Tap chi so 45A VN final pdf Tạp chí Khoa học và Công nghệ, Số 45A, 2020 © 2020 Trường Đại học Công nghiệp thành phố Hồ Chí Minh ĐIỀU KHIỂN HỆ CON LẮC NGƯỢC DÙNG PID KẾT HỢP TUYẾN TÍNH HÓA VÀO RA HUỲNH[.]
Trang 1ĐIỀU KHIỂN HỆ CON LẮC NGƯỢC DÙNG PID KẾT HỢP TUYẾN TÍNH HÓA
VÀO-RA
HUỲNH MINH NGỌC, TRẦN MINH CHÍNH
Khoa Công nghệ Điện tử, Trường Đại học Công nghiệp Thành phố Hồ Chí Minh,
huynhminhngoc@iuh.edu.vn
Tóm tắt Bài báo đề nghị hệ thống điều khiển hệ con lắc ngược dựa trên điều khiển PID kết hợp phương pháp tuyến tính hóa vào-ra Hệ con lắc ngược là hệ phi tuyến Đầu vào là lực điều khiển Hai tín hiệu ra là góc lệch của con lắc và vị trí xe Trước tiên tuyến tính hóa vào-ra sẽ giúp tuyến tính hóa hệ Sau đó bộ điều khiển PID giúp ổn định hệ con lắc ngược giữ cân bằng một cách thẳng đứng Có dùng bộ điều khiển PID cho hệ con lắc ngược được tuyến tính hóa quanh điểm làm việc, góc lệch bằng 0 Cuối cùng kết qủa
mô phỏng đươc thực hiện bằng Simulink trong MATLAB Kết quả mô phỏng cho thấy bộ điều khiển PID làm cho tín hiệu ra bám tín hiệu vào và có chất lượng tốt như là thời gian quá độ ngắn và độ vọt lố bé Hơn nữa, hệ thống điều khiển bền vững đối với sự thay đổi tham số của hệ như là khối lượng và chiều dài con lắc
Từ khóa hệ con lắc ngược, tuyến tính hóa vào-ra, tuyến tính hóa quanh điểm làm việc, bộ điều khiển PID
CONTROL-INPUT OUTPUT LINEARIZATION Abstract. The paper proposes an inverted pendulum control system based on PID control-input output
linearization method The inverted pendulum system is a nonlinear system Its input is the control force
Its outputs are the θ angle and the car position Firstly, input-output linearization linearizes the plant Then, PID (proportional integral derivative) controller controls the inverted pendulum system to keep its balance vertically A PID controller is also applied to the inverted pendulum system linearized about working point, θ angle which is zero Finally, simulation results are done with Simulink in MATLAB Simulation results show that PID controller makes the output signal track the input signal and has good performance, such as short settling time and small percentage of overshoot Further, the control system is robust against variations in parameters of the plant, such as the mass and the length of the pendulum
Keywords inverted pendulum system, input-output linearization, linearization about working point, PID controller
1 GIỚI THIỆU
Hệ con lắc ngược là hệ phi tuyến, có một đầu vào và nhiều đần ra Điều khiển hệ con lắc ngược có thách thức và khó, đã được nghiên cứu nhiều bởi các nhà khoa học Mô hình hệ con lắc ngược và điều khiển được trình bày trong [1, 2] Trong [1], mô hình hệ con lắc ngược có đầu vào là lực điều khiển, và đầu ra là góc của con lắc so với phương thẳng đứng và vị trí xe Các tác giả P.K.S Tam và A Wu đã trình bày sơ
đồ điều khiển thích nghi bền vững và dùng mạng nơron mờ để xấp xỉ hàm phi tuyến chưa biết của đối tượng Trong [2], các tác giả dùng điều khiển nơron mờ cho hệ con lắc ngược và chỉnh tham số mạng một cách trực tuyến
Bộ điều khiển mờ đã được áp dụng vào hệ thống điều khiển phi tuyến trong đó mô hình toán học của
hệ không biết Trong điều khiển mờ, luật điều khiển mờ hay mô tả ngôn ngữ mờ về hệ phi tuyến được xây dựng dựa trên tri thức kinh nghiệm Trong [3], tác giả Huỳnh Thái Hoàng đã dùng điều khiển mờ hệ con lắc ngược phi tuyến dựa trên tri thức kinh nghiệm Tuy nhiên, một khuyết điểm chính của điều khiển
mờ là thiếu thiết kế chuẩn và thủ tục tối ưu Hơn nữa, tác giả đã tuyến tính hoá hệ con lắc ngược quanh điểm làm việc θ=0 vá áp dụng thuật toán LQR cho hệ tuyến tính hóa này
Điều khiển tuyến tính hóa vào-ra được trình bày trong [4-7] Trong [4], tác giả trình bày ổn định hệ phi tuyến, tuyến tính hóa chính xác và tuyến tính hóa vào-ra Trong [5], tác giả trình bày các phương pháp
Trang 2điều khiển hệ đa biến, điều khiển trượt, và tuyến tính hóa vào-ra Trong [6], các tác giả dùng tuyến tính vào-ra cho hệ phi tuyến một đầu vào một đầu ra (SISO-single input single output) có trễ và thay đổi theo thời gian Trong [7], các tác giả dùng điều khiển tuyến hóa vào-ra kết hợp mạng nơron cho hệ nhiều đầu vào nhiều đầu ra và có xét ảnh hưởng của nhiễu
Điều khiển bền vững được trình bày trong [8] Robot xe đạp có dùng đối trọng là con lắc ngược Các tác giả đề nghị tiếp cận điều khiển hồi tiếp dựa trên bộ quan sát hai tầng cho robot xe đạp không có người lái để ổn định ở vị trí thẳng đứng khi di chuyển về phía trước ở tốc độ không đổi Trong [9], các tác giả Astrom và Wittenmark trình bày bộ điều khiển PID liên tục cho hệ tuyến tính hay được tuyến tính hóa quanh điểm làm việc Hơn nữa, ông còn trình bày điều khiển PID rời rạc cho hệ tuyến tính Trong [10, 11], các tác giả Huỳnh Minh Ngọc và Nguyễn Thị Phương Hà đã trình bày điều khiển neuron-mờ hệ con lắc ngược dựa trên tiếp cận sai số phân cấp mờ và điều khiển thích nghi bền vững Tập mẫu được xây dựng từ sơ đồ điều khiển thích nghi gián tiếp Trong [12], các tác giả trình bày điều khiển mờ nơron loại
2 Trong [13], các tác giả trình bày điều khiển thích nghi mô hình tham chiếu dùng hồi tiếp trạng thái
Sử dụng mô hình động lực của hệ con lắc ngược đã được xây dựng trong [1], bài báo đề nghị hệ thống điều khiển giữ thăng bằng hệ con lắc ngược (góc θ 0) dùng phương pháp tuyến tính hoá vào-ra kết hợp điều khiển PID Có thêm điều khiển PID cho hệ con lắc ngược được tuyến tính hóa quanh điểm làm việc θ 0 Kết quả mô phỏng trên máy tính được thực hiện trên MATLAB/Simulink
Bố cục của bài báo gồm có các phần sau: giới thiệu, mô hình động lực của hệ con lắc ngược, hệ thống điều khiển đề nghị, kết quả mô phỏng, và kết luận bài báo
2 MÔ HÌNH ĐỘNG LỰC CỦA HỆ CON LẮC NGƯỢC
2.1 Mô hình động lực
Hệ con lắc ngược được minh họa ở hình 1 Hệ gồm có thanh cứng (con lắc) và xe trên đó thanh được treo
Xe di chuyển trên đường ray tới phải hay trái, phụ thuộc vào lực u tác động vào xe Động cơ được gắn trên xe để tạo ra tín hiệu điều khiển u Thanh chỉ có một bậc tự do (quay quanh điểm treo) và góc con lắc được đo dùng encoder Nhiệm vụ điều khiển chính là giữ con lắc cân bằng thẳng đứng và xe trong phạm
vi đường ray
Hình 1: Hệ con lắc ngược
Giả sử khối lượng vật nặng tập trung ở giữa con lắc Chúng ta ký hiệu θ là góc so với phương thẳng đứng L=2l là chiều dài con lắc m và J là khối lượng và moment quán tính ở tâm con lắc M là khối lượng
xe G thể hiện trọng tâm con lắc
Toạ độ theo trục hoành và trục tung con lắc được cho bởi:
l.sinθ X
sinθ
2
L
X
x (1)
lcosθ
cosθ
2
L
y (2)
Trang 3Hình 2: Sơ đồ thân tự do của hệ con lắc ngược
Sơ đồ thân tự do của hệ con lắc ngược được minh họa ở hình 2, trong đó Fx và Fy thể hiện phản lực tại điểm trục Xem xét con lắc ngược trước Tổng lực ta có phương trình sau:
sinθ θ ml cosθ θ
ml
X
m
x (3)
cosθ θ ml sinθ θ ml
mg
y (4)
θ J lcosθ
F
lsinθ
Fy x (5) Xem xét lực phương ngang tác động lên xe:
x
x F
f
X
M (6) Thay phương trình (6) vào phương trình (3), ta được:
x
2 f θ ml(sinθl θ
ml(cosθl
X
m)
(M (7)
Sử dụng các phương trình (3), (4), (5) và tính toán rút gọn, ta được:
0 mgsinθ θ
ml
3
4
cosθ
X
m (8)
12
mL
J
2
, u=fx
Mô hình động lực của hệ con lắc ngược được mô tả bởi các phương trình (7) và (8)
2.2 Mô hình toán học
Trong [1], mô hình toán học của hệ con lắc ngược được cho như sau:
2 1
1 1
2 2 1 4
4
3
2 1
1 1
1 1
2
2
1
)) mcos(x m)
(M 3
4
.u 3
4 ) )cos(x mgsin(x
)x mlsin(x
3
4
x
x
x
) x (cos ml 3
m) 4l(M
.u x cos x cos mlsinx x
sin g
)
m
M
(
x
x
x
(9)
y1=x1
y2=x3
Trong đó x1 θ là góc của con lắc so với phương thẳng đứng (đơn vị rad), x2 θ là vận tốc góc con lắc (đơn vị rad/s) x3=x là vị trí xe (m), x4 x là vận tốc xe (m/s) Lực điều khiển u (đơn vị N) là đầu vào của hệ Tín hiệu ra gồm có góc của con lắc y1 và vị trí xe y2 Nhiệm vụ điều khiển là giữ con lắc cân bằng so với phương thẳng đứng (góc θ=0)
Các thông số của hệ con lắc ngược được cho ở bảng sau:
Trang 4Bảng 1: Các ký hiệu biến và giá trị Tên Ý nghĩa vật lý Giá trị
m Khối lượng con lắc 0,1 kg
l Nửa chiều dài của con lắc 0,5 m
g Gia tốc trọng trường 9,81 m/s2
3 HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN ĐỀ NGHỊ
3.1 Điều khiển PID kết hợp tuyến tính hóa vào ra
Sơ đồ khối hệ thống điều khiển:
Hình 3: Hệ thống điều khiển đề nghị
Hệ thống điều khiển đề nghị bao gồm 2 vòng điều khiển (Hình 3): Vòng điều khiển trong có nhiệm
vụ tuyến tính hóa (TTH) hệ thống bằng hồi tiếp trạng thái Vòng điều khiển ngoài được thực hiện bởi bộ điều khiển tuyến tính PID
3.1.1 Vòng điều khiển trong (Tuyến tính hóa vào-ra)
Hệ con lắc ngược có phương trình động như sau:
x)
(
h
y
u )
x
(
g
)
x
(
(10) h(x)=x1
x=[x1 x2]T
y=y1
»
¼
º
«
¬
ª
»
»
»
»
¼
º
«
«
«
«
¬
ª
2
1 2
1
1 1
2 2 1
2
f
f )
x (cos ml 3
) m M ( 4
) x cos(
) x sin(
) x ( ml ) m)gsin(x
(M
x )
x
(
l
»
¼
º
«
¬
ª
»
»
»
¼
º
«
«
«
¬
ª
2
1 2 1
1
g
g ) x (cos m 3
m) 4l(M
x cos0 )
(
g x
> ( x ) g ( x ) u @ > L h ( x ) L L h ( x ) u @
x
)
h
L
(
f
w
w
0 )
ml(cosx 3
m) 4l(M
cosx sinx ) x ( ml gsinx ) m M ( f h(x) L
L
h(x)
L
2 1
1 1
2 2 1
2 f
f
2
Trang 5
2 1
1 2
f
g
) ml(cosx 3
m) 4l(M
cosx g
h(x)
L
L
Luật điều khiển tuyến tính hóa vào ra được xác định như sau Để
y= v
Hay y f2 g2.u v (11)
Ta phải có:
h(x) L L
1 (h(x)
L
v
u
f g
2
f
(12)
Trong đó v là tín hiệu ra của bộ điều khiển vòng ngoài PID(s) (Hình 3) Sau khi tuyến tính hóa quan hệ vào-ra của hệ thống như sau Y(s) = GTT(s)V(s) với
GTT(s) = 2
s
1 (13)
3.1.2 Vòng điều khiển ngoài (Điều khiển PID)
Phương trình (13) cho thấy sau khi tuyến tính hóa hệ thống phi tuyến đã được chuyển thành hệ tuyến tính một đầu vào một đầu ra Ta dùng bộ điều khiển PID
Hàm truyền bộ điều khiển PID:
1 τs
s K s
K K
)
(
p
pid s (14)
Trong đó KP, Ki, và KD là các thông số của bộ điều khiển PID Hằng số dương W được chọn rất bé
so với thời gian đáp ứng của hệ thống vòng kín Trong dãi tần số thỏa WZ<< 1,
.s K s
K K
(s)
p
I
I
K s
K s G
s
D 3
P 2 D
TT pid
TT pid k
K s K s
K s K (s) (s)G 1
(s) (s)G G R(s)
Y(s)
)
(
Các thông số của bộ điều khiển KP, KI và KD có thể được xác định sao cho Gk(s) có cực chọn trước
3.2 Điều khiển PID hệ con lắc ngược được tuyến tính hóa quanh điểm làm việc
Sơ đồ điều khiển (Hình 4):
Hình 4: Điều khiển PID hệ con lắc ngược được tuyến tính hóa quanh điểm làm việc θ 0
Để điều khiển khiển PID ta phải tuyến tính hóa hệ tại vị trí cân bằng θ 0 Giả sử góc θ đủ nhỏ để chúng ta xấp xỉ sinθ=θ, cosθ=1 và θθ2=0
Từ hai phương trình (7) và (8), thực hiện tuyến tính hóa ta xác định được hệ phương trình trạng thái như sau:
Trang 6u m) (4M 4 0
ml m) l(M 3 4 1 0
x x x x
0 0 0 m) (4M
3
1
0
0 0 0 ml m) l(M
3
4
m)g
x
x
x
x
4 3 2 1
4
3
2
1
¸
¸
¸
¸
¸
¸
¸
¹
·
¨
¨
¨
¨
¨
¨
¨
©
§
¸¸
¸
¸
¸
¹
·
¨¨
¨
¨
¨
©
§
¸
¸
¸
¸
¸
¸
¸
¸
¹
·
¨
¨
¨
¨
¨
¨
¨
¨
©
§
¸¸
¸
¸
¸
¹
·
¨¨
¨
¨
¨
©
§
(16a)
Vì ta xét vị trí góc của con lắc y1=x1 và vị trí xe y2=x3, ngõ ra như sau:
.u 0 0 x x x x 0 1 0 0
0 0 0 1
(t)
y
(t)
y
4 3 2 1
2
1
¸¸
¹
·
¨¨
©
§
¸¸
¸
¸
¸
¹
·
¨¨
¨
¨
¨
©
§
¸¸
¹
·
¨¨
©
§
¸¸
¹
·
¨¨
©
§
(16b)
Ta được hàm truyền góc của hệ con lắc ngược như sau:
10,78 0,68s
1 m)g
(M ).s 3
m)l 4(M (ml
1 U(s)
Φ(s)
(s)
2
(17)
r(t) là tín hiệu vào, giá trị đặt y(t)=y1 là tín hiệu ra, góc theta đo được u là tín hiệu điều khiển
Hàm truyền đạt của hệ thống vòng kín được xác định bởi
I
I
K s
K s G
s
) K
s (K -(s)
(s)G 1
(s) (s)G G R(s)
Y(s)
)
(
G
P 2 D 3
P 2 D
p pid
p pid
Các thông số của bộ điều khiển KP, KI và KD có thể được xác định sao cho Gk(s) có cực chọn trước
4 KẾT QUẢ MÔ PHỎNG
4.1 Điều khiển PID kết hợp tuyến tính hóa vào ra
Thay các giá trị trong bảng 1 vào hệ phương trình (9)
Mô hình động của hệ con lắc ngược như sau:
2 1
1 1
2 2 1 4
4
3
2 1
1 1
1 1
2
2
1
)) cos(x 1 , 0 47 , 1
.u 33 , 1 ) )cos(x sin(x 98 , 0 )x sin(x
07
,
0
x
x
x
) x (cos 05 , 0 73 , 0
.u x cos x cos sinx 05 , 0 x sin
78
,
10
x
x
x
(19)
y1=x1
y2=x3
4.1.1.Trường hợp có nhiễu:
Từ phương trình (15), để Gk(s) có cực tại -2,5,0,5r j0,866, ta có KP =3.5, KI=2,5 và KD =3,5,
m=0,1kg M=1kg l=0,5m Tín hiệu vào r(t)= 0 rad Nhiễu tiền định được đưa vào tín hiệu điều khiển u Kết quả ở hình 5
Hình 5: Tín hiệu ra y(t) và tín hiệu điều khiển u khi m=0,1kg và M=1 kg và l=0,5m, r(t)=0 rad và có nhiễu Hình 5 cho thấy hệ thống có tín hiệu ra y(t) cũng bám tín hiệu vào khi có nhiễu tiền định là xung vuông
có biên độ 1, tấn số 10 giây, độ rộng xung PWM=Ton/T là 5%
Trang 7Hình 5: Tín hiệu ra y và tín hiệu điều khiển u khi có nhiễu
4.1.2 Trường hợp không có nhiễu:
Từ phương trình (15), để Gk(s) có cực tại -2,5,0,5r j0,866, ta có KP =3.5, KI=2,5 và KD =3,5, m=0,1kg M=1kg l=0,5m Tín hiệu vào r(t)=0,1 rad Tín hiệu ra y(t) và tín hiệu điều khiển u được cho ở hình 6
Hình 6: Tín hiệu ra y(t) và tín hiệu điều khiển u khi m=0,1kg và l=0,5m, r(t)= 0,1 rad
Hình 6 cho thấy tín hiệu ra y(t) bám tín hiệu vào khá tốt, thời gian quá độ là 4s, độ vọt lố là 18% Tín hiệu điều khiển u tiến về giá trị 1N nhanh
Khi giá trị vào r(t)= 0 rad thì kết quả mô phỏng ở hình 7 Hình 7 cho thấy tín hiệu y(t) tiến về 0 nhanh, độ vọt lố cực đại là 0,0008 và thời gian quá độ là 5s Tín hiệu điều khiển u cũng tiến về 0 sau 1s Con lắc giữ thăng bằng Hệ thống điều khiển ổn định vì các nghiệm cực của phương trình đặc trưng hệ kín Gk(s) nằm bên trái mặt phẳng phức
Hình 8 minh họa kết quả khi tham số của hệ con lắc ngược được thay đổi (khối lượng con lắc m và chiều dài con lắc L=2l: m=0,2 kg, L=2,5m (nửa chiều dài l=1,25 m)), nhưng bộ điều khiển không đổi Hình 8 cho thấy tín hiệu ra y(t) không thay đổi, chứng tỏ hệ thống có tính bền vững đối với thay đổi tham số của đối tượng
Trang 8Hình 7: Tín hiệu ra y(t) và tín hiệu điều khiển u khi m=0,1kg và l=0,5m, r(t)= 0 rad
Hình 8: Tín hiệu ra y(t) và tín hiệu điều khiển u khi m=0,2kg và l=1,25m, r(t)= 0 rad
4.2 Điều khiển PID cho hệ con lắc ngược được tuyến tính hóa quanh điểm làm việc
Xét trường hợp không có nhiễu
Thay các giá trị ở bảng 1 vào phương trình (16a), (16b), ta có:
.u 0,975 0 1,463 0
x x x x
0 0 0 0,717
1 0 0 0
0 0 0 15,78
0 0 1 0
x
x
x
x
4 3 2 1
4
3
2
1
¸¸
¸
¸
¸
¹
·
¨¨
¨
¨
¨
©
§
¸¸
¸
¸
¸
¹
·
¨¨
¨
¨
¨
©
§
¸¸
¸
¸
¸
¹
·
¨¨
¨
¨
¨
©
§
¸¸
¸
¸
¸
¹
·
¨¨
¨
¨
¨
©
§
(20a)
.u 0 0 x x x x 0 1 0 0
0 0 0 1
(t)
y
(t)
y
4 3 2 1
2
1
¸¸
¹
·
¨¨
©
§
¸¸
¸
¸
¸
¹
·
¨¨
¨
¨
¨
©
§
¸¸
¹
·
¨¨
©
§
¸¸
¹
·
¨¨
©
§
(20b)
Trang 9Từ phương trình (18), để Gk(s) có cực tại -2,5,0,5r j0,866, ta có KP =-13,16, KI=-1,7 và KD
=-2,38, m=0,1kg M=1 kg l=0,5m
Nếu đặt r(t)=0,1 rad thì kết quã ỡ hình 9 Hình 9 cho thấy tín hiệu ra y(t) bám tín hiệu vào khá tốt Độ vọt
lố cao và suy giảm nhanh Thời gian quá độ là 10s Tín hiệu điều khiển u tiến về giá trị nhỏ khoảng 1N nhanh
Hình 9: Tín hiệu ra y(t) và tín hiệu điều khiển u khi dùng bộ PID cho hệ được tuyến tính hóa quanh điểm θ 0
với m=0,1 kg, l=0,5 m, r(t)=0,1 rad
Hệ thống điều khiển ổn định vì các nghiệm cực của phương trình đặc trưng hệ kín Gk(s) nằm bên trái mặt phẳng phức
Hình 10 minh họa kết quả khi dùng bộ PID cho hệ con lắc ngược được tuyến tính hóa quanh điểm θ=0
và tín hiệu vào r(t)=0 rad Hình 10 cho thấy tín hiệu y(t) tiến về 0 nhanh, độ vọt lố cực đại là 0,0006 và thời gian quá độ là 10s
Hình 10: Tín hiệu ra y(t) và tín hiệu điều khiển u khi dùng bộ PID cho hệ được tuyến tính hóa quanh điểm θ 0
với m=0,1 kg, l=0,5 m, r(t)=0
Hình 11 trình bày kết quả mô phỏng khi hệ con lắc ngược có khối lượng con lắc và chiều dài con lắc thay đổi (m = 0,2 kg, L=2,5 m) nhưng bộ điều khiển không đổi Tương tự như trường hợp điều khiển tuyến tính hóa vào ra, hệ thống có tính bền vững đối với sự thay đổi tham số của con lắc ngược
Trang 10Hình 11: Tín hiệu ra y(t) và tín hiệu điều khiển u khi dùng bộ PID cho hệ được tuyến tính hóa quanh điểm θ 0
với m=0,2 kg, l=1,25 m r(t)= 0 rad
So sánh điều khiển PID + tuyến tính hóa vào-ra với PID cho hệ được tuyến tính hóa quanh điểm
0
Kết quả mô phỏng cho thấy kết quả dùng PID+tuyến tính hóa vào-ra là tốt hơn kết quả dùng PID cho hệ được tuyến hóa quanh điểm làm việc
So sánh điều khiển PID với [11]:
Trong [11], điều khiển neuron mờ dùng giải thuật tiếp cận sai số phân cấp mờ được áp dụng cho hệ con lắc ngược Kết quả so sánh được trình bày ở bảng 2
Bảng 2: Tín hiệu ra góc lệch con lắc y=θ Điều khiển PID + tuyến
tính hóa vào - ra
Điều khiển PID cho
hệ được tuyến tính hóa quanh điểm θ 0
Theo tài liệu [11]
Độ vọt lố cực đại 0,0008 0.0006 0,001
.Kết quả ở bảng 2 cho thấy kết quả điều khiển của bộ điều khiển PID là tốt và gần tương đương với bộ điều khiển ở tài liệu [11]
5 KẾT LUẬN
Bài báo đề nghị hệ thống điều khiển hệ con lắc ngược dựa trên điều khiển PID kết hợp phương pháp tuyến tính hóa vào ra Hệ con lắc ngược là hệ phi tuyến Đầu vào là lực điều khiển Hai tín hiệu ra là góc lệch của con lắc và vị trí xe Trước tiên ở vòng điều khiển trong, tuyến tính hóa vào ra sẽ giúp tuyến tính hóa hệ Sau đó ở vòng điều khiển ngoài, bộ điều khiển PID giúp ổn định hệ con lắc ngược giữ cân bằng một cách thẳng đứng Có dùng bộ điều khiển PID cho hệ con lắc ngược được tuyến tính hóa quanh điểm làm việc, góc lệch bằng 0 Bộ điều khiển PID được thiết kế dùng phương pháp gán cực
Kết quả mô phỏng đã chứng minh rằng bộ điều khiển PID làm cho tín hiệu ra bám tín hiệu vào và có chất lượng tốt, như là độ vọt lố bé và thời gian quá độ ngắn, và con lắc giữ cân bằng Nếu đưa vào nhiễu tiền định thì tín hiệu ra còn bám tín hiệu vào Nếu đưa vào nhiễu ngẫu nhiên thì hệ con lắc ngược mất ổn định Bộ điều khiển PID cho kết quả mô phỏng tốt trong giới hạn trọng lượng con lắc m và chiều dài con
lắc L=2l: m thay đổi từ 0,1 kg đến 0,2 kg, và L thay đổi từ 1 m đến 2,5 m Hơn nữa, kết quả mô phỏng
cho thấy hệ thống điều khiển có tính bền vững đối với sự thay đổi tham số của đối tượng như là khối lượng và chiều dài con lắc thay đổi Kết quả mô phỏng dùng PID là tốt và gần tương đương với điều khiển neuron mờ