BÀI tập lớn NGUYÊN hàm TÍCH PHÂN và ỨNG DỤNG ỨNG DỤNG của TÍCH PHÂN

Giả sử hàm liên tục trên khoảng Khi đó hàm số được gọi là một nguyên hàm của hàm số khi và chỉ khi b.. Bảng công thức nguyên hàm của một số hàm số TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail

Trang 1

KHOA SƯ PHẠM VÀ XÃ HỘI NHÂN VĂN

BỘ MÔN SƯ PHẠM

HOÀNG THỊ NGỌC BÍCH MAN KOMNACH THẠCH ĐÀO ĐỨC MINH

BÀI TẬP LỚN NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG

Học phần: Giải toán phổ thông

Mã học phần: A27028

Kiên Giang – Năm 2022

TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com

Trang 2

KHOA SƯ PHẠM VÀ XÃ HỘI NHÂN VĂN

BỘ MÔN SƯ PHẠM

HOÀNG THỊ NGỌC BÍCH MSSV: 2006208011 MAN KOMNACH MSSV: 2006208016 THẠCH ĐÀO ĐỨC MINH MSSV: 2006208013

BÀI TẬP LỚN NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG

Học phần: Giải toán phổ thông

Mã học phần: A27028

GIẢNG VIÊN HƯỚNG DẪN NGUYỄN THỊ KIM HOA

Kiên Giang – Năm 2022

Trang 3

KHOA SƯ PHẠM VÀ XHNV CỘNG HOÀ XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM

BỘ MÔN SƯ PHẠM Độc lập - Tự do - Hạnh phúc

PHIẾU ĐÁNH GIÁ BÀI TẬP LỚN

Họ và tên giảng viên: ………

Họ và tên sinh viên:.……… …… MSSV: ………

Tên báo cáo: ………

………

Ý KIẾN NHẬN XÉT 1 Hình thức trình bày bài tập lớn:

2 Nội dung bài tập lớn:

3 Điểm số (theo thang điểm 10; lẻ 0,5):………

………., ngày tháng năm 20

…

GIẢNG VIÊN

(Ký và ghi rõ họ tên)

Trang 5

MỤC LỤC

Tran g

CHƯƠNG 1 NGUYÊN HÀM 1

1.1 Định nghĩa nguyên hàm 1

1.2 Các tính chất của nguyên hàm 1

1.3 Bảng công thức nguyên hàm của một số hàm số 1

1.4 Một số phương pháp tính nguyên hàm 2

1.4.1 Phương pháp ghép vi phân thích hợp 2

1.4.2 Nguyên hàm các hàm phân thức hữu tỉ 3

1.4.3 Nguyên hàm theo từng phần 7

1.4.4 Nguyên hàm hàm số có căn thức 9

1.4.5 Nguyên hàm hàm lượng giác 12

CHƯƠNG 2 TÍCH PHÂN 14

2.1 Định nghĩa 14

2.2 Tính chất 14

2.3 Phương pháp tính tích phân 15

2.3.1 Phương pháp đổi biến 15

2.3.2 Phương pháp tính tích phân từng phần 18

2.4 Tích phân các hàm số sơ cấp cơ bản 21

2.4.1 Tích phân hàm hữu tỉ 21

2.4.2 Tích phân hàm vô tỉ 22

2.4.3 Tích phân hàm lượng giác 25

CHƯƠNG 3 ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN 29

3.1 Diện tích hình phẳng 29

3.2 Thể tích vật thể và thể tích khối tròn xoay 29

CHƯƠNG 4 BÀI TẬP TỔNG HỢP 32

Trang 6

Trang 7

CHƯƠNG 1 NGUYÊN HÀM

1.1 Định nghĩa nguyên hàm

a Giả sử hàm liên tục trên khoảng Khi đó hàm số

được

gọi là một nguyên hàm của hàm số khi và chỉ khi

b Nếu là một nguyên hàm của hàm số thì tập hợp tất cả cácnguyên hàm của hàm số là tập và tập này cònđược kí hiệu là:

1.3 Bảng công thức nguyên hàm của một số hàm số

Trang 9

1.4.2 Nguyên hàm các hàm phân thức hữu tỉ

a Các định nghĩa

Phân thức hữu tỉ là biểu thức dạng với là các đa thức với hệ số thực

Phân thức thực sự là phân thức hữu tỉ với

Phân thức đơn giản là 1 trong 4 dạng phân thức sau:

Định lí tổng quát về tích phân đa thức

Mọi đa thức với hệ số thực đều có duy nhất một cách phân tích thành các nhân tử (không tính theo thứ tự sắp xếp các nhân tử) gồm các nhị thức bậc nhất và cáctam thức bậc hai có biệt thức tức là ta có

trong đó: là các nghiệm thực phân biệt của là các số thực thỏa mãn

b Phương pháp tính

Nguyên hàm các hàm phân thức cơ

Trang 10

Trang 11

+

Đặt

Cách 1: Phương pháp lượng giác

Trang 12

với Đặt

và

Vậy thay vào ta có

Trang 13

Trang 14

Do đó

Cách 2: Phương pháp gán các giá trị đặc biệt

Thay vào suy ra:

Ví dụ 1.2.2.

Tính

Ta có:

Thay vào suy ra:

Trang 15

Giả sử có đạo hàm liên tục trong miền D, khi đó ta có

Nhận dạng: Hàm số dưới nguyên hàm thường là tích 2 loại hàm số khác nhau.

Ý nghĩa: Đưa một nguyên hàm phức tạp về nguyên hàm đơn giản hơn (trong nhiều

trường hợp việc sử dụng nguyên hàm từng phần sẽ khử bớt hàm số dưới dấu nguyênhàm và cuối cùng chỉ còn 1 loại hàm số dưới nguyên hàm)

Chú ý: Cần chọn sao cho đơn giản và dễ tính được đồng thời nguyên hàm đơn giản hơn nguyên hàm

Trang 17

Trang 18

Nếu thì gọi là mẫu số chung nhỏ nhất của các phân số tối giản biểu thịbởi Khi đó đặt

Nếu thì gọi là mẫu số của và đặt

b Nguyên hàm hàm vô tỉ bằng phương pháp lượng giác hóa

Trang 20

Trang 22

Tính (Với

1.4.5 Nguyên hàm hàm lượng giác

d Các dạng nguyên hàm cơ bản của hàm lượng giác

Trang 23

+ Nếu lẻ, chẵn thì biến đổi:

+ Nếu lẻ, lẻ thì sử dụng biến đổi ở trường hợp 2 hoặc trường hợp 3 cho số mũ bé hơn

Trường hợp 2: Nếu là các số hữu tỉ thì biến đổi và đặt

Tích phân (*) tính được 1 trong 3 số nguyên

Dạng 3:

Trang 24

CHƯƠNG 2 TÍCH PHÂN

2.1 Định nghĩa

Cho hàm số liên tục trên đoạn Giả sử là một nguyên hàm của hàm số trên đoạn hiệu số được gọi là tích phân từ đến (hay tíchphân xác định trên đoạn của hàm số

Kí hiệu là:

Vậy ta có:

Chú ý: Trong trường hợp ta quy ước:

Trường hợp ta định nghĩa:

Nhận xét: Tích phân của hàm số từ đến có thể kí hiệu bởi hay

Tích phân đó chỉ phụ thuộc vào và các cận mà không phụ thuộc vào cách ghi biến số

Trang 25

2.3.1 Phương pháp đổi biến

a Phương pháp đổi biến số loại 1

Định lí: Cho hàm số liên tục trên Giả sử hàm số có đạo hàm liên

b Phương pháp đổi biến loại 2

Trang 26

Định lí: Cho hàm số liên tục trên đoạn Để tính đôi khi ta chọnhàm số làm biến số mới, trong đó trên đoạn có đạo hàm liên tục vàGiả sử có thể viết:

với liên tục trên đoạn Khi đó ta có:

c Các cách đặt cho các dạng toán tích phân thường gặp:

Đặt trừ một số trường hợp đổi biến dạng2

Trang 27

Đặt Đặt

Đặt Đặt Đặt Đặt Đặt

Trang 28

Cách 3: Thực hiện phép biến đổi:

Cách 3 được trình bày dựa trên ý tưởng đổi biến của cách 2

Trang 29

Chú ý: Nên chọn là phần của mà khi lấy đạo hàm thì đơn giản, chọn

là phần của là vi phân một hàm số đã biết hoặc có nguyên hàm dễ tìm

Trang 32

Bằng phương pháp đồng nhất hệ số, ta tìm và sao cho

Ta có:

Tích phân

Trang 33

Trang 34

Tính tích phân với và là hai đa thức của

Nếu bậc của lớn hơn hoặc bằng bậc của thì dùng phép chia đa thức.Nếu bậc của nhỏ hơn bậc của thì xét các trường hợp:

+ Khi chỉ có nghiệm đơn thì đặt

+ Khi có nghiệm đơn và vô nghiệm

Trang 37

Trang 38

c Tích phân dạng

Phương pháp:

+ Bước 1: Phân tích:

+ Bước 2: Đặt

+ Bước 3: Thay tất cả vào (1) thì có dạng:

Tích phân này chúng ta biết cách tính

2.4.3 Tích phân hàm lượng giác

a Một số dạng tích phân lượng giác

Trang 39

Trang 43

CHƯƠNG 3 ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN

3.1 Diện tích hình phẳng

a) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số liên tục trên đoạn

trục hoành và hai đường thẳng được xác định:

b) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số liên tục trên

đoạn và hai đường thẳng được xác định:

Trang 44

Trang 45

Trên hàm số không đổi dấu thì

Nắm vững cách tính tích phân của hàm số chưa giá trị tuyệt đối

Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường và hai đường

thẳng được xác định:

3.2 Thể tích vật thể và thể tích khối tròn xoay

a) Thể tích vật thể

Gọi B là phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng vuông góc với trục tại các điểm

và là diện tích thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục tại điểm Giả sử là hàm số liên tục trên đoạn

b) xoay:

Thể tích khối tròn

- Thể tích khối tròn xoay đượcsinh ra khi quay hình phẳnggiới hạn bởi các đường

trục hoành và hai đường thẳng quanh trục

- Thể tích khối tròn xoay được sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường

trục hoành và hai đường thẳng quanh trục

Trang 46

- Thể tích khối tròn xoay được sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường

và hai đường thẳng quanh trục

Trang 47

Thay vào suy ra:

Trang 48

Thay vào suy ra:

Trang 53

Theo công thức ta có:

Xét phương trình trên đoạn có nghiệm

Bài tập 10 Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi hai đồ thị hàm số

và hình dáng như hình vẽ dưới đây.

Đáy là hình tròn giới hạn bởi

Giao điểm của thiết diện và là Đặt suy ra cạnh của thiết diện là

Diện tích thiết diện tại là TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com

Trang 54

Chiều cao ( vuông góc so

với mặt phẳng đáy) Các cạnh bên của

(H) là các sợi dây nằm

trên các đường parabol có trục đối

xứng song song với Giả sử giao

tuyến (nếu có) của (H) với mặt phẳng

(P) vuông góc với là một lục giác

đều và khi (P) qua trung điểm của

Suy ra:

Vì

Trang 55

Trang 56

Nếu ta đặt thì

Khi đó diện tích của thiết diện lục giác:

với

(Diện tích thiết diện lục giác bằng 6 lần diện

tích tam giác đều nhỏ tạo nên nó)

Vậy thể tích của túp liều theo đề bài là:

Tiêu đề	Bài Tập Lớn Nguyên Hàm – Tích Phân Và Ứng Dụng
Tác giả	Hoàng Thị Ngọc Bích, Man Komnach, Thạch Đào Đức Minh
Người hướng dẫn	Nguyễn Thị Kim Hoa
Trường học	Khoa Sư Phạm và Xã Hội Nhân Văn
Chuyên ngành	Giải Toán Phổ Thông
Thể loại	Bài Tập Lớn
Năm xuất bản	2022
Thành phố	Kiên Giang

Định dạng
Số trang	56
Dung lượng	3,22 MB