một số bất đẵng thức sai phân và ứng dụng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC SAI PHÂN VÀ ỨNG DỤNG Chuyên ngành Phương pháp Toán sơ cấp Giảng viên hướng dẫn PGS TS ĐINH CÔNG HƯỚNG Học[.]

TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC SAI PHÂN VÀ ỨNG DỤNG

Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp

Giảng viên hướng dẫn: PGS.TS ĐINH CÔNG HƯỚNG

Học viên: TRẦN THỊ LỆ THỦY

Mã số: 8 46 01 13

Bình Định - 2022

TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN

Mục lục

1.1 Toán tử sai phân tiến, toán tử sai phân lùi, toán tử dịch chuyển 4

1.2 Một số tính chất [3] 5

1.3 Bất đẳng thức H¨older [1] 12

2 BẤT ĐẲNG THỨC SAI PHÂN 14 2.1 Bất đẳng thức Gronwall [3],[6] 14

2.2 Bất đẳng thức phi tuyến 23

2.3 Bất đẳng thức sai phân cấp n 30

2.4 Hệ bất đẳng thức hữu hạn 35

2.5 Bất đẳng thức Opial 38

DANH MỤC CÁC KÍ HIỆU

• N= {0, 1, } tập hợp các số tự nhiên bao gồm số 0

• N(a) = {a, a + 1, } trong đó a ∈N.

• N(a, b − 1) = {a, a + 1, , b − 1} trong đó a < b − 1 < ∞ và a, b ∈ N.

Một tập hợp bất kì trong số ba tập hợp trên sẽ được ký hiệu là N

• u(k), v(k): Các hàm thực vô hướng xác định trên N

hệ phương trình như vậy, thay vì việc tìm công thức nghiệm, người ta thườngnghiên cứu các tính chất định tính của nghiệm Một ứng dụng quen biết củabài toán này là việc khảo sát tính chất hội tụ, bị chặn, dao động, tuần hoàn củacác dãy số xuất hiện trong các kỳ thi học sinh giỏi các cấp trong chương trìnhtoán ở bậc phổ thông trung học Có thể nói các bất đẳng thức sai phân (haycòn gọi là các bất đẳng thức rời rạc) cung cấp một nguyên tắc so sánh rất tổngquát trong nghiên cứu nhiều tính chất định tính của các nghiệm của các phươngtrình, hệ phương trình sai phân liên quan Bất đẳng thức rời rạc Gronwall vàcác phiên bản của nó (xem [3], [4], [5], [6]), bất đẳng thức rời rạc Opial (xem[7], [8]) là những ví dụ điển hình, xuất hiện trong rất nhiều công trình khoa học

về lĩnh vực này

Luận văn gồm ba chương:

Chương 1 Kiến thức chuẩn bị

Hệ thống lại một số khái niệm và một số tính chất quan trọng về sai phântiến, sai phân lùi, toán tử dịch chuyển

Chương 2 Một số bất đẳng thức sai phân

Trong chương này, chúng tôi hệ thống, làm rõ một số kết quả về các Bất đẳngthức Gronwall, Bất đẳng thức phi tuyến, Bất đẳng thức sai phân cấp n, hệ bấtđẳng thức hữu hạn, Bất đẳng thức Opial

Chương 3 Một số ví dụ

Trong chương này chúng tôi trình bày một ứng dụng của Bất đẳng thứcGronwall trong chứng minh một định lý quan trọng của Lý thuyết ổn định vàgiải quyết một số bài toán sơ cấp

Tôi xin được bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sự kính trọng sâu sắc đếnPGS.TS Đinh Công Hướng, thầy đã trực tiếp giảng dạy, hướng dẫn và tạo mọiđiều kiện trong quá trình nghiên cứu khoa học để tôi có thể hoàn thành luậnvăn này một cách tốt nhất Tôi xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, Phòngsau đại học, Khoa Toán và Thống kê, Trường Đại học Quy Nhơn cùng quý thầy

cô giáo đã trực tiếp giảng dạy, giúp đỡ tôi trong quá trình học tập tại Trường.Nhân đây, Tôi cũng xin cảm ơn các anh chị, em học viên trong lớp Phương phápToán sơ cấp khóa 23, gia đình và bạn bè đã giúp đỡ, động viên tôi trong suốtquá trình học tập và hoàn thiện luận văn

Mặc dù rất cố gắng nhưng do hạn chế về thời gian và trình độ nên bên cạnhnhững kết quả đã đạt được, luận văn không thể tránh khỏi những hạn chế vàthiếu sót Tác giả rất mong nhận được sự góp ý thẳng thắn và chân thành củaquý thầy cô và các bạn để luận văn được hoàn thiện hơn

Ngày 12 tháng 9 năm 2022Học viên thực hiện

Trần Thị Lệ Thủy

Chương 1

KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Trong chương này, chúng tôi trình bày lại một số khái niệm và kết quả quantrọng sẽ được sử dụng trong chương sau Nội dung chính của chương này đượctham khảo từ các tài liệu [1], [3]

1.1 Toán tử sai phân tiến, toán tử sai phân lùi, toán tử





Em−if (k), E0 = I.

Định nghĩa 1.2 Toán tử dịch chuyển cấp m được định nghĩa như sau





∆if (k), ∆0 = I.

1.2 Một số tính chất [3]

Định nghĩa 1.3 Giả sử u(k) là hàm thực vô hướng được xác định trên N(a, b)

Ta nói rằng, k = a là một nút đối với u(k) nếu u(a) = 0 và a < k ≤ b là một nútđối với u(k) nếu u(k) = 0 hoặc u(k − 1)u(k) < 0

Định lý 1.4 (Định lý Rolle rời rạc) Giả sử hàm u(k) xác định trên N(1, m) với

1 < m < ∞, m ∈N có Pm nút và ∆u(k) xác định trên N(1, m − 1) có Qm nút Khi

đó, Qm ≥ Pm− 1

Chứng minh Với m = 2, định lý trên đúng

Giả sử m > 2 và với số nguyên i < m thì kết quả là đúng

Nếu Pm = Pm−1, thì kết quả là đúng Do đó, giả sử k = m là một nút, suy ra

Pm = Pm−1+ 1

Giả sử rằng Pm−1 ≥ 1 Ta xét các trường hợp sau:

• Trường hợp 1 u(m) = u(m − 1) = 0 Khi đó, rõ ràng Q m = Q m−1 + 1

• Trường hợp 2.u(m) = 0, u(m − 1) 6= 0 Giả sửu(m − 1) > 0 Gọik = i là nútlớn nhất của u(1), u(2), , vớii ≤ m − 1 Do đó, Pi= Pm−1 và Qi≥ Pm−1− 1.– Với u(i) = 0, i < m − 1 và u(i + 1) > 0, sao cho ∆u(i) > 0, trong đó

∆u(m − 1) < 0 do đó Qm ≥ Qi+ 1 ≥ Pm−1 = Pm− 1

– Với u(i)u(i − 1) < 0 và u(m − 1) > 0, tức là u(i) > 0, u(i − 1) < 0 Vì vậy,

∆u(i − 1) > 0 thì ∆u(m − 1) < 0 nên kết quả trên đúng

• Trường hợp 3 u(m)u(m − 1) < 0, giả sử, u(m) < 0, u(m − 1) > 0 Chứngminh tương tự trường hợp cuối



Định lý 1.5 (Định lý giá trị trung bình rời rạc) Giả sử hàm u(k) là hàm thực

vô hướng xác định trên N(a, b) Khi đó, tồn tại một c ∈N(a + 1, b − 1) sao cho

∆u(c) ≤ u(b) − u(a)

Gọi g(k) là một hàm xác định trên N(a, b), sao cho g(a) = g(b) Khi đó, g(k)

sẽ đạt cực đại hoặc cực tiểu tại một số c ∈N(a + 1, b − 1) (Nếu g(k) là hằng số,thì chúng ta có thể lấy bất kỳ điểm nào thuộc N(a + 1, b − 1))

Ta lấy một hàm phụ v(k) trên N(a, b) như sau

v(k) = u(k) − u(b) − u(a)

Hệ quả 1.6 Giả sử hàm u(k) là hàm thực vô hướng xác định trên N(a, b) và

M = max{|∆u(k)| : k ∈N(a, b - 1)} Khi đó

u(b) − u(a)

b − a

Chứng minh Chứng minh bằng phương pháp quy nạp.

vô hướng xác định trên N(a) và v(k) > 0, ∆v(k) < 0 với mọi k ∈N(a)

Khi đó, nếu lim

k→∞ u(k) = lim

k→∞ v(k) = 0 thì

lim inf ∆u(k)

∆v(k) ≤ lim inf u(k)

v(k) ≤ lim supu(k)

v(k) ≤ lim sup∆u(k)

∆v(k). (1.8)Chứng minh Lấy k1 ∈N(a) đủ lớn để ∀k ∈N(k1), v(k) > 0 và ∆v(k) < 0

Ta giả sử rằng ∆u(k)

∆v(k) ≥ c với mọi k ∈N(k1), trong đó c ∈ R.

Khi đó, ∆u(k) ≤ c∆v(k) và lấy tổng bất đẳng thức này ta được

u(k + p) − u(k) ≤ c(v(k + p) − v(k)), ∀k ∈N(k 1 ) và 0 < p ∈N.

Cho p → ∞, ta được −u(k) ≤ −cv(k), tương tự

Định lý 1.12 (Quy tắc L’Hospital rời rạc) Giả sử u(k) và v(k) xác định trên

N(a) và v(k) > 0, ∆v(k) > 0 với k ∈N(a) đủ lớn Khi đó, nếu

Chứng minh Nếu lim



≤ u(k + p)v(k + p) − u(k)

v(k + p) ≤ (c + )



1 − v(k)v(k + p)



.

Cho p → ∞ trong bất đẳng thức trên ta được (1.9)

Nếu c là vô hạn, giả sử, ∞ (trường hợp −∞ tương tự) thì với một C > 0 tùy

ý, tồn tại k2 ∈N(a) lớn sao cho ∆u(k)

∆v(k) ≥ C với mọi k ∈N(k2).Tức là,

∆u(k) ≥ c∆v(k).

Tính tổng bất đẳng thức trên, ta được

u(k + p) − u(k) ≥ C[v(k + p) − v(k)] với mọi k ∈N(k2) và 0 < p ∈ N.

Lấy p → ∞ trong bất đẳng thức trên ta được lim

k→∞ ∆mu(k) > 0 thì tồn tại k1 ∈ N(a) đủ lớn sao cho

∆mu(k) ≥ c > 0 với mọi k ∈N(k 1 )

Định lý 1.14 (Định lý Kneser rời rạc) Giả sử u(k) là hàm thực vô hướng xácđịnh trên N(a), và u(k) > 0 với ∆nu(k) là hằng số trên N(a) và không đồng nhấtvới 0 Khi đó, với mọi số nguyên n, tồn tại số nguyên m, 0 ≤ m ≤ n Ta có

∆nu(k) ≤ 0 với n + m lẻ hoặc ∆nu(k) > 0 với n + m chẵn và nếu m ≤ n − 1 thì

(−1)m+i∆iu(k) > 0 với mọi k ∈N(a), nếu m ≤ i ≤ n − 1, m ≥ 1 thì ∆iu(k) > 0 vớimọi k lớn N(a) đủ lớn và 1 ≤ i ≤ m − 1

Chứng minh Xét hai trường hợp:

Trường hợp 1 ∆nu(k) ≤ 0 trên N(a)

Đầu tiên ta chứng minh rằng ∆n−1u(k) > 0 trên N(a) Giả sử trái lại, khi đótồn tại k1 ≥ a trong N(a) sao cho ∆n−1u(k) ≤ 0

Vì ∆n−1u(k) giảm và không đồng nhất trên N(a) nên tồn tại k 2 ∈ N(k 1 ) saocho ∆n−1u(k) ≤ ∆n−1u (k 2 ) < ∆n−1u (k 1 ) ≤ 0 với mọi k ∈N(k 2 ) Theo Bổ đề 1.13

ta thấy lim

k→∞ u(k) = −∞ mâu thuẫn với u(k) > 0 Do đó, ∆n−1u(k) > 0 trên N(a)

và tồn tại số nguyên nhỏ nhất m, 0 ≤ m ≤ n với n + m lẻ và

(−1)m+i∆iu(k) > 0 trên N(a), m ≤ i ≤ n − 1. (1.10)Tiếp theo cho m > 1 và

Cứ thực hiện tiếp tục như vậy theo Bổ đề 1.13 ta được

∆m−2u(k) > 0 trên N(a). (1.12)Lấy (1.10) − (1.12), ta được

(−1)(m−2)+i∆iu(k) > 0 trên N(a), m − 2 ≤ i ≤ n − 1,

điều này mâu thuẫn với định nghĩa của m Vì vậy, (1.11) không xảy ra và

∆m−1u(k) > 0 trên N(a)

Từ (1.10), ∆m−1u(k) không giảm và do đó lim

k→∞ ∆m−1u(k) > 0.Nếu m > 2, từ Bổ đề 1.13 ta thấy lim

k→∞ ∆iu(k) = ∞, 1 ≤ i ≤ m − 2.Như vậy, ∆iu(k) > 0 với mọi k lớn, N(a), 1 ≤ i ≤ m − 1

Trường hợp 2 ∆nu(k) ≥ 0 trên N(a)

Gọi k3 ∈ N(k2) sao cho ∆n−1u (k3) ≥ 0, thì do ∆n−1u(k) không giảm và khôngđồng nhất, tồn tại một số k4 ∈N(k3) sao cho ∆n−1u(k) > 0 với mọi k ∈ N(k4)

Do đó, limk→∞∆n−1u(k) > 0 và từ Bổ đề 1.13 lim

k→∞ ∆iu(k) = ∞, 1 ≤ i ≤ n − 2 và

do đó ∆iu(k) > 0 với mọi k lớn trong N(a), 1 ≤ i ≤ n − 1

Điều này chứng minh định lý cho m = n Trong trường hợp ∆n−1u(k) < 0 vớimọik ∈N(a), từ Bổ đề1.13 ta thấy ∆n−2u(k) > 0 với mọik ∈N(a) Phần còn lạichứng minh tương tự như trong Trường hợp 1 

Hệ quả 1.15 Chou(k)là hàm thực vô hướng được xác định trên N(a)vàu(k) > 0

với ∆nu(k) ≤ 0 trên N(a) và không đồng nhất với 0 Khi đó, tồn tại một k 1 đủlớn trong N(a) sao cho với mọi k ∈N(k 1 )

u(k) ≥ 1

(n − 1)!∆

Chứng minh Từ Định lý 1.14, suy ra (−1)n+i−1∆iu(k) > 0 trên N(a), m ≤ i ≤

n − 1, và ∆iu(k) > 0 với mọi k lớn trong N(a) Giả sử, với mọi k ≥ k1 trong

N(a), 1 ≤ i ≤ m − 1 Sử dụng các bất đẳng thức này, ta thu được

Do đó, sau (m − 1) tổng, ta thu được (1.13) 

Hệ quả 1.16 Chou(k)là hàm thực vô hướng được xác định trên N(a)vàu(k) > 0

với ∆nu(k) ≤ 0 trên N(a) và có giới hạn Khi đó

i lim

k→∞ ∆iu(k) = 0, 1 ≤ i ≤ n − 1

ii (−1)i+1∆n−iu(k) ≥ 0 với mọi k ∈N(a), 1 ≤ i ≤ n − 1

Hệ quả 1.17 Chou(k)là hàm thực vô hướng được xác định trên N(a)vàu(k) > 0

với ∆nu(k) ≤ 0 trên N(a) và không đồng nhất với 0 Khi đó, có một trong nhữngđiều sau đây là đúng

i lim

k→∞ ∆iu(k) = 0, 1 ≤ i ≤ n − 1

ii Tồn tại số nguyên lẻ j, 1 ≤ j ≤ n − 1 sao cho lim

k→∞ ∆n−iu(k) = 0 với 1 ≤ i ≤

Chương 2

BẤT ĐẲNG THỨC SAI PHÂN

Trong chương này, chúng tôi hệ thống, làm rõ một số kết quả về bất đẳngthức Gronwall, bất đẳng thức phi tuyến, bất đẳng thức sai phân cấp n, hệ bấtđẳng thức hữu hạn và bất đẳng thức Opial Nội dung chính của chương đượcviết dựa trên các kết quả đã được đề cập trong [1], [3]-[9]

trong đó u(k), p(k), q(k), f (k) là các hàm thực vô hướng xác định trên N

Chứng minh Định nghĩa một hàm v(k) trên N(a) như sau

Vì 1 + q(k)f (k) > 0 với mọi k ∈ N(a) nên ta nhân 2 vế của (2.4) với

k

Q

l=a

(1 + q(l)f (l))−1, để thu được

Mặt khác, vì u(k) ≤ p(k) + q(k)v(k) nên suy ra điều phải chứng minh 

Hệ quả 2.2 Trong Định lý 2.1, ta giả sử p(k) = p và q(k) = q với mọik ∈N(a).Khi đó

Vì u(k) ≤ p(k) + q(k)v(k), và v(k) không giảm theo k, từ (2.9) ta được

Mà u(k) ≤ p(k) + q(k)v(k) nên ta suy ra điều phải chứng minh

Điều kiện (c) Ta nói rằng điều kiện (c) được thỏa mãn nếu với mọik ∈N(a)

thì bất đẳng thức (2.6) tồn tại, trong đó

fii(k) = fi(k), 1 ≤ i ≤ r,

fi+1,i(k) = fi+2,i(k) = = fr,i(k) = gi(k), 1 ≤ i ≤ r − 1.

Trong các kết quả tiếp theo, với mọi k ∈N(a), ta kí hiệu

trong đó 1 ≤ j ≤ r, gr(k) = 0 với mọi k ∈N(a).

Định lý 2.5 Giả sử điều kiện (c) được thỏa mãn Khi đó, với mọi k ∈N(a) tacó

u(k) ≤ p(k) + q(k)ψj(k), 1 ≤ j ≤ r (2.10)trong đó

Lập luận tương tự Định lý 2.1, cụ thể như sau.

Hệ quả 2.7 Ta thêm vào giả thiết của Định lý 2.6 điều kiện pi(k) ≥ 1 với mọi

k ∈N(a), 1 ≤ i ≤ r Khi đó, với mọi k ∈N(a), ta có

Chứng minh Chứng minh bằng phương pháp quy nạp

* Với r = 1, Theo hệ quả 2.3 ta có u(k) ≤ G1[p0(k) ]

* Giải sử kết quả trên đúng với mọi số j, trong đó 1 < j ≤ r − 1.

p0(k) +  với  > 0 bất kỳ Sau đó, trong bất đẳng thức cần chứng minh, ta cho

Đặt v(k) là vế phải của (2.26), khi đó với mọi k, r ∈N(a), k ≤ r dẫn đến u(k) ≤ v(k), và

Xét hàm φ(t) = (k − τ − t)−1/2t−1/2, 0 < t < k − τ (≥ 2) Hàm này lồi chặt trênkhoảng đã cho và đạt cực tiểu tại t = (k − τ )/2 Do đó,



k − τ − 1

k − τ + 1 2

1 dt1= B1

2,

1 2

và khi α > 1, ta giả thiết rằng q1−α+ (1 − α)Q(k) > 0 với mọi k ∈N(a).

Chứng minh Bất đẳng thức (2.33) có thể viết dưới dạng u(k) ≤ p(k)v(k), trongđó

1 − (1 − e(k))1r

, (2.40)trong đó

Chứng minh Chú ý rằng hàm e(k) là nghiệm của bài toán giá trị ban đầu

∆e(k) = −f (k)qr(k)e(k + 1), e(a) = 1. (2.42)

Ta định nghĩa hàm v(k) như sau

!r

−f (k)q

r (k)v(k)

1 + f (k)q r (k). (2.44)Lấy tổng của (2.44) từ a đến k − 1, chuyển tổng thứ hai từ vế phải qua vế trái,lấy căn bậc r ở cả hai vế và áp dụng bất đẳng thức Minkowski cho các tổng ở

có dạng w(t) = (c + t)1/r− t1/r(c ≥ 0, r ≥ 1) Vì w0(t) ≤ 0 với mọi t ≥ 0, nên ta có

thể thayt bằng một lượng lớn hơn mà không làm thay đổi bất đẳng thức (2.45).Chú ý rằng

1r

−



v(k) e(k) − v(k)

với mọi u ≥ 0, v ≥ 1.Định lý 2.15 Với mọi k ∈N(a), giả sử bất đẳng thức sau đây được thỏa mãn

trong đó (i) p(k) ≥ 1 và không giảm, (ii) pi(k) ≥ 1, 1 ≤ i ≤ r2, (iii) Wi ∈ T, 1 ≤

i ≤ r2 Khi đó, với mọi k ∈N(a), bất đẳng thức sau đây đúng

Định lý 2.16 Ta thêm vào giả thiết của Định lý 2.15 điều kiện pi(k), 1 ≤ i ≤ r2

không giảm với mọi k ∈N(a) Khi đó, với mọi k ∈N(a) ta có

trong đó G1 xác định như trong Định lý 2.15.

Định lý 2.18 Giả sử trong Định lý 2.17, các giả thiết (i) và (ii) được thay thếbởi (i) p(k) là dương và không giảm, (ii) W1 là dương, liên tục, không giảm và

đa bội trên [0, ∞) Khi đó, với mọi k ∈N(a) ta có



∈ Dom G−11

,

trong đó G1 xác định như trong Định lý 2.15

Chứng minh Áp dụng Hệ quả 2.3 ta được

Gọi w(k) là vế phải của (2.55), khi đó ta có

khi đó (2.56) có thể được viết là

Sử dụng tính chất không giảm của v(k), bất đẳng thức trên cho ta

Kết hợp với (2.60) suy ra điều phải chứng minh 

Hệ quả 2.20 Ta thêm vào giả thiết của Định lý 2.19, điều kiện

∆iu(a) = 0, 0 ≤ i ≤ n − 1, p(k) là không giảm và q(k) = 1 với mọi k ∈N(a) Khi đó, với mọi k ∈N(a) ta có

Chứng minh Chứng minh tương tự như trong Hệ quả 2.3 và sử dụng đẳng thức

Định lý 2.21 Ta thêm vào giả thiết của Định lý 2.19 điều kiện qi(k) = q∗(k),

0 ≤ i ≤ n và q(k) ≥ 1 với mọi k ∈N(a) Khi đó, với mọi k ∈N(a) ta có

∆nu(k) ≤ p(k) + q(k)B i (k), 1 ≤ i ≤ n + 1. (2.61)Trong đó

Do đó

∆v 1 (k) + q∗(k)v 1 (k) ≤ q∗(k)φ 4 (k) + q∗(k)q(k)v 1 (k) + q∗(k)v 2 (k), (2.62)trong đó

Tiếp tục theo cách này, ta được

Nhận xét 2.22 Trong Định lý2.21, ta cần điều kiệnq(k) ≥ 1để chứng minh kếtluận (2.61) Do đó, thay vìq(k) ≥ 1thì chỉ cần dùng điều kiện1+q∗(k)(q(k)−1) ≥

0 với mọi k ∈ N(a) là đủ Hơn nữa, nếu không có điều kiện trên q(k), thì ướclượng trên có thể thu được từ bất đẳng thức

Vì v(k) và e(k) không giảm, ta có

Giới hạn i trong phạm vi các số nguyên 1, , nvà r là một số nguyên dương

cố định sao cho 1 ≤ r ≤ n Giới hạn p và q trong phạm vi các số nguyên tươngứng 1, , r và r + 1, , n Trong nội dung này các định nghĩa, định lý, hệ quảđược trình bày với hàm u(k), v(k) là các hàm thực véc-tơ

Định nghĩa 2.24 Hàm f (k, u) được gọi là có tính đơn điệu hỗn hợp nếu(i) fp(k, u) là không giảm trong u1, , ur và không tăng trong ur+1, , un vớimọi k cố định ∈N(a),

(ii) fq(k, u) không giảm trong u1, , ur và không giảm trong ur+1, , un.Đặc biệt f (k, u) được gọi là có tính không giảm nếu fi(k, u) không giảm trong

u1, , un với mọi k cố định ∈N(a)

Định nghĩa 2.25 Hàmv(k) xác định trên N(a)được gọi là hàmrdưới và(n−r)

trên, đối với hệ u(k + 1) = f (k, u(k)) nếu v p (k + 1) ≤ f p (k, v(k)) và v q (k + 1) ≥

f q (k, v(k)) với mọi k ∈N(a)

Nếu v(k) thỏa mãn các bất đẳng thức ngược lại, thì được gọi là 1 hàm r trên

BẤT ĐẲNG THỨC SAI PHÂN

Trong chương này, hệ thống, làm rõ số kết bất đẳngthức Gronwall, bất đẳng thức phi tuyến, bất đẳng thức sai phân cấp n, hệ bất? ?ẳng thức. .. (2.56) viết là

Sử dụng tính chất khơng giảm v(k), bất đẳng thức cho ta

Kết hợp với (2.60) suy điều phải chứng minh 

Hệ 2.20 Ta thêm vào giả thiết Định lý 2.19,... 35

Chứng minh Chứng minh tương tự Hệ 2.3 sử dụng đẳng thức< /p>

Định lý 2.21 Ta thêm vào giả thiết Định lý 2.19 điều