Tìm hiểu cơ sở hình học vi phân: Phần 2

Phần 2 của cuốn sách Cơ sở hình học vi phân tiếp tục cung cấp cho bạn đọc những nội dung về: các mặt cong trong không gian ba chiều; mặt tiếp xúc, pháp tuyến và tính định hướng; các ứng dụng của định lý hàm ngược; dạng cơ bản thứ nhất; độ cong của mặt; độ cong Gauss;... Mời các bạn cùng tham khảo!

sự kiên nhẫn ở tiết cuối cùng của chương này; những kết quả đó không được sử dụng ở chỗkhác trong cuốn sách nên nếu muốn có thể bỏ qua Thật ra, các mặt cong (đối lập với miếngvá) sẽ được sử dụng một cách chính xác chỉ một vài chỗ trong cuốn sách.

4.1 Mặt cong là gì?

Một mặt cong là một tập con của R3 mà mỗi lân cận của mỗi điểm tựa như một mảnh của

R2, chẳng hạn bề mặt của quả địa cầu, mặc dù nó gần như là một mặt cầu, nhưng đối vớimột người đứng trên mặt đất quan sát thì nó dường như là một mặt phẳng Để hiểu một cáchchính xác những nhóm từ ’tựa như’ và ’lân cận’ trước hết chúng ta cần có một vài chuẩn bị.Chúng ta sẽ phát biểu cho Rn với mọi n ≥ 1, mặc dù chỉ cần cho n = 1, 2 hoặc 3.

Trước hết, một tập con U của R n được gọi là mở, nếu với mỗi điểm a trong U, tồn tại một số dương ε sao cho mọi điểm u ∈ R n cách điểm a một khoảng cách bằng ε đều nằm trong U:

a ∈ U và ku − ak < ε ⇒ u ∈ U.

Ví dụ, toàn bộ Rn là một tập mở, cũng như đối với

D r (a) = {u ∈ R n | ku − ak < r}, quả cầu mở tâm a bán kính r > 0 (Nếu n = 1, một quả cầu mở được gọi là một khoảng mở;

nếu n = 2 nó được gọi là một đĩa mở.) Tuy nhiên,

¯

D r (a) = {u ∈ R n | ku − ak ≤ r}

CHƯƠNG 4 MẶT CONG 4.1 MẶT CONG LÀ GÌ?

không mở, vì với số ε nhỏ như thế nào cũng đều có một điểm cách điểm (a1 + r, a2, , a n ) ∈

Nếu f : X → Y liên tục và song ánh, và ánh xạ ngược của nó f −1 : Y → X cũng liên tục, thì

f được gọi là một đồng phôi và X được gọi là đồng phôi với Y

Bây giờ chúng ta đã có thể đi đến khái niệm mặt cong trong R3

Định nghĩa 4.1. Một tập con S của R3 được gọi là một mặt cong nếu với mọi điểm P ∈ S, tồn tại một tập mở U trong R2 và một tập mở W chứa P trong R3 sao cho S ∩ W đồng phôi với U Như vậy mỗi một mặt cong được trang bị bởi các đồng phôi σ : U → S ∩ W , mà chúng ta

sẽ gọi là các miếng vá hoặc các tham số hóa Tập hợp tất cả các miếng vá này được gọi là một

bản đồ của S Mỗi một điểm của S nằm trong ảnh của ít nhất một miếng vá trong bản đồ của

S Lí do cho thuật ngữ này sẽ rõ hơn qua các ví dụ dưới đây.

Ví dụ 4.1. Mỗi mặt phẳng trong R3 là một mặt cong với bản đồ là một miếng vá Thật vậy, giả

sử a là một điểm nào đó trên mặt phẳng, p và q là hai véctơ vuông góc với nhau, có độ dài đơn

vị và song song với mặt phẳng đã cho Khi đó mỗi véctơ song song với mặt phẳng là một tổ

hợp tuyến tính của p và q, có dạng up + vq với các vô hướng u và v Với r là một điểm bất kỳ trên mặt phẳng, thì véctơ r − a song song với mặt phẳng, do đó

r − a = up + vq,

∴ r = a + up + vq, với các vô hướng u và v nào đó Như vậy có thể xét mảnh vá là

σ(u, v) = a + up + vq,

và ánh xạ ngược của nó là

σ −1 (r) = ((r − a).p, (r − a).q).

Từ các công thức trên có thể thấy ngay rằng σ và σ −1 là các ánh xạ liên tục, do đó σ là một

đồng phôi (Chúng ta sẽ không kiểm tra chi tiết điều này.)

Trong ví dụ tiếp theo chúng ta sẽ thấy vì sao cần phải xét đến mặt cong, mà không phải chỉ

là các miếng vá

Ví dụ 4.2 Xét mặt cầu đơn vị

S2 = {(x, y, z) ∈ R3 | x2+ y2+ z2 = 1}

4.1 MẶT CONG LÀ GÌ? CHƯƠNG 4 MẶT CONG

là một mặt cong Tham số hiển nhiên nhất là thông qua vĩ độ θ và kinh độ ϕ:

σ(θ, ϕ) = (cos θ cos ϕ, cos θ sin ϕ, sin θ).

hinhve!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

Nếu không hạn chế (θ, ϕ), thì σ không phải là một song ánh (và do đó nó không phải là một

đồng phôi) Để phủ hết mặt cầu, rõ ràng chọn như sau là đủ

− π

2 ≤ θ ≤

π

2, 0 ≤ ϕ ≤ 2π.

Tuy nhiên, tập hợp các điểm (θ, ϕ) thỏa mãn các bất đẳng thức trên không phải là một tập

con mở của R2, vì vậy nó không thể coi như là một miếng vá Tập mở lớn nhất thỏa mãn cácbất đẳng thức trên là

U = {(θ, ϕ) | − π

2 < θ <

π

2, 0 < ϕ < 2π},

nhưng khi đó ảnh của σ : U → R3 không phải là toàn bộ mặt cầu, mà là phần bù của nửa

đường tròn lớn C bao gồm các điểm trên mặt cầu có tọa độ (x, 0, z) với x ≥ 0 Do đó, σ : U → R3

chỉ phủ lên một ’mảnh’ của mặt cầu Một lần nữa, chúng ta sẽ không kiểm tra chi tiết tại sao

σ là một đồng phôi giữa U và phần giao của mặt cầu với tập mở

W = {(x, y, z) ∈ R3 | x < 0 hoặc y 6= 0}.

Vì vậy để chứng tỏ mặt cầu là một mặt cong, chúng ta cần phải xây dựng thêm ít nhất

một mảnh vá nữa để phủ nốt phần mặt cầu bị σ bỏ qua Ví dụ, xét ˜ σ là mảnh vá nhận được

bằng cách quay σ một góc π quanh trục Oz và sau đó một góc π/2 quanh trục Ox Cụ thể,

CHƯƠNG 4 MẶT CONG 4.1 MẶT CONG LÀ GÌ?

(tập mở U cũng giống như trong trường hợp của σ) Ảnh của ˜ σ là phần bù của nửa đường tròn

lớn ˜C bao gồm các điểm trên mặt cầu có tọa độ (x, y, 0) với x ≤ 0 (xem hình vẽ dưới đây) Rõ

ràng C và ˜ C không giao nhau, vì vậy hợp thành của các ảnh của σ và ˜ σ là toàn bộ mặt cầu.

Chú ý rằng hầu hết các điểm của mặt cầu nằm trên ảnh của cả hai mảnh vá

σ ảnh của nó là đường cong γ = σ ◦ π nằm trọn trong S, đi qua p và q, nhưng không đi qua

đỉnh (Chú ý rằng trong trường hợp tổng quát, γ không trơn mà chỉ liên tục, nhưng điều này

không làm ảnh hưởng đến khẳng định.) Điều này không thể xảy ra (Bạn đọc thành thạo vềtôpô tập điểm có thể đưa ra lập luận chặt chẽ cho khẳng định này.)

hinhve!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

Nếu chúng ta bỏ đi đỉnh thì sẽ nhận được mặt cong S − ∪ S+ Nó có một bản đồ bao gồm hai

miếng vá σ ± : U → R3, với U = R2\ {(0, 0)}, xác định bởi ánh xạ ngược của phép chiếu lên mặt

mở V ⊆ U và ˜ V ⊆ ˜ U tương ứng Đồng phôi hợp thành σ ◦ ˜ σ : ˜ V → V được gọi là ánh xạ chuyển

từ σ đến ˜ σ Nếu kí hiệu ánh xạ này là Φ, ta có

4.2 MẶT TRƠN CHƯƠNG 4 MẶT CONG

4.3 Định nghĩa các miếng vá σ x

± : U → R3cho mặt cầu có bán kính đơn vị từ việc giải phương

trình x2 + y2+ z2 = 1 biến x theo y và z:

σ x ± (u, v) = (± √ 1 − u2− v2, u, v),

xác định trên tập mở U = {(u, v) ∈ R2|u2 + v2 < 1} Tương tự, giải phương trình theo y

và z có thể định nghĩa được tương ứng các miếng vá σ ± y và σ z

mặt trụ trong Bài tập 4.2.)

Hãy tìm một họ đường thẳng thứ hai trên S, và hãy chứng tỏ rằng bất kỳ hai đường

thẳng nào trong cùng một họ thì không cắt nhau, trong khi mỗi đường thẳng thuộc họthứ nhất thì giao với tất cả các đường thẳng thuộc họ thứ hai ngoại trừ một trường hợp

Vì thế người ta gọi S là mặt thước kép.

4.5 Chứng minh rằng mặt cầu đơn vị không thể phủ bằng một miếng vá (Cần kiến thức vềtôpô tập điểm.)

4.2 Mặt trơn

Trong Hình học vi phân chúng ta sẽ dùng các tính toán giải tích để nghiên cứu các mặt (vàcũng như các đối tượng hình học khác) Chẳng hạn Với lý do đó, chúng ta cần xét các mặtvới các cấu trúc bổ sung

Trước hết, với U là một tập con mở của R m , ánh xạ f : U → R n được gọi là trơn nếu mỗi

trong n thành phần của f, là các hàm U → R, có đạo hàm riêng liên tục ở mọi cấp Khi đó các đạo hàm riêng của f được tính mỗi thành phần Ví dụ, nếu m = 2 và n = 3, và

f(u, v) = (f1(u, v), f2(u, v), f3(u, v)),

CHƯƠNG 4 MẶT CONG 4.2 MẶT TRƠN

Bây giờ thì có thể nói đến tính trơn của các miếng vá σ : U → R3 trong bản đồ của S Tuy

nhiên chúng ta cần thêm một điều kiện nữa

Định nghĩa 4.2. Một miếng vá σ : U → R3 được gọi là chính qui nếu nó trơn và các véctơ σ u

và σ v độc lập tuyến tính tại mọi điểm (u, v) ∈ U Một cách tương đương, σ trơn đồng thời tích véctơ σ u × σ v khác véctơ không tại mọi điểm của U.

Cuối cùng chúng ta đi đến định nghĩa của lớp các mặt sẽ được học trong cuốn sách này

Định nghĩa 4.3. Một trơn là một mặt σ mà bản đồ bao gồm các miếng vá chính qui.

Ví dụ 4.4. Mặt phẳng trong Ví dụ4.1là một mặt trơn Do

σ(u, v) = a + up + vq

rõ ràng là trơn và σ u = p, σ v = q độc lập tuyến tính (vì p và q theo cách chọn là các véctơ có

độ dài đơn vị vuông góc với nhau)

Ví dụ 4.5 Mặt cầu có bán kính đơn vị S2 trong Ví dụ 4.2, có σ và ˜ σ trơn Để kiếm tra tính

chính qui, tính

σ θ = (− sin θ cos ϕ, − sin θ sin ϕ, cos θ), σ ϕ = (− cos θ sin ϕ, cos θ cos ϕ, 0),

dẫn đến

σ θ × σ ϕ = (− cos2θ cos ϕ, − cos2θ sin ϕ, − sin θ cos θ)

do đó kσ θ × σ ϕ k = | cos θ| Hơn nữa nếu (θ, ϕ) ∈ U, thì −π/2 < θ < π/2, do đó cos θ 6= 0 Tương

tự, có thể kiểm tra tính chính qui của ˜σ.

Trong Bài tập 4.3 chúng ta cho một họ các miếng vá khác phủ mặt cầu đơn vị S2, và cũng

dễ dàng kiểm tra được tính chính qui của chúng (xem Bài tập 4.7) Cùng với Ví dụ4.5, chúng

ta có hai bản đồ cho S2 bao gồm các miếng vá chính qui, vì thế câu hỏi đặt ra: bản đồ nàochúng ta dùng để nghiên cứu mặt cầu? Câu trả lời là chúng ta có thể dùng mỗi một, hoặc cảhai Với tám miếng vá trong Bài tập 4.3 và cùng với Ví dụ4.5ta có bản đồ thứ ba Trong hầuhết các trường hợp (không phải tất cả, xem Định nghĩa4.5), với mỗi mặt ta có thể dùng thuật

ngữ bản đồ cực đại, đó là bản đồ chứa tất cả các miếng vá chính qui σ : U → S ∩ W , trong

đó U và W , tương ứng, là các tập con mở của R2 và R3 Các miếng vá như vậy được gọi là các

miếng vá chấp nhận được của S Bản đồ cực đại không phụ thuộc vào cách chọn nào.

Hai kết quả dưới đây có vẻ không thú vị ngay, nhưng chúng rất quan trọng cho hệ quả sauđó

Mệnh đề 4.1. Các ánh xạ chuyển của một mặt trơn là trơn.

Chứng minh của khẳng định này sẽ được trình bày trong Tiết 4.7 Kết quả tiếp theo như làđiều khẳng định ngược lại

4.2 MẶT TRƠN CHƯƠNG 4 MẶT CONG

Mệnh đề 4.2. Giả sử U và ˜ U là các tập con mở của R2 và σ : U → R3 là một miếng vá chính qui Giả sử Φ : ˜ U → U là một song ánh trơn với ánh xạ ngược Φ −1 : U → ˜ U cũng trơn Khi đó,

˜

σ = σ ◦ Φ : ˜ U → R3 là một miếng vá chính qui.

Chứng minh. Miếng vá ˜σ là trơn do hợp thành của các ánh xạ trơn là trơn Với tính chính

qui, giả sử (u, v) = Φ(˜ u, ˜ v) Theo qui tắc dây chuyền,

(Thật ra, điều này tương đương với qui tắc dây chuyền cho đạo hàm riêng cấp một của ˜Ψ ◦ Ψ.)

Lấy Ψ = Φ và ˜Ψ = Φ−1 , ta có J(Φ −1 ) = J(Φ) −1 Đặc biệt, J(Φ) khả nghịch, vì vậy định thức của

nó khác không và từ Pt (4.1) suy ra ˜σ chính qui.

Nếu các miếng vá chính qui σ và ˜ σ như trong mệnh đề trên, chúng ta nói ˜ σ là một tham số hóa lại của σ, còn Φ là ánh xạ chuyển Chú ý rằng σ khi đó cũng là một tham số hóa lại của

˜

σ, vì σ = ˜ σ ◦ Φ −1

Cũng chú ý rằng, nếu σ : U → S ∩ W và ˜ σ : ˜ U → S ∩ ˜ W là hai miếng vá chấp nhận được của

một mặt trơn S, và nếu V ⊆ U và ˜ V ⊆ ˜ U là các tập con mở sao cho σ(V ) = ˜ σ( ˜ V ) = S ∩ W ∩ ˜ W ,

thì Φ = σ −1 ◦ ˜ σ : ˜ V → V là song ánh, trơn và có ánh xạ ngược cũng trơn do Mệnh đề 4.1 Vìvậy, ˜σ là một tham số hóa lại của σ tại những nơi mà cả hai đều xác định.

Nhận xét này dẫn đến một nguyên lí rất cơ bản mà chúng ta sẽ sử dụng trong suốt cuốn

sách Đó là, chúng ta có thể định nghĩa một tính chất của bất kỳ mặt cho trước nào nếu chúng

ta có thể định nghĩa nó cho mỗi miếng vá chính qui với điều kiện nó không thay đổi khi miếng

vá được tham số hóa lại.

Để minh họa nguyên lí này, chúng ta định nghĩa cái gọi là ánh xạ trơn f : S1 → S2, trong đó

S1 và S2 là các mặt trơn Theo nguyên lí chung của chúng ta, có thể giả sử S1 và S2 được phủ

bởi chỉ mỗi một miếng vá σ1 : U1 → R3 và σ2 : U2 → R3, và định nghĩa này phải không bị ảnh

hưởng bởi tham số hóa lại của σ1 và σ2 Do σ1 và σ2 là các song ánh, mỗi ánh xạ f : S1 → S2

cho ta ánh xạ σ −1

2 ◦ f ◦ σ1 : U1 → U2, và chúng ta nói rằng f trơn nếu ánh xạ này trơn (chúng ta

đã có khái niệm trơn của một ánh xạ giữa các tập con mở của R2) Bây giờ giả sử ˜σ1 : ˜U1 → R3

và ˜σ2 : ˜U2 → R3 là các tham số hóa lại của σ1 và σ2, với Φ1 : ˜U1 → U1 và Φ2 : ˜U2 → U2 tươngứng là các ánh xạ tham số hóa lại Chúng ta phải chứng tỏ rằng ánh xạ tương ứng ˜σ −1

CHƯƠNG 4 MẶT CONG 4.2 MẶT TRƠN

và Φ1, Φ−1

2 là các ánh xạ trơn (giữa các tập con mở của R2) Phần kiểm tra hợp thành của cácánh xạ trơn giữa các mặt là ánh xạ trơn dành lại cho bạn đọc

Chúng ta sẽ đặc biệt quan tâm đến những ánh xạ trơn f : S1 → S2 mà là song ánh và ánh

xạ ngược f −1 : S2 → S1 là trơn Những ánh xạ như vậy được gọi là các vi phôi, và nếu có một

vi phôi như vậy thì S1 và S2 được gọi là vi phôi với nhau Sau đây là một tính chất cần thiết:

Mệnh đề 4.3. Giả sử f : S1 → S2 là một vi phôi Nếu σ1 là một mảnh vá chấp nhận được trên

S1 thì f ◦ σ1 là một mảnh vá chấp nhận được trên σ2.

Chứng minh Chúng ta có thể giả sử S1 và S2 được phủ tương ứng bởi mảnh vá σ1 : U1 → R3

và σ2 : U2 → R3 Do f là một vi phôi, f (σ1(u, v)) = σ2(F (u, v)), trong đó F : U1 → U2 là một

song ánh, trơn và F −1 cũng trơn Từ Mệnh đề4.2ta có ngay kết quả

Ví dụ 4.6. Chúng ta xét ánh xạ quấn mặt phẳng lên mặt trụ tròn xoay có bán kính 1 và trục

Oz, xét tham số hóa σ2 : U → R3 cho bởi

σ2(u, v) = (cos u, sin u, v), U = {(u, v) ∈ R2|0 < u < 2π}.

Nếu chúng ta quấn toàn bộ mặt phẳng lên mặt trụ thì ánh xạ này không phải là một songánh, do mặt phẳng phải quấn quanh vô hạn lần Vì vậy chúng ta xét dải dài vô hạn trong mặt

phẳng Oyz với độ rộng 2π, có tham số hóa σ1 : U → R3 được cho bởi

σ1(u, v) = (0, u, v).

Ta quấn dải này quanh mặt trụ sao cho đường thẳng z = v song song với trục Oz như được quấn ’theo eo’ của mặt trụ tại độ cao v so với mặt Oxy Do chiều rộng của dải bằng chu vi của mặt trụ, mỗi điểm trên dải sẽ tương ứng một điểm trên mặt trụ với góc cực u Như vậy, ánh xạ quấn này biến điểm (0, u, v) của dải thành điểm (cos u, sin u, v) của mặt trụ, tức là với kí hiệu

thể cho c = 0 bằng cách thay f bởi f − c, chẳng hạn đối với mặt cầu đơn vị S thì mặt mức

là x2 + y2 + z2 = 1 Trong các ví dụ này, chúng ta có thể xây dựng các bản đồ một cách kháđặc biệt Kết quả mà chúng ta sẽ bàn dưới đây cho ta điều kiện đủ để một mặt mức là trơn

!!!!!!!!!!!!!!

Định lý 4.1. Giả sử cS là một tập con của R3 có tính chất sau: Mỗi một điểm P ∈ S, tồn tại một tập con mở W của R3 chứa P và một hàm trơn f : W → R sao cho

(i) S ∩ W = {(x, y, z) ∈ W |f (x, y, z) = 0};

4.2 MẶT TRƠN CHƯƠNG 4 MẶT CONG

(ii) Các đạo hàm riêng f x , f y và f z không cùng triệt tiêu tại P

Khi đó, S là một mặt trơn.

Chứng minh sẽ được trình bày trong Tiết 4.7

Ví dụ 4.7 Với mặt cầu đơn vị S2, ta lấy W = R3 và f (x, y, z) = x2 + y2 + z2 − 1 Khi đó,

(f x , f y , f z ) = (2x, 2y, 2z), vì vậy k(f x , f y , f z )k = 2 tại mọi điểm của S2 Suy ra (f x , f y , f z) khác

không mọi nơi trên S2 Từ định lý trên ta có S2 là một mặt trơn

Ví dụ 4.8 Với mặt nón 2 phía ở Ví dụ 4.3, f (x, y, z) = x2 + y2 − z2 Khi đó, (f x , f y , f z) =

(2x, 2y, −2z), nó triệt tiêu tại đỉnh (0, 0, 0) Bỏ đi đỉnh ta có được mặt trơn, như đã thấy là một

mặt trơn

Trong phần còn lại của cuốn sách, mặt cong được hiểu là

mặt cong trơn, và mảnh vá được hiểu là mảnh vá trơn chính qui (hoặc một cách tương đương là mảnh vá chấp nhận được).

Nếu không nhấn mạnh gì thì tất cả các mặt cong đều giả thiết là liên thông, tức là bất kì

hai điểm nào của S đều tìm được một đường cong đi qua chúng và nằm trọn trong S Điều giả

thiết này không phải là quá nghiêm ngặt, bởi vì không khó khăn lắm có thể chứng minh đượcrằng mỗi mặt cong là một hợp rời của các mặt cong liên thông, khi đó có thể nghiên cứu riêng

lẻ từng thành phần liên thông một Tất cả các mặt ở trong các ví dụ nói trên đều là các mặtliên thông ngoại trừ mặt nón hai tầng trong Ví dụ4.3, mặt này là hợp rời của hai nửa nón S ±

khi bỏ đỉnh của nó đi (để trở thành mặt cong)

BÀI TẬP

4.6 Chứng minh rằng, nếu f (x, y) là một hàm trơn, thì đồ thị của nó

{(x, y, z) ∈ R3 | z = f (x, y)}

là một mặt trơn với bản đồ gồm một mảnh vá chính qui

σ(u, v) = (u, v, f (u, v)).

4.7 Kiểm tra sáu mảnh vá của mặt cầu đơn vị ở Ví dụ 4.3 đều chính qui Tính các ánh xạchuyển giữa chúng và chứng tỏ rằng các ánh xạ này đều trơn

4.8 Chứng minh rằng

σ(r, θ) = (r cosh θ, r sinh θ, r2)

là một tham số của hyperbolic paraboloid z = x2 − y2 ở phần z > 0 (Hình vẽ của một

hyperbolic paraboloid có thể tìm thấy trong Mệnh đề 4.6.) Sử dụng Bài tập 4.6 để tìmmột tham số hóa khác ˜σ cho mảnh vá nói trên, chứng tỏ rằng ˜ σ là một tham số hóa lại

của σ Tương tự tìm hai tham số hóa cho phần z < 0 của hyperbolic paraboloid.

(Hình vẽ của một ellipsoid có thể tìm thấy trong Mệnh đề4.6.)

CHƯƠNG 4 MẶT CONG 4.3 MẶT TIẾP XÚC, PHÁP TUYẾN VÀ TÍNH ĐỊNH HƯỚNG

4.10 Một mặt xuyến thu được từ phép quay đường tròn C nằm trong mặt phẳng Π xung quanh một đường thẳng L (không cắt C) nằm trong Π Chọn Π là mặt phẳng Oxz, L là trục Oz,

a > 0 là khoảng cách từ tâm của C đến L, và b < a là bán kính của C Chứng minh rằng

mặt xuyến là một mặt trơn, bằng hai cách sau:

(i) Thông qua bản đồ gồm các mảnh vá

σ(θ, ϕ) = ((a + b cos θ) cos ϕ, (a + b cos θ) sin ϕ, b sin θ),

với (θ, ϕ) trong các khoảng mở thích hợp của R2

(ii) Thông qua việc xem nó như là mặt mức xác định bởi

(x2 + y2+ z2+ a2− b2)2 = 4a2(x2+ y2).

!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

4.11 Với S là một mặt trơn, ta định nghĩa khái niệm hàm trơn S → R Chứng minh rằng, nếu

S là một mặt trơn, mỗi ánh xạ thành phần của ánh xạ nhúng S → R3 là một hàm trơn

S → R.

4.12 Chứng minh rằng phép tịnh tiến và phép biến đổi tuyến tính khả nghịch trong R3 biếncác mặt trơn thành các mặt trơn

4.3 Mặt tiếp xúc, pháp tuyến và tính định hướng

Một cách tự nhiên khi nghiên cứu một mặt cong S là tìm hiểu qua các đường cong (trơn) γ nằm trên S Nếu γ : (α, β) → R3 nằm trong ảnh của mảnh vá σ : U → R3 trong bản đồ của S, thì tồn tại một ánh xạ (α, β) → U, biến t → (u(t), v(t)), sao cho

γ(t) = σ(u(t), v(t)). (4.2)

Trong đó u và v cần thiết phải là các hàm trơn (xem Bài tập 4.30) Ngược lại, nếu t → (u(t), v(t))

là trơn, thì Pt (4.2) xác định một đường cong nằm trên S Tổng quát, nếu γ là một đường cong trên S và giả sử γ(t0) là một điểm nào đó của γ nằm trên mảnh vá σ của cS, thì Pt (4.2) cũng

đúng với mọi t thuộc một tập mở nào đó chứa t0 Vì vậy chúng ta có thể hạn chế về trường hợpđường cong có dạng (4.2)

Định nghĩa 4.4. Không gian tiếp xúc tại một điểm P của mặt cS là tập hợp tất cả các véctơ

tiếp tuyến tại P của tất cả các đường cong trên cS đi qua P

Mệnh đề 4.4. Giả sử σ : U → R3là một mảnh vá của mặt S chứa một điểm P của S, và giả sử

(u, v) là hệ tọa độ trong U Khi đó, không gian tiếp xúc với S tại P là không gian véctơ con của

R3 sinh bởi các véctơ σ u và σ v (các đạo ánh xác định tại điểm (u0, v0) ∈ U mà σ(u0, v0) = P ) Chứng minh Giả sử γ là một đường cong trơn trên S, chẳng hạn được cho bởi

γ(t) = σ(u(t), v(t)).

Kí hiệu d/dt bởi dấu chấm trên Theo luật hợp thành, ta có

˙γ = σ u ˙u + σ v ˙v.

4.3 MẶT TIẾP XÚC, PHÁP TUYẾN VÀ TÍNH ĐỊNH HƯỚNG CHƯƠNG 4 MẶT CONG

Do đó ˙γ là một tổ hợp tuyến tính của σ u và σ v

Ngược lại, mỗi véctơ nằm trong không gian véctơ con của R3 sinh bởi σ u và σ v đều có dạng

ξσ u + ησ v , với ξ và η là các vô hướng Định nghĩa

Do σ u và σ v độc lập tuyến tính, nên không gian tiếp xúc có chiều bằng 2, và vì vậy từ đây

về sau ta sẽ gọi là mặt tiếp xúc Chú ý rằng Định nghĩa4.4 cho ta thấy mặt tiếp xúc không

phụ thuộc vào việc chọn mảnh vá chứa P , cho dù điều này không thật sự hiển nhiên từ Mệnh

đề4.4(xem Bài tập 4.15)

Do mặt tiếp xúc tại P ∈ S đi qua gốc tọa độ của R3, vì vậy nó hoàn toàn xác định bởi một

véctơ có độ dài đơn vị vuông góc với nó, được gọi là véctơ pháp tuyến của S tại P Dĩ nhiên là

có hai véctơ như vậy, nhưng do Mệnh đề 4.4, nếu ta đã chọn mảnh vá σ : U → R3 thì có thểxác định véctơ pháp tuyến bởi

Nσ = σ u × σ v

(trong đó các đạo ánh xác định được tại điểm trên U tương ứng với P ), rõ ràng véctơ này có độ dài đơn vị và vuông góc với mọi tổ hợp tuyến tính của σ u và σ v Ta gọi nó là véctơ pháp tuyến

chuẩn tắc của mảnh vá σ tại P Tuy nhiên, không giống như mặt tiếp xúc, N σ không phải là

không độc lập vào việc chọn mảnh vá σ chứa P Thật vậy, nếu σ : U → R3 là một mảnh vá

khác chứa P trong bản đồ của S, như trong chứng minh của Mệnh đề4.2thì

ở đây dấu là dấu của định thức của J(Φ) Điều này dẫn đến định nghĩa sau đây.

Định nghĩa 4.5. Một mặt định hướng được là một mặt với bản đồ có tính chất như sau: Với mỗi ánh xạ chuyển Φ giữa hai mảnh vá trong bản đồ, thì det(J(Φ)) > 0 tại những nơi mà Φ

xác định

Lập luận ở phần trên cho chúng ta khẳng định sau đây

Mệnh đề 4.5. Mỗi mặt định hướng được có một cách xác định véctơ pháp tuyến chuẩn tắc tại mỗi điểm, bằng cách lấy các véctơ pháp tuyến chuẩn tắc tại mỗi mảnh vá trong bản đồ của S.

Ngoài ra, điều ngược lại cũng đúng: Nếu một mặt S có pháp tuyến chuẩn N xác định tại mọi điểm P ∈ S và nó phụ thuộc liên tục tại P , thì S định hướng được Rõ hơn, xét bản đồ cực đại của S, giữ lại mảnh vá σ(u, v) nếu σ u × σ v bằng một bội dương của N, nếu ngược lại thì bỏmảnh vá này đi Các mảnh vá còn lại lập thành một bản đồ thỏa mãn điều kiện trong Mệnh

CHƯƠNG 4 MẶT CONG 4.3 MẶT TIẾP XÚC, PHÁP TUYẾN VÀ TÍNH ĐỊNH HƯỚNG

đề4.5 Chi tiết chứng minh dành lại cho người đọc (lập luận tương tự như trong ví dụ tiếp sauđây)

Hầu hết các mặt mà chúng ta sẽ xét đến là định hướng được (xem Bài tập 4.16) Dưới đây

là ví dụ một mặt không định hướng được

Ví dụ 4.9 Lá M¨obius là mặt thu được bằng cách quay một đoạn thẳng L xung quanh trung

điểm P đồng thời P chạy trên một đường tròn C, cụ thể khi P quay một vòng quanh C thì L quay nửa vòng quanh P Nếu ta lấy C là đường tròn x2+ y2 = 1 trong mặt phẳng Oxy, và L là đoạn thẳng có độ dài đơn vị tại thời điểm song song với trục Oz với trung điểm P = (1, 0, 0) Khi P quay một góc θ quanh trục Oz, L phải quay góc θ/2 quanh P trong mặt phẳng chứa P

và trục Oz Do đó điểm (1, 0, t) của L lúc ban đầu sẽ biến thành điểm

Chúng ta có thể lấy mảnh vá thứ hai ˜σ có công thức như của σ nhưng với miền xác định là

U = {(t, θ) ∈ R2| − 1/2 < t < 1/2, −π < θ < π} Có thể kiểm tra được rằng hai mảnh vá này lập

thành một bản đồ cho lá M¨obius, chúng là các mảnh vá chính qui, vì vậy lá M¨obius nằm tựa

trên một mặt trơn S.

!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

Chúng ta tính véctơ pháp tuyến chuẩn Nσ tại các điểm nằm trên đường tròn ở giữa (tại

t = 0) Tại những điểm như vậy, ta có

Véctơ này có độ dài đơn vị, vì vậy nó chính là Nσ

Nếu lá M¨obius định hướng được thì véctơ pháp tuyến chuẩn N xác định tại mọi điểm của S

và nó chuyển động trơn trên S Tại mỗi điểm σ(0, θ) nằm trên đường tròn giữa, ta phải có

N = λ(θ)N σ ,

trong đó λ : (0, 2π) → R là ánh xạ trơn và λ(θ) = ±1 với mọi θ Do đó, hoặc λ(θ) = 1 với mọi

θ ∈ (0, 2π), hoặc λ(θ) = −1 với mọi θ ∈ (0, 2π) Thay N bởi −N nếu cần thiết, ta có thể giả thiết

λ = 1 Tại điểm σ(0, 0) = σ(0, 2π), ta phải có (do tính trơn của N)

4.4 CÁC VÍ DỤ VỀ MẶT CHƯƠNG 4 MẶT CONG

4.13 Tìm phương trình của mặt tiếp xúc của mảnh vá dưới đây tại điểm tương ứng:

(i) σ(u, v) = (u, v, u2− v2), (1, 1, 0);

(ii) σ(r, θ) = (r cosh θ, r sinh θ), (1, 0, 1).

4.14 Mặt đinh ốc là mặt quét bởi một cánh quạt máy bay, khi cả máy bay và cánh quạt của nó

chuyển động đều (Hình vẽ của một mặt đinh ốc có thể xem trong Ví dụ 9.3.) Nếu máy

bay bay dọc theo trục Oz, chứng minh rằng mặt đinh ốc có thể tham số bởi

σ(u, v) = (v cos u, v sin u, λu),

với λ là một hằng số Chứng minh rằng cotang của góc tạo bởi véctơ pháp tuyến chuẩn của σ tại P và trục Oz tỉ lệ với khoảng cách từ P đến trục.

4.15 Giả sử σ(u, v) là một mảnh vá Chứng minh rằng tập hợp các tổ hợp tuyến tính của σ u

và σ v là không đổi khi σ được tham số hóa lại.

4.16 Xét mặt S định nghĩa bởi f (x, y, z) = 0, trong đó f là một hàm trơn sao cho f x , f y và f z không đồng thời triệt tiêu tại bất kì điểm nào của S Chứng minh rằng véctơ

với mọi đường cong γ trong S với γ(0) = P Từ đó chứng tỏ ∇ S F = 0 nếu F có một cực

đại địa phương hoặc một cực tiểu địa phương tại P

Chứng minh rằng, nếu S là mặt trong Bài tập 4.16, thì ∇ S F là hình chiếu vuông góc của

∇F lên mặt tiếp xúc với S, và chứng tỏ rằng, nếu F có một cực đại địa phương hoặc một

cực tiểu địa phương tại P , thì ∇F = λ∇f với hằng số λ nào đó (Đây được gọi là Phương

pháp nhân tử bất định của Lagrange.)

tiến, thì điểm thu được bởi tịnh tiến điểm γ(u) của γ theo véctơ va song song với a là

σ(u, v) = γ(u) + va.

CHƯƠNG 4 MẶT CONG 4.4 CÁC VÍ DỤ VỀ MẶT

Khi đó, với σ : U → R3, trong đó U = {(u, v) ∈ R2|α < u < β}, thì rõ ràng σ trơn Do

σ(u, v) = σ(u 0 , v 0 ) ⇔ γ(u) − γ(u 0 ) = (v 0 − v)a,

với σ là một mảnh vá (do đó, là một đơn ánh), vì vậy mỗi đường thẳng song song với a cắt γ không quá một điểm Cuối cùng, vì σ u = ˙γ, σ v = a (dấu chấm trên kí hiệu thay cho d/du), suy

ra σ là chính qui khi và chỉ khi véctơ tiếp xúc của γ không bao giờ song song với a.

!!!!!!!!!!!!!!!!!!!hinh ve

Biểu diễn tham số nói trên là đơn giản nhất khi γ nằm trên mặt phẳng vuông góc với a Thật vậy, điều này luôn luôn có thể đạt được bằng cách thay γ bởi hình chiếu của nó lên mặt phẳng như thế (xem Bài tập 4.22) Điều kiện chính qui rõ ràng được thỏa mãn do ˙γ luôn khác không, tức là do γ là chính qui Chúng ta có thể lấy mặt phẳng này là Oxy và a = (0, 0, 1) song song với trục Oz Khi đó, γ(u) = (f (u), g(u), 0) với các hàm trơn f và g nào đó, như vậy tham

số hóa trở thành

σ(u, v) = (f (u), g(u), v).

Như một ví dụ, bắt đầu với đường tròn, ta sẽ có mặt trụ (tròn) Lấy đường tròn có tâm là gốc

tọa độ, bán kính bằng 1 và nằm trên mặt phẳng Oxy, nó có thể tham số như sau

γ(u) = (cos u, sin u, 0),

với miền xác định chẳng hạn 0 < u < 2π và −π < u < π Từ đó có một bản đồ gồm hai mảnh

vá cho mặt trụ như sau

σ(u) = (cos u, sin u, v),

σ(u, v) = σ(u 0 , v 0 ) ⇔ vγ(u) − v 0 γ(u 0 ) + (v 0 − v)p = 0,

tức là các điểm p, γ(u) và γ(u 0 ) không thẳng hàng Vậy, với σ là một mảnh vá, mỗi đường thẳng qua p không đi qua quá một điểm của γ (đặc biệt, γ không đi qua p) Cuối cùng, ta có

σ u = v ˙γ, σ v = γ − p (với d/du được kí hiệu bởi dấu chấm trên), để σ chính qui thì v 6= 0, tức

là đỉnh của mặt nón cần bỏ đi (xem Bài tập 4.3), và trong số các đường thẳng tạo ra mặt nón

không có đường nào tiếp xúc với γ.

!!!!!!!!!!!!!!!!!!! hinh ve

Biểu diễn tham số nói trên là đơn giản nhất khi γ nằm trên một mặt phẳng Nếu mặt

phẳng này chứa điểm p thì mặt nón đơn giản là thành phần của mặt phẳng Ngược lại, có thể

lấy p là gốc tọa độ và mặt phẳng là z = 1 Khi đó, γ(u) = (f (u), g(u), 1) với các hàm trơn f và g

nào đó, và tham số hóa có dạng

σ(u, v) = v(f (u), g(u), 1).

Các Ví dụ4.10và 4.11là những trường hợp đặc biệt của lớp mặt trong ví dụ tiếp sau đây

4.4 CÁC VÍ DỤ VỀ MẶT CHƯƠNG 4 MẶT CONG

Ví dụ 4.12 Một mặt kẻ là mặt hợp thành bởi các đường thẳng, chúng được gọi là các đường

kẻ của mặt Giả sử C là đường cong trong R3 giao với tất cả các đường kẻ Mỗi điểm P của mặt nằm trên một trong các đường kẻ, đường này giao với C tại điểm kí hiệu là Q Giả sử γ là tham

số hóa của C với γ(u) = Q, và nếu δ(u) là một véctơ khác không có hướng trùng với đường kẻ qua γ(u), khi đó P có tọa độ

σ(u, v) = γ(u) + vδ(u),

với v là một vô hướng nào đó.

tiếp xúc với đường kẻ nào

Ví dụ 4.13 Một mặt tròn xoay là mặt tạo bởi khi quay một đường cong phẳng, được gọi là

đường sinh, xung quanh một đường thẳng nằm trong mặt phẳng (chứa đường cong) Các

đường tròn tạo bởi bằng phép quay một điểm nằm trên đường sinh quanh trục quay được gọi

là các đường vĩ tuyến của mặt, các đường nằm trên mặt tạo bởi khi quay đường sinh một góc nào đó được gọi là các đường kinh tuyến của nó (Cách đặt tên này cũng giống như trong địa

lý, nếu chúng ta coi quả đất như là mặt tạo bởi phép quay một đường tròn lớn đi qua các cực

quanh trục cực, lấy u và v tương ứng là vĩ độ và kinh độ.)

Ta chọn Oz là trục quay và Oxz là mặt phẳng chứa đường sinh Mỗi điểm P của mặt đều thu được bằng cách quay điểm Q nào đó trên đường sinh với một góc v (chẳng hạn) quanh xung quanh trục Oz Nếu

γ(u) = (f (u), 0, g(u))

là tham số hóa của đường sinh chứa Q, khi đó P có tọa độ

σ(u, v) = (f (u) cos v, f (u) sin v, g(u)).

!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! hinh ve

Để kiểm tra tính chính qui, ta tính (với dấu chấm trên là kí hiệu thay cho d/du):

σ u = ( ˙f cos v, ˙ f sin v, ˙g), σ v = (−f sin v, f cos v, 0),

∴ σ u × σ v = (f ˙g cos v, −f ˙g sin v, f ˙ f ),

∴ kσ u × σ v k2 = f2( ˙f2+ ˙g2).

Như vậy, σ u × σ v sẽ không triệt tiêu nếu f (u) luôn khác không, tức là nếu γ không cắt trục

Oz, và nếu ˙ f và ˙g không đồng thời bằng không, tức là γ nếu γ là chính qui Trong trường hợp

này chúng ta cũng có thể giả sử f (u) > 0, để f (u) là khoảng cách từ σ(u, v) đến trục quay Khi

đó, σ đơn ánh đòi hỏi γ không tự cắt và góc v của phép quay thuộc một khoảng có độ rộng

≤ 2π Với những điều kiện này, các mảnh vá có dạng σ lập nên cấu trúc mặt trơn cho mặt tròn

xoay

BÀI TẬP

CHƯƠNG 4 MẶT CONG 4.5 CÁC MẶT BẬC HAI

4.18 Mặt tròn xoay thu được bởi quay đường cong x = cosh z trong mặt phẳng Oxz quanh trục Oz được gọi là mặt catenoid Hãy mô tả một bản đồ cho mặt này (Hình vẽ cho mặt

catenoid có thể xem trong Tiết 9.2.)

4.19 Chứng minh rằng

σ(u, v) = (sech u cos v, sech u sin v, tanh u)

là một mảnh vá chính qui của mặt cầu đơn vị (nó được gọi là phép chiếu Mercator) Chứng minh rằng các kinh tuyến và vĩ tuyến trên mặt cầu tương ứng qua σ với các đường thẳng

vuông góc trong mặt phẳng

4.20 Một loxodrome là một đường cong trên mặt cầu đơn vị giao với các vĩ tuyến với cùng một góc α Chứng minh rằng với mặt Mercator σ (xem trong Bài tập 4.19), có một loxodrome

vận tốc đơn vị thỏa mãn

˙u = cos α cosh u, ˙v = ± sin α cosh u

(dấu chấm trên kí hiệu cho phép lấy đạo hàm đối với biến là tham số của loxodrome)

Chứng tỏ rằng loxodrome tương ứng qua σ với các đường thẳng trong mặt phẳng Ouv.

4.21 Một mặt conoid đứng là một mặt kẻ với các đường kẻ song song với một mặt phẳng Π và cắt một đường thẳng L vuông góc với Π Nếu Π là mặt Oxy và L là trục Oz, chứng minh

rằng

σ(u, v) = (v cos θ(u), v sin θ(u), u)

là một mảnh vá chính qui cho mặt conoid, trong đó θ(u) là góc giữa đường kẻ đi qua (0, 0, u) và trục Oz (θ(u) được cho là một hàm trơn theo u) Với θ(u) = u ta có mặt đinh ốc

(Bài tập 4.14)

!!!!!!!!!!!!!!! hinh ve

4.22 Chứng minh rằng, nếu σ(u, v) là mặt trụ (tổng quát) như trong Ví dụ4.10thì:

(i) Đường cong ˜γ(u) = γ(u) − (γ(u).a)a nằm trong một mặt phẳng vuông góc với a;

(ii) σ(u, v) = ˜ γ(u) + ˜ va, trong đó ˜ v = v + γ(u).a;

(iii) σ(u, ˜˜ v) = ˜ γ(u) + ˜ va là một tham số hóa lại của σ(u, v).

4.5 Các mặt bậc hai

Mặt phẳng, trong hệ tọa độ Descarte được cho bởi một phương trình tuyến tính theo x, y và

z, là mặt đơn giản nhất Theo cách hiểu này thì các mặt đơn giản nhất tiếp sau đó là các mặt

cho bởi phương trình bậc hai theo x, y và z Ta đi đến định nghĩa sau.

Định nghĩa 4.6. Một mặt bậc hai là một tập con của R3 xác định bởi một phương trình códạng

(rA).r + b.r + c = 0, trong đó r = (x, y, z), A là một ma trận thực đối xứng cấp ba, b ∈ R3 là một véctơ hằng, và c là

một số thực

4.5 CÁC MẶT BẬC HAI CHƯƠNG 4 MẶT CONG

Một mặt bậc hai không nhất thiết là một mặt Chẳng hạn, mặt bậc hai cho bởi x2+ y2+ z2 = 0

là một điểm, cho bởi x2+ y2 = 0 là một đường thẳng Và thú vị hơn, với xy = 0 ta có hai mặt

phẳng cắt nhau, cũng không phải là một mặt (Một cách trực quan, nó có một "góc" dọc theođường thẳng giao của hai mặt phẳng này.) Kết quả dưới đây cho ta thấy rằng khi xét một mặtbậc hai có thể đưa về phương trình đơn giản

Mệnh đề 4.6. Bằng một phép dời hình trong R3, mỗi mặt bậc hai khác rỗng cho bởi 4.4 , trong

đó các hệ số không đồng thời bằng không, có thể đưa về một trong các dạng sau:

p2 − y q22 = z (vi) mặt nón bậc hai: x2

(xi) cặp mặt phẳng song song: x2 = p2

CHƯƠNG 4 MẶT CONG 4.5 CÁC MẶT BẬC HAI

Chứng minh Chứng minh dựa vào một lập luận như sau Nếu A là một ma trận thực đối xứng, thì luôn tồn tại một ma trận P mà P t P = I và det(P ) = 1 sao cho A 0 = P t AP là một ma

trận đường chéo (P t là ma trận chuyển vị của A) Các phần tử nằm trên đường chéo của A 0 là

các giá trị riêng của A, các véctơ hàng của P là các véctơ riêng tương ứng.

Với ma trận A như trong Định nghĩa4.6, định nghĩa r0 = (x 0 , y 0 , z 0), b0 = (b 0

a1x 02 + a2y2+ a3z2+ b2y + b3z + c 0 = 0, trong đó c 0 là một hằng số Nói cách khác, nếu a1 6= 0, chúng ta có thể giả sử b1 = 0, và có thể

xét tương tự đối với a2 và a3

Nếu a1, a2 và a3 trong Pt (4.5) đều khác không, thì ta có thể đưa về

a1x2+ a2y2+ a3z2+ c = 0.

Nếu c 6= 0, ta có các trường hợp (i), (ii) và (iii), phụ thuộc vào dấu của a1, a2, a3 và c, và nếu

c = 0 ta có các trường hợp (vi) và (xiv).

Nếu trong ba số a1, a2 và a3có duy nhất một số bằng không, chẳng hạn a3 = 0, phương trìnhtrở thành

4.5 CÁC MẶT BẬC HAI CHƯƠNG 4 MẶT CONG

4.23 Hãy viết các tham số hóa cho mỗi mặt bậc hai trong các trường hợp (i)-(xi) của Mệnh đề

4.6(đối với trường hợp (vi) ta cần bỏ đi gốc tọa độ)

4.24 Mặt bậc hai nào là

(a) mặt trụ tổng quát;