!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
Các vô hướngκn và κg tương ứng được gọi làđộ cong chuẩn tắcvà độ cong trắc địa. DoN vàN×γ˙ là các véctơ đơn vị vuông góc với nhau, từ Pt. (6.5) suy ra
κn = ¨γ.N, κg = ¨γ.N×γ˙ và
k¨γk=κ2n+κ2g. Do đó, độ congκ=kγk¨ củaγ được xác định bởi
κ2 =κ2n+κ2g. (6.6)
Hơn nữa, nếun là pháp tuyến chuẩn củaγ sao choγ¨ =κn, thì
κn =κn.N=κcosψ, (6.7)
trong đóψ là góc giữa N. Do đó, từ Pt. (6.6) ta có
κg =±κsinψ. (6.8)
Rõ ràng từ định nghĩa ta có κn và κg cùng giữ nguyên dấu hoặc cùng thay dấu khi σ được tham số hóa lại.
Nếuγchính qui, nhưng không nhất thiết có vận tốc đơn vị, chúng ta định nghĩa các độ cong trắc địa và chuẩn của γ thông qua tham số hóa lại có vận tốc đơn vị của nó. Khi một tham số có vận tốc đơn vị biến thành ±t+c, vớiclà một hằng số, rõ ràng κn 7→ κn vàκg 7→ ±κg, vì vậyκnđịnh nghĩa tốt cho mọi đường cong chính qui, trong khi đóκg định nghĩa tốt nhưng sai khác dấu. Các phương trình (6.7) và (6.8) còn đúng cho các trường hợp tổng quát hơn.
Một trường hợp đặc biệt nhưng quan trọng là khiγ là mộtlát cắt chuẩn tắccủa mặt cong, tức là khiγlà giao của mặt cong với mặt phẳngΠ(mặt phẳng vuông góc với mặt tiếp xúc của mặt cong tại mọi điểm củaγ).
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
Doγnằm trênΠ, pháp tuyến chuẩnnsong song với Π, và doΠvuông góc với mặt phẳng tiếp xúc, suy raNsong song vớiΠ. Do cả hai véctơn vàNđều vuông góc vớiγ, và do˙ γ song song với Π, suy ra n và N phải song song với nhau, tức là ψ bằng 0 hoặc bằng π. Từ hai phương trình6.7) và (6.8), ta có
κn =±κ, κg = 0 đối với lát cắt chuẩn tắc.
Chúng ta sẽ nghiên cứu độ cong chuẩn tắc κn cụ thể hơn trong tiết sau, còn độ cong trắc địaκg sẽ được học trong Chương 8.
BÀI TẬP
6.5. Tính độ cong chuẩn tắc của đường trònγ(t) = (cost,sint,1)nằm trên paraboloid elliptic σ(u, v) = (u, v, u2+v2)(xem Bài tập 6.1).
6.6. Chứng minh rằng nếu một đường cong nằm trên một mặt có các độ cong chuẩn tắc và trắc địa bằng không khắp nơi thì nó là một phần của đường thẳng.
6.7. Chứng minh rằng độ cong chuẩn tắc của mọi đường cong trên mặt cầu bán kính r đều bằng±1/r.
6.3. ĐỘ CONG CHUẨN TẮC VÀ ĐỘ CONG CHÍNH CHƯƠNG 6. ĐỘ CONG CỦA MẶT
6.8. Tính độ cong trắc địa của mỗi đường tròn trên một mặt cầu (không nhất thiết là đường tròn lớn nhất).
6.9. Xét mặt tròn xoay
σ(u, v) = (f(u) cosv, f(u) sinv, g(u)),
trong đóu 7→ (f(u),0, g(u)) là một đường cong có vận tốc đơn vị trong R3. Tính độ cong trắc địa của
(i) đường kinh tuyếnv =hằng số;
(ii) đường vĩ tuyếnu=hằng số.
6.10. Một đường cong có vận tốc đơn vị γ với độ cong κ > 0 và pháp tuyến chuẩn tắc n tạo thành phần giao của hai mặt cong S1 và S2 với các pháp tuyến chuẩn N1 và N2. Chứng minh rằng, nếuκ1 và κ2 là các độ cong chuẩn tắc của γ khi xét như là đường cong trên S1 vàS2, tương ứng, thì
κ1N2−κ2N1 =κ(N1×N2)×n.
Chứng tỏ rằng nếuα là góc giữa hai mặt này thì
κ2sin2α =κ21 +κ22−2κ1κ2cosα.
6.11. Giả sửγ là một đường cong có vận tốc đơn vị trên một mảnh váσ với độ congκ >0. Giả sửψ là góc giữaγ¨ vàN, và đặtB =t×N(các kí hiệu thông thường). Chứng minh rằng
N=ncosψ+bsinψ, B =bcosψ−nsinψ.
Chứng tỏ rằng
t˙ =κnN−κgB, N˙ =−κnt+τgB, B˙ =κgt−τgN, trong đóτg =τ+ ˙ψ. (τg được gọi làđộ xoắn trắc địacủaγ; xem Bài tập 8.4.)
6.12. Một đường congγtrên một mặtSđược gọi làtiệm cậnnếu độ cong chuẩn tắc bằng không khắp nơi. Chứng minh rằng mọi đường thẳng nằm trên một mặt đều là đường cong tiệm cận. Chứng tỏ rằng một đường cong với độ cong dương là tiệm cận khi và chỉ khi véctơ trùng phápbcủa nó song song với pháp tuyến chuẩn củaS tại mọi điểm củaγ.
6.13. Chứng minh rằng mọi đường cong tiệm cận trên mặt σ(u, v) = (ucosv, usinv,lnu) xác định bởi
lnu=±(v+c), trong đóclà một hằng số tùy ý.
6.14. Chứng minh rằng một đường cong tiệm cận với độ cong dương có độ xoắn bằng độ xoắn trắc địa của nó (xem Bài tập 6.11). (Gợi ý: Chứng tỏB song song vớin.)
6.3 Độ cong chuẩn tắc và độ cong chính 6.4 Mô tả hình học của các độ cong chính
Chương 7
Độ cong Gauss và ánh xạ Gauss
Chúng ta sẽ giới thiệu hai độ cong khác của mặt, đó là độ cong Gauss và độ cong trung bình.
Mặc dù cả hai độ cong này kết hợp lại thì cùng cho thông tin như hai độ cong chính, tuy vậy chúng có nhiều ý nghĩa hình học hơn. Đặc biệt trong chương 10 chúng ta sẽ thấy một tính chất đáng chú ý, độ cong Gauss không đổi khi ta uốn mà không làm giãn mặt cong, điều này không xảy ra đối với các độ cong chính. Trong chương này chúng ta sẽ bàn đến một số tính chất cơ bản của các độ cong Gauss và trung bình, và ý nghĩa hình học của chúng.
7.1 Độ cong Gauss và độ cong trung bình
Định nghĩa 7.1. Giả sửκ1vàκ2 là hai độ cong chính của một mảnh vá. Khi đóđộ cong Gauss của mảnh vá là
K =κ1κ2, vàđộ cong trung bìnhcủa nó là
H = 1
2(κ1+κ2).
Chú ý có một vài tác giả thường bỏ qua thừa số 1/2trong định nghĩa của H, mặc dù như vậy thì có vẻ mâu thuẫn với nghĩa thông thường của ’trung bình’.
Theo Bài tập 6.17 thì độ cong Gauss không thay đổi khi tham số hóa lại mặt cong, trong khi độ cong trung bình thì có thể thay đổi bởi dấu. Vì vậyđộ cong Gauss được định nghĩa tốt cho bất kì mặt congS nào.
Dễ dàng thu được các công thức cụ thể choH và K như sau:
Mệnh đề 7.1. Giả sửσ(u, v)là một mảnh vá và các dạng cơ bản thứ nhất và thứ hai của nó tương ứng là
Edu2+ 2F dudv+Gdv2 và Ldu2+ 2Mdudv+Ndv2. Khi đó:
(i) K = LN−MEG−F22; (ii) H = LG−2M F+N E
2(EG−F2) ;
(iii) Các độ cong chính làH±√
H2−K.
7.1. ĐỘ CONG GAUSS VÀ ĐỘ CONG TRUNG BÌNH CHƯƠNG 7. ĐỘ CONG GAUSS
Chứng minh. Theo Định nghĩa??, các độ cong chínhκ1, κ2 là nghiệm của phương trình
¯¯
¯¯L−κE M −κF M−κF N −κG
¯¯
¯¯= 0,
∴(L−κE)(N −κG)−(M −κF)2 = 0,
∴(EG−F2)κ2−(LG−2MF +NE)κ+LN −M2 = 0.
Từ định lý Viet suy ra:
K =κ1κ2 = LN −M2
EG−F2 , H = 1
2(κ1+κ2) = LG−2MF +NE 2(EG−F2) .
Khẳng định cuối là do từ định nghĩa củaH vàK suy raκ1 vàκ2 là nghiệm của phương trình κ2−2Hκ+K = 0,
vì vậy nhận các giá trịH±√
H2−K.
Ví dụ7.1. Đối với mặt cầu đơn vị, theo ví dụ??thìκ1 =κ2 = 1, do đóK =H = 1. Đối với mặt trụ tròn xoay có bán kính 1, theo ví dụ??thìκ1 = 1, κ2 = 0, do đóK = 0, H = 12.
Ví dụ7.2. Trong Ví dụ6.2chúng ta đã xét mặt tròn xoay cho bởi σ(u, v) = (f(u) cosv, f(u) sinv, g(u)),
trong đó giả thiết f > 0 và f˙2 + ˙g2 = 1khắp nơi (dấu chấm trên kí hiệu cho d/du). Chúng ta đã tính được
E = 1, F = 0, F =f2,
L= ˙f¨g−f¨g, M˙ = 0, N =fg.˙ Theo Mệnh đề7.1(i), độ cong Gauss bằng
K = LN −M2
EG−F2 = ( ˙f¨g−f¨g)f˙ g˙
f2 . (7.1)
Chúng ta có thể làm đơn giản công thức trên nhờ điều kiệnf˙2+ ˙g2 = 1, lấy đạo hàm đẳng thức này theo biếnusuy ra
f˙f¨+ ˙gg¨= 0,
∴( ˙f¨g−f¨g) ˙˙ g =−f˙2f¨−f¨g˙2 =−f ,¨
∴K =−f f¨
f2 =−f¨ f.