Số phức và một số ứng dụng trong toán sơ cấp

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN HUỲNH QUẾ ĐAN SỐ PHỨC VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG TRONG TOÁN SƠ CẤP LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Bình Định Năm 2022 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN HU[.]

TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN

HUỲNH QUẾ ĐAN

SỐ PHỨC VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG

TRONG TOÁN SƠ CẤP

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Bình Định - Năm 2022

TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN

HUỲNH QUẾ ĐAN

SỐ PHỨC VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG

TRONG TOÁN SƠ CẤP

Chuyên ngành : Phương pháp Toán sơ cấp

Người hướng dẫn: TS DƯƠNG THANH VỸ

Bình Định - Năm 2022

Tôi xin cam đoan nội dung trong luận văn "Số phức và một số ứngdụng trong toán sơ cấp" là do bản thân thực hiện theo logic riêng dưới

sự hướng dẫn của TS Dương Thanh Vỹ Các nội dung và kết quả sử dụngtrong luận văn đều có trích dẫn và chú thích nguồn gốc rõ ràng

Bình Định, tháng 7 năm 2022

Học viên

Huỳnh Quế Đan

Mục lục

1.1 Định nghĩa số phức 4

1.2 Biểu diễn số phức dưới dạng đại số 5

1.3 Biểu diễn hình học của số phức 6

1.4 Số phức liên hợp 7

1.5 Môđun của số phức 8

1.6 Các phép toán trên tập số phức 10

1.6.1 Phép cộng và phép trừ số phức 10

1.6.2 Phép nhân số phức 11

1.6.3 Phép chia cho số phức khác 0 12

1.6.4 Lũy thừa nguyên của số phức 13

2 Về bài toán cực trị số phức 14 2.1 Sử dụng bất đẳng thức để giải các bài toán cực trị số phức 14 2.1.1 Bất đẳng thức tam giác dạng đại số 14

2.1.2 Bất đẳng thức Cauchy, bất đẳng thức Bunyakovsky 19 2.2 Sử dụng phương pháp hình học để giải các bài toán cực trị số phức 24

2.2.1 Phương pháp giải 24

2.2.2 Một số dạng thường gặp 25

3 Ứng dụng số phức để chứng minh bất đẳng thức 37

3.1 Ứng dụng bất đẳng thức về môđun của số phức 37

3.2 Ứng dụng tính chất nghiệm của đa thức 42

4 Ứng dụng số phức để giải các bài toán về đa thức 48 4.1 Xác định đa thức 48

4.2 Bài toán về sự chia hết của đa thức 59

Kết luận 63

Tài liệu tham khảo 64

MỞ ĐẦU

Số phức không những có nhiều ứng dụng trong Cơ học, Vật lý học vàcác ngành khoa học kỹ thuật công nghệ mà còn đóng vai trò như là mộtcông cụ đắc lực nhằm giải quyết hiệu quả nhiều bài toán của hình học,giải tích, đại số, số học và toán tổ hợp Ngoài ra, các tính chất cơ bản của

số phức và biến phức còn được sử dụng trong toán cao cấp, toán ứng dụng

và trong nhiều mô hình thực tế

Trong những năm gần đây, có khá nhiều bài toán hay và khó về số phứchoặc ứng dụng số phức xuất hiện trong các kì thi trung học phổ thôngquốc gia, Olympic khu vực và Olympic quốc tế Để giải được các bài toánnày, học sinh cần được trang bị đầy đủ và sâu sắc các kiến thức, kỹ thuậtđặc thù về số phức

Với mục đích muốn tìm hiểu về số phức, các ứng dụng của số phứctrong việc giải các bài toán sơ cấp và đáp ứng mong muốn của bản thân

về một đề tài phù hợp cho việc giảng dạy của mình ở trường trung họcphổ thông nên học viên đã chọn đề tài “Số phức và một số ứng dụngtrong toán sơ cấp” để nghiên cứu cho luận văn thạc sĩ của mình

Luận văn này tập trung tìm hiểu, trình bày các bài toán về số phứchoặc ứng dụng số phức xuất hiện trong các kì thi trung học phổ thôngquốc gia, các kì thi học sinh giỏi Từ đó, tổng hợp các phương pháp và kỹthuật thường dùng để giải một số bài toán về cực trị số phức và một sốứng dụng của số phức trong các bài toán sơ cấp

Ngoài mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, nội dung luận văn đượcchia thành bốn chương như sau:

Chương 1 Một số kiến thức chuẩn bị

Chương này trình bày các kiến thức cơ bản liên quan đến số phức nhưđịnh nghĩa, tính chất, các phép toán trên tập số phức và các dạng biểudiễn của số phức,

Chương 2 Về bài toán cực trị số phức

Chương này trình bày phương pháp sử dụng bất đẳng thức và phươngpháp hình học để giải các bài toán cực trị số phức Các bất đẳng thứcđược trình bày bao gồm bất đẳng thức tam giác dạng đại số, bất đẳngthức Cauchy, bất đẳng thức Bunyakovsky vận dụng trong số phức Đặcbiệt, phương pháp hình học được sử dụng để chuyển các bài toán cực trị

số phức về các bài toán cực trị đơn giản trong hình học phẳng; nhờ đólàm nổi bật thêm ý nghĩa của sự biểu diễn hình học trong số phức và thấythêm nhiều mối liên hệ thú vị giữa các bài toán thuần đại số với các bàitoán hình học phẳng Từ đó, ta cũng có thể ứng dụng số phức để giải cácbài toán đại số, chẳng hạn sử dụng số phức để chứng minh bất đẳng thứcđược trình bày ở chương tiếp theo

Chương 3 Ứng dụng số phức để chứng minh bất đẳng thức.Chương này trình bày một số bài toán về bất đẳng thức được giải bằngcách sử dụng một số tính chất về môđun của số phức

Chương 4 Ứng dụng số phức để giải các bài toán về đa thức.Chương này trình bày ứng dụng số phức để tìm đa thức và giải một

số bài toán về sự chia hết của đa thức trong chương trình trung học phổthông

Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn khoa học và tận tình của

TS Dương Thanh Vỹ Học viên xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến Thầy đãnhận lời hướng dẫn, động viên và tận tình giúp đỡ trong suốt quá trìnhlàm luận văn

Nhân đây, học viên cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành đến Ban GiámHiệu Trường Đại học Quy Nhơn, Phòng Đào tạo Sau đại học, Khoa Toán

và Thống kê, cùng quý Thầy Cô giảng dạy lớp cao học Toán chuyên ngànhPhương pháp Toán sơ cấp khóa 23, đã tận tình giúp đỡ và tạo mọi điềukiện tốt nhất trong thời gian học tập và nghiên cứu thực hiện đề tài.Cuối cùng học viên xin phép gửi lời cảm ơn đến gia đình và những ngườibạn đã luôn bên cạnh quan tâm, giúp đỡ và động viên trong suốt hànhtrình vừa qua

Mặc dù bản thân đã hết sức nỗ lực, cố gắng để hoàn thành luận văn.Tuy nhiên, do điều kiện về thời gian học tập, trình độ kiến thức và kinhnghiệm nghiên cứu còn hạn chế nên chắc chắn luận văn sẽ không thể tránhkhỏi những thiếu sót Học viên rất mong nhận được những nhận xét, góp

ý của quý thầy cô giáo và các bạn học viên trong lớp để luận văn đượchoàn thiện hơn

Học viên xin chân thành cảm ơn!

Bình Định, tháng 7 năm 2022Học viên thực hiện

Huỳnh Quế Đan

Chương 1

Một số kiến thức chuẩn bị

Chương này trình bày một số kiến thức cơ bản về số phức Các kiếnthức này được tham khảo từ ([3]), ([5]), ([7]) và sẽ được sử dụng cho cácchương sau

Xét tập hợp R2 = R×R = (x, y) |x, y ∈ R Hai phần tử (x1, y1) và(x2, y2) thuộc R2 bằng nhau khi và chỉ khi x1 = x2 và y1 = y2 Các phéptoán cộng và nhân được định nghĩa trên R2 như sau:

z1 + z2 = (x1, y1) + (x2, y2) = (x1 + x2, y1 + y2) ∈ R2

và

z1 · z2 = (x1, y1) · (x2, y2) = (x1x2 − y1y2, x1y2 + x2y1) ∈R2,

với mọi z1 = (x1, y1) ∈ R2 và z2 = (x2, y2) ∈ R2

Phần tử z1+ z2 ∈ R2 được gọi là tổng của z1 và z2; phần tử z1· z2 ∈ R2

được gọi là tích của z1 và z2

Chú ý 1.1.1 a) Nếu z1 = (x1, 0) ∈ R2 và z2 = (x2, 0) ∈ R2 thì

z1 · z2 = (x1x2, 0)

b) Nếu z1 = (0, y1) ∈R2 và z2 = (0, y2) ∈ R2 thì

z1 · z2 = (−y1y2, 0)

Ví dụ 1.1.2 Cho z1 = (−4, 7) và z2 = (2, −5) Khi đó

z1 + z2 = (−4, 7) + (2, −5) = (−2, 2)và

1.2 Biểu diễn số phức dưới dạng đại số

Theo định nghĩa trên, mỗi số phức tương ứng với một cặp số(x, y) ∈ R2,điều này sẽ gây ít nhiều khó khăn cho việc trình bày các kiến thức về sốphức Vì lẽ đó, ta sẽ biểu diễn các số phức dưới dạng đại số

Xét tập hợp R × {0}, cùng với phép toán cộng và nhân trên R2 nhưtrên Khi đó hàm số

f :R → R× {0}

x 7→ f (x) = (x, 0)

là song ánh Hơn nữa ta cũng có:

(x, 0) + (y, 0) = (x + y, 0) và (x, 0) · (y, 0) = (xy, 0)

Ta nhận thấy rằng các phép toán trên R × {0} cũng tương tự nhưtrên R Từ đây, ta sẽ đồng nhất cặp số (x, 0) với số x (∀x ∈ R), ta viết(x, 0) = x

Đặt i = (0, 1) thì

i2 = i · i = (0, 1) · (0, 1) = (−1, 0) = −1và

z và được kí hiệu là y = Im (z); i được gọi là đơn vị ảo

Chú ý 1.2.2 a) Số phức có phần ảo bằng 0 được coi là số thực và viết là

1.3 Biểu diễn hình học của số phức

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, mỗi số phức z = x + yi được biểu diễnbởi điểm M có tọa độ (x; y) Ngược lại, mỗi điểm M (x; y) biểu diễn một

số phứcz = x + yi Ta còn viết là M (x + yi) hay M (z) Vì thế mặt phẳngtọa độ biểu diễn số phức còn gọi là mặt phẳng phức.

Gốc tọa độ O biểu diễn số 0

Các điểm trên trục hoành Ox biểu diễn các số thực, nên gọi là trụcthực

Các điểm trên trục tung Oy biểu diễn số ảo nên gọi là trục ảo

z = x + yi, z1 = x1 + y1i, z2 = x2 + y2i (x, x1, x2, y, y1, y2 ∈ R)

Ta có

(1) z = ¯z ⇔ x + yi = x − yi ⇔ 2yi = 0 ⇔ y = 0 ⇔ z = x ∈ R

(2) z = x − yi ⇒ z = x − (−y) i = x + yi = z

= (x1x2 − y1y2) − (x1y2 + x2y1) i.

Mà z1 · z2 = (x1 − y1i) (x2 − y2i) = (x1x2 − y1y2) − (x1y2 + x2y1) i.Vậy z1 · z2 = z1 · z2

(6) Vì z · 1

z = 1 ⇒



z · 1z



= 1 ⇒ z ·

1z



= 1 ⇒ (z−1) = (z)−1.(7)

= 1 ⇒

1z

−1 + 2ki + i + ki − 1 − k

1 + k

|z − 1 − 2i| = 4 Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhấtcủa |z + 2 + i| Tính S = M2 + m2

Suy ra

Bài toán 2.1.5 (Sở GD Hà Tĩnh 2017) Trong các số phức z thỏa mãn

z − (2 + 4i) = 2, gọi z1 và z2 lần lượt là số phức có môđun lớn nhất vàmôđun nhỏ nhất Tính tổng phần ảo của hai số phức z1 và z2

Lời giải Ta có

2 ≥ ... đẳng thức cần chứng minh

Tiếp theo, ta xét số toán minh họa cho ứng dụng bất đẳngthức tam giác để tìm số phức tốn liên quan đến cực trị số phức

Bài toán 2.1.1 Tìm số phức z thỏa mãn... suy số phức z thỏa mãn toán số

ảo mà có phần ảo khơng âm

Bài tốn 2.1.2 Chứng minh với số phức z ta có

P = |z − 2i + 3| + |z + 2i| ≥

Khi dấu “=” xảy ra, tìm số phức. .. cộng số phức thỏa mãn tính chất sau:

▷ Phần tử đối: Với z ∈ C, tồn nhất −z ∈C cho

z + (−z) = (−z) + z =

Khi ta nói −z số đối (phần tử đối) số phức z