b T c với mọi b c, ∈G

(ii) Từ một họ S những nhóm tùy ý có cấp ≤n cho trước, bao giờ cũng tồn tại

một nhóm có cấp hữu hạn, chứa những nhóm con đẳng cấu với các nhóm

của S

(iii) Từ một họ vô hạn những nhóm có cấp ≤n cho trước, bao giờ cũng tồn tại

một họ con vô hạn những nhóm đẳng cấu với nhau

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

Trang 4

Câu 1:

a) Định nghĩa không gian metric đầy Cho một ví dụ về không gian metric không đầy

b) Phát biểu và chứng minh nguyên lý ánh xạ co cho lớp không gian metric đầy

Câu 2:

a) Định nghĩa toán tử compact giữa các không gian định chuẩn

b) Chứng minh rằng nếu { }n 1 ( , )

n

f ∞= ⊂L E F là dãy các toán tử compact từ không

gian Banach E vào không gian Banach F h ội tụ tới f trong L E F( , ) thì f cũng là

toán tử compact

Câu 3: Phát biểu và chứng minh định lý biểu diễn Riesz về dạng tuyến tính liên

tục trong không gian Hilbert

II Bài t ập:

Câu 1: Cho φ là hàm liên tục trên [a,b] Hãy chứng minh rằng tập các hàm số f

liên tục trên [a,b] và thỏa mãn f x( ) ( )< φ x , ∀ ∈x [ ]a b, là mở trong C[ ]a b, với khoảng

cách max

Câu 2: Giả sử ϕ: E→F là ánh xạ tuyến tính từ không gian định chuẩn E tới

không gian định chuẩn F Chứng minh ϕ là liên tục khi và chỉ khi f oϕ ∈E' với

mọi f∈F'

Câu 3: Giả sử L là không gian con đóng của không gian Hilbert E và x∈E

Chứng minh rằng x⊥ ⇔L x ≤ −x y , ∀ ∈y L

Câu 4: Cho không gian Hilbert H và A∈L H( ) Chứng minh rằng nếu *

o

A A là một

toán tử compact thì A là một toán tử compact

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

Trang 5

Câu I (3 điểm): Cho một ma trận thực

A

a

−

= − 

− − 

với a là tham số

(i) Hãy biện luận hạng của A theo tham số a

(ii) Với a = 3, hãy tìm trị riêng và vectơ riêng của A

(iii) Với a = 3, hãy tìm ma trận trực giao T sao cho T-1

AT là ma trận đường chéo

Câu II (2 điểm): Cho R là trường các số thực, còn Q là trường các số hữu tỉ Chứng

minh rằng:

(i) R là một Q-Không gian vectơ vô hạn chiều

(ii) Tồn tại tập S các số thực vô tỉ sao cho V = ∪S { }0 lập thành một Q-Không

gian vectơ con của R và R = V + Q

Câu III (2 điểm): Cho một số nguyên n≥ 2 Chứng minh rằng:

(i) Ideal I = (n) là m ột ideal cực đại của vành số nguyên Z khi và chỉ khi n là

số nguyên tố

(ii) Vành Zn (Vành các lớp thặng dư modolo n) là một miền nguyên khi và chỉ

khi n là một số nguyên tố

Câu IV (3 điểm): Cho G là nhóm cyclic có cấp hữu hạn n≥ 2, a và b là các phần tử

của G có cấp lần lượt là p và q Chứng minh rằng:

(i) Nếu ab là một phần tử sinh của G thì tồn tại các số nguyên dương t1 và t2

để 1

n t

p và n t2

q là các số nguyên sao cho n t1 n t2 1 mod( n)

(ii) Nếu n = 5 k

thì trong G không t ồn tại các nhóm con không tầm thường H và

K để G đẳng cấu với nhóm HxK

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

Trang 6

Câu 1:

a) Định nghĩa không gian metric compact Cho ví dụ

b) Phát biểu và chứng minh đặc trưng Hausdorff của tập compact trong không

gian metric đầy

Câu 2: Cho E, F là hai không gian định chuẩn Chứng minh rằng:

a) L(E,F) là không gian định chuẩn

b) Nếu F là Banach thì L(E,F) là không gian Banach

Câu 3:

a) Định nghĩa toán tử compact trên lớp các không gian định chuẩn

c) Cho E,F là không gian Banach và { }n 1 ( , )

n

hội tụ trong L E F( , ) tới ánh xạ f Hãy chứng minh f là toán tử compact

II Bài t ập:

Câu 1: Chứng minh hàm cho bởi ( ), : ( ) ( ) , , [ ] ,

b

a b a

trên tập C[ ]a b. các hàm liên tục trên đoạn [ ]a b, ⊂R.

Câu 2: Cho H là siêu phẳng đóng trong không gian định chuẩn E có phương trình ( ) 0, '

f x = f ∈E Chứng minh rằng: (a H, ): inf{a y :y H} f a( ) , a E.

f

Câu 3: Giả sử E là không gian Hilbert và A E: →E là toán tử tuyến tính thỏa mãn ( ), , ( ) , ,

A x y = x A y ∀x y∈E Chứng minh rằng A liên tục

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

Trang 7

Câu I (3 điểm):Cho R – không gian vect ơ P n [x] gồm tất cả các đa thức có bậc không vượt quá n

(n>0) và một ánh xạ D P x: n[ ]→P x n[ ] cho tương ứng mỗi phần tử f của Pn [x] với đạo hàm f’ của

nó Ch ứng minh rằng:

(i) D là m ột ánh xạ tuyến tính Hãy tìm giá trị riêng và vectơ riêng của D

(ii) P x n[ ]≅ ⊕R P n−1[ ]x

(iii)Với mỗi a R∈ , thì { (x−a)d|d = 0,1, ,n} là m ột cơ sở của P x n[ ]

Câu II (2 điểm): Cho W là một không gian vectơ có chiều dương trên trường các số thực R

Ch ứng minh rằng:

(i) W có vô h ạn cơ sở Hãy cho biết khi nào W có vô hạn không gian con

(ii) N ếu W có chiều vô hạn thì W có vô hạn không gian vectơ con đẳng cấu với chính W

Câu III (2 điểm): Cho I và I là các ideal của một miền nguyên A

(i) Cho bi ết khi nào thì I∩ =J { }0

(ii) Ch ứng minh rằng vành các đa thức A[x] với biến x cũng là một miền nguyên

Câu IV (3 điểm): Cho Sn là nhóm t ất cả các phép thế bậc n n( ≥ Chứng minh rằng: 2)

(i) S n ch ứa một nhóm con đẳng cấu với nhóm S n-1

(ii) S n chứa một nhóm con cyclic cấp n

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

Trang 8

Câu 1: Chứng minh rằng không gian metric X là đầy khi và chỉ khi mọi dãy hình cầu đóng lồng vào nhau thắt dần có điểm chung duy nhất

Câu 2: Phát biểu và chứng minh nguyên lý bị chặn đều cho lớp không gianb Banach

Câu 3: Giải sử p≥ 1 và ( 1 2 )

1

, , : p

j

∞

=

= = < +∞

 ∑  là không gian Banach với

chuẩn

1

p p j j

∞

=

=  

∑  Chứng minh rằng tập con A của lp hoàn toàn bị chặn nếu và chỉ

nếu A bị chặn và với mọi ε > 0 tồn tại nε sao cho ( 1 2 )

1

p j j

∞

=

< ∀ = ∈

∑

II Bài t ập:

Câu 1: Cho 0 { ( 1 , 2 , : l im x) n 0}

x

→∞

= = = là không gian Banach với chuẩn

1

sup n

n

≥

=

Siêu phẳng ( 1 2 ) 0

1

j

∞

=

1

j

a

∞

=

<∑ < +∞

a) Tính d x H( ), = inf{ x−y :y∈H},x=(x x1 , 2 , )∈c0

b) Tìm điều kiện của (a a1 , 2 , ) để tồn tại x0 ∉H y, 0 ∈H sao cho d x H( 0 , )= x0 −y0

Câu 2: Cho { }x n n≥1 là hệ trực giao trong không gian Hilbert E Chứng minh rằng dãy

n

j

x

 

 

∑  hội tụ yếu nếu và chỉ nếu 2

1

j j

x

∞

=

< ∞

Câu 3: Cho X là không gian định chuẩn, E là không gian Hilbert có hệ cơ sở trực

chuẩn đầy đủ { }e n n≥1 Chứng minh rằng A X: →E là toán tử compact nếu và chỉ nếu

tồn tại dãy toán tử liên tục hữu hạn chiều A n:X →E thỏa mãn lim n 0

Câu 4: Cho E là không gian định chuẩn Giải sử A là tập chặn yếu trong E nghĩa là

f(A) là tập bị chặn với mọi f ∈E' Chứng minh rằng A là tập bị chặn

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

Trang 9

ĐỀ TUYỂN SINH CAO HỌC 2007

Câu I (3 điểm): Cho hệ phương trình 0

+ + + =



 − − − =

 trên trường số thực R

1) Chứng minh rằng tập V tất cả các nghiệm của hệ đã cho là một không gian

vectơ con của R-không gian vectơ R4

2) Tìm chiều và tìm cơ sở của V

3) Tìm nghiệm tổng quát của hệ 1

+ + + =



 − − − =

Câu II (2 điểm): Cho V là không gian vectơ n chiều (n≥ 1)trên trường K và f là một

tự đồng cấu của V Giải sử K fer =K fer 2 Hãy chứng minh rằng:

1) V = Im( )f +K fer

2) V / Im( )f ≅K fer

Câu III (2 điểm): Cho H là nhóm con của nhóm nhân G và G/H là tập các lớp ghép

trái của G theo H

1) Chứng minh rằng quy tắc f :(G H/ ) (× G H/ )→G H/ cho bởi f xH yH( , )=xyH là

một ánh xạ khi và chỉ khi H là một nhóm con chuẩn tắc của G

2) Giả sử H là nhóm con chuẩn tắc của G Chứng minh rằng nhóm thương G/H là

một nhóm giao hoán khi và chỉ khi 1 1

aba b− − ∈H với mọi a b, ∈G

Câu IV (3 điểm): Cho A là một vành chính, a và b là hai phần tử của A Ký hiệu (x)

là một ideal sinh bởi phần tử x Chứng minh rằng:

1) ( ) ( ) ( )a ∩ b = ab khi và chỉ khi a và b nguyên tố cùng nhau

2) Nếu a không khả nghịch thì 1( )n

n

a

∞

=

∩ là ideal không

3) A/(a) là một trường khi và chỉ khi a bất khả quy trong A

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

Trang 10

Câu 1: Định nghĩa không gian metric đầy Cho ví dụ

Chứng minh rằng không gian metric E là đầy khi và chỉ khi mọi dãy hình cầu đóng

thắt dần có điểm chung duy nhất

Câu 2: Phát biểu và chứng minh nguyên lý ánh xạ mở cho lớp không gian Banach

Câu 3: Phát biểu và chứng minh định lý Riesz về dạng phiếm hàm tuyến tính liên tục

trên không gian Hilbert

II Bài t ập:

Câu 1: Giả sử f E: →F là ánh xạ giữa hai không gian metric Chứng minh hai phát

biểu sau là tương đương:

a) f liên tục trên E

b) Với mọi 1( ) ( 1( ) )

Câu 2: Giả sử f E: →F là ánh xạ giữa hai không gian định chuẩn E, F Chứng minh

f là liên tục khi và chỉ khi với mọi dãy { }x n ⊂E x, n→ 0 thì dãy {f x( )n } là bị chặn trong

F

Câu 3: Giả sử { }e n n∞=1 là hệ trực chuẩn trong không gian Hilbert E và { }λn là dãy số

dần tới 0 Chứng minh toán tử tuyến tính T E: →E cho bởi ( )

1

,

n

=

=∑ 〈 〉 là toán

tử compact

Câu 4: Giả sử { }A n là dãy giảm các tập đo được với độ đo không âm µ và f là hàm

không âm, khả tích theo độ đo µ trên A 1

Đặt

1

n

∞

=

=∩ Chứng minh lim

n

A fdµ =n→∞ A fdµ

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

Trang 11

ĐỀ TUYỂN SINH CAO HỌC 2006

Môn thi: GI ẢI TÍCH

I Lý thuy ết:

Câu 1:

a) Định nghĩa tập hoàn toàn bị chặn, tập compact và không gian metric compact

Cho ví dụ

b) Phát biểu và chứng minh các kết quả về ánh xạ liên tục và hàm liên tục trên tập

compact

Câu 2: Định nghĩa giá trị chính quy và phổ của toán tử tuyến tính liên tục Chứng

minh nếu E là không gian Banach trên trường K thì phổ σ( )f của mọi f thuộc đại số

L(E) là tập compact và hàm ( ) 1

f

λ → λ − − là giải tích trên giá trị chính quy S f( ) Hơn

nữa nếu K = C thì σ( )f ≠ ∅

Câu 3: Phát biểu và chứng minh định lý Riesz về dạng phiếm hàm tuyến tính liên tục

trên không gian Hilbert

II Bài t ập:

Câu 1: Giả sử { }f n là dãy các ánh xạ liên tục từ không gian metric compact X vào X

hội tụ đều trên X tới ánh xạ f X: →X Chứng minh các ánh xạ f n có điểm bất động

thì f cũng có điểm bất động

Câu 2: Cho E và F là hai không gian Banach và A E: →F là ánh xạ tuyến tính liên

tục Chứng minh A F' : ' →E' là toàn ánh khi và chỉ khi A là đơn ánh và có ảnh đóng

Câu 3: Chứng minh mọi dạng tuyến tính, khác không trên không gian định chuẩn là

ánh xạ mở

Câu 4: Giả sử ( )e n n≥1 là hệ trực chuẩn trên không gian Hikbert E và { }λn n≥1là dãy hội

tụ tới o Chứng minh toán tử A từ E tới E cho bởi ( )

1

|

n

=

=∑ là toán tử

compact

Câu 5: Giả sử E là không gian Hilbert Toán tử A∈L E( ) gọi là dương nếu (Ax x| )≥ 0

với mọi x∈E Chứng minh:

a) Mọi toán tử dương là liên hợp

b) Mọi phép chiếu trực giao lên không gian con đóng của E là toán tử dương

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

Tiêu đề	Đề Thi Cao Học Toán Đại Học Sư Phạm Hà Nội Năm 2009
Tác giả	Quách Đăng Thăng
Trường học	Đại Học Sư Phạm Hà Nội
Chuyên ngành	Toán
Thể loại	Đề Thi
Năm xuất bản	2009
Thành phố	Hà Nội

Định dạng
Số trang	14
Dung lượng	544,03 KB