(TIỂU LUẬN) QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH và ỨNG DỤNG ỨNG DỤNG TRONG đời SỐNG HÀNG NGÀY có sử DỤNG KIẾN THỨC của môn QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH

Cách đưa bài toán quy hoạch tuyến tính về dạng chính tắc 1.4.. Các tính chất cơ bản của bài toán quy hoạch tuyến tính.... CHƯƠNG 2 PHƯƠNG PHÁP ĐƠN HÌNH 2.1 Khái niệm về bài toán quy hoạc

- Thành phố Hồ Chí Minh

-2021 -TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

KHOA CÔNG NGHỆ THÔNG TIN



TIỂU

LUẬN

MÔN HỌC

MÔN : QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH VÀ ỨNG DỤNG

Mã lớp:2021COMP150204

Tên giảng viên: Trịnh Huy Hoàng Tên sinh viên: Trần Công Minh MSSV: 46.01.104.105

1.1.Khái niệm bài toán quy hoạch tuyến tính

1.1.1.Các ví dụ dẫn đến bài toán quy hoạch tuyến tính

1.1.2.Định nghĩa

1.2 Bài toán quy hoạch tuyến tính tổng quát

1.3 Cách đưa bài toán quy hoạch tuyến tính về dạng chính tắc 1.4 Quy hoạch tuyến tính dạng chính tắc

1.5 Các tính chất cơ bản của bài toán quy hoạch tuyến tính

CHƯƠNG 2 PHƯƠNG PHÁP ĐƠN HÌNH 2.1 Khái niệm về bài toán quy hoạch tuyến tính đối ngẫu 2.1.1 Ý nghĩa kinh tế của bài toán đối ngẫu

2.1.2 Định nghĩa .

2.1.3 Quy tắt thành lập bài toán đối ngẫu .

2.2 Các định nghĩa đối ngẫu 2.3 Phương pháp đơn hình đối ngẫu 2.3.1 Trường hợp có giả phương án xuất phát

2.3.2 Trường hợp chưa có giả phương án xuất phát

2.3.3 Bài toán QHTT có tham số ở vế phải

2.4 Phân tích hậu tối ưu

2.4.1 Giá mờ

2.4.2 Trường hợp PATU không đổi

2.4.3 Trường hợp hiệu chỉnh được nghiệm tối

CHƯƠNG 3 BÀI TOÁN ĐỐI NGẪU

3.1 Cách làm bài toán đối ngẫu

3.2.Các cặp ràng buộc đối ngẫu

3.3 Các định lý đối ngẫu

CHƯƠNG 4: BÀI TOÁN VẬN TẢI

4.1.Một số định nghĩa liên quan

4.2.Một số tính chất cơ bản của bài toán vận tải

4.3.Giải thuận thế vị

4.3.Bài toán vận tải suy biến

4.4.Bài toán vận tải không cân bằng thu phát

YÊU CẦU 2: ỨNG DỤNG TRONG ĐỜI SỐNG HÀNG NGÀY CÓ SỬ DỤNG KIẾN THỨC CỦA MÔN QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH 20

YÊU CẦU 3: TRÌNH BÀY 4 HỌC PHẦN CHUYÊN NGÀNH TRONG CHƯƠNG TRÌNH ĐÀO TẠO (SƯ PHẠM TIN HOẶC CÔNG NGHỆ THÔNG TIN) MÀ CÓ

SỰ VẬN DỤNG KIẾN THỨC CỦA MÔN QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH ĐỂ HỖ TRỢ GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ TIN HỌC, MINH HOẠ CỤ THỂ 22

YÊU CẦU 4: TÌM HIỂU VÀ SỬ DỤNG THƯ VIỆN QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH TRONG NGÔN NGỮ LẬP TRÌNH

YÊU CẦU 1: BÀI NGHIỆM THU

CHƯƠNG 3: BÀI TOÁN ĐỐI NGẪU

3.1.Cách thành lập bài toán đối ngẫu:

 Với bài toán QHTT, bài toán gốc, ký hiệu là P (Primal), chúng ta có thể thiết lập bài toán QHTT khác, bài toán đối ngẫu, ký hiệu là D (Dual), sao cho từ lời giải của bài toán này ta

có thể thu thập được thông tin cho lời giải của bài toán kia.

 Hơn nữa, khi phân tích đồng thời cả hai bài toán gốc và đối ngẫu, chúng ta có thể rút ra các kết luận có giá trị về mặt toán học lẫn về mặt ý nghĩa kinh tế

Giả sử có bài toán QHTT (bài toán gốc) f(x)= c 1 x 1 + c 2 x 2 + … +c n x n → min

a 11 x 1 + a 12 x 2 + … +a 1 n x n ( ≤ ;=;≥)b 1

………

a m 1 x 1 + a m 2 x 2 + …+a mn x n (≤;=; ≥) b m

x j ( ≤ ;=;≥ ) 0 (l=1.n)

Khi đó bài toán đối ngẫu có dạng:

´

f ( x ) = b 1 y 1 + b 2 y 2 + …+ b m y m →max

a 11 y 1 + a 21 y 2 + …+a m 1 y m (≤;=; ≥) c 1

………

a 1n y 1 + a 2 n y 2 + …+a mn y m (≤;=; ≥) c n

y 1 (≤ ;=; ≥) 0 (i=1 m)

Về dấu: BT gốc quy định BT đối ngẫu + Ràng buộc biến quy định ràng buộc chung + Ràng buộc chung quy định ràng buộc dấu

Ví dụ1: Lập bài toán đối ngẫu của bài toán sau:

Bài toán gốc:

f(x)= x 1 + x 2 +3 x 3 → min

{ − x 1 +3 x 2 =5

2 x 1 − x 2 +3 x 3 ≥ 6

x 3 ≤ 4

x 1 ≥ 0 , x 2 ≤ 0

Bài toán đối ngẫu:

f(x)= 5 y 1 + 6 y 2 + 4 y 3 →max

{ − y 1 + 2 y 2 ≤5

3 y 1 − y 2 ≥ 1

3 y 2 + y 3 =3

y 2 ≥0 , y 3 ≤0

3.2.Cặp ràng buộc đối ngẫu:

Ta gọi 2 ràng buộc bất đẳng thức (kể cả ràng buộc dấu) trong hai bài toán cùng tương ứng với một chỉ số là một cặp ràng buộc đối ngẫu :

x j ≥ 0↔ ∑

i=1

m

a ij x j ≤ c j (j= 1 , n ´ )

Ví dụ 1:

Bài toán gốc:

f(X)= x 1 +3 x 2 +2 x 3 → min

2 x 1 + x 2 + x 3 + x 4 ≥ 2

x 1 −2 x 2 − x 3 +3 x 4 ≥5

− x 1 − x 2 + x 3 + x 4 ≥ 1

x j ≥ 0 ¿ ) Bài toán đối ngẫu:

g(Y)= 2 y 1 +5 y 2 + y 3 →max

2 y 1 + y 2 − y 3 ≤ 1

y 1 −2 y 2 − y 3 ≤3

y 1 − y 2 + y 3 ≤2

y 1 +3 y 2 + y 3 ≤ 0

y j ≥ 0 (i= ´ 1,3 )

3.3.Các định lý đối ngẫu:

Định lý 1:Nếu một trong hai bài toán đối ngẫu nhau có P.A.T.Ư thì bài toán kia cũng có P.A.T.Ư và giá trị hàm mục tiêu của chúng bằng nhau.

Hệ quả 1: Điều kiện cần và đủ để cho các bài toán đối ngẫu nhau có phương án tối ưu là mỗi bài toán có ít nhất một phương án.

Hệ quả 2:Điều kiện cần và đủ để các bài toán đối ngẫu nhau không có P.A.T.Ư là một bài toán có P.A còn bài toán kia thì không có P.A.

Định lý 2.(Định lý độ lệch bù yếu):

- X;Y là 2 PA của cặp bài toán đối ngẫu (X là PA của bt gốc, Y là PA của bt đối ngẫu)

- Điều kiện cần và đủ để X; Y là 2 PA tối ưu của cặp bài toán đối ngẫu là:Trong các cặp ràng buộc đối ngẫu, nếu ràng buộc này là lỏng thì ràng buộc kia là chặt.

Chú ý: lỏng >chặt

chặt-/-> lỏng

Về mặt áp dụng:

 X* là PATƯ của bài toán P

 Từ X* và các cặp ràng buộc đối ngẫu (lỏngchặt) ta sẽ thu được hệ pt tuyến tính theo

y 1 ;y 2 ;…;y m.

 Giải hệ ta nhận được nghiệm Y=(y 1 ; ,y m )

 Nếu Y là PA của bài toán D thì Y = Y*

( Tương tự ta cũng có thể bắt đầu từ Y* )

Ví dụ : f(x)= x 1 −2 x 2 +2 x 3 + 0 x 4 → min

(P) { x 1 + x 2 + 4 x 4 =6

2 x 2 + x 3 +5 x 4 =8

x j ≥ 0 , j=1,2,1,4 ;

Có phương án tối ưu là x 0 =(2,4,0,0) và giá trị tối ưu là -6 Lập bt đối ngẫu (Q) của bt (P) và tìm PATƯ của bt (Q).

Giải:

g(x)= 6 y 1 +8 y 2 → max

• Bt đối ngẫu(Q) là: { y 1 ≤1

y 1 +2 y 2 ≤−2

y 2 ≤2

4 y 1 +5 y 2 ≤0

• Tìm PATƯ của(Q).

+Vì bt(P) có PATƯ nên theo định lí 1 thì bt(Q) cũng có PATƯ y 0 = (y 1 , y 2 ) và hơn nữa f(x 0 ) = g(y 0 )

+Ta có x 0 = (2,4,0,0).

Vì x 1 =2 nên theo định lí độ lệch bù thì ràng buộc thứ nhất của bt(Q): y 1 -1=0 (a).

Vì x 2 =4 nên theo định lí độ lệch bù thì ràng buộc thứ hai của bt(Q): y 1 +2y 2 +2=0 (b) Kết hợp (a), (b) ta có hệ pt:

y 1 + 2 y 2 +2=0 ↔ { y 1 =1

y 2 = −3 2

Vậy phương án tối ưu của bài toán đối ngẫu là: y 0 =(y 1 ,y 2 )=(1,-3/2) và giá trị tối ưu là: f(x 0 )=g(y 0 )=-6

CHƯƠNG 4: BÀI TOÁN VẬN TẢI

4.1 Một số định nghĩa liên quan;

 Một ma trận X =(x ij ) m × n thỏa các điều kiện (2a), (2b), (3) gọi là một phương án vận chuyển (PA)

 Một PA thỏa (1) được gọi là phương án vận chuyển tối ưu (PA.TƯ)

 Bài toán vận tải thông thường được biểu diễn dưới dạng bảng sau:

 Dây chuyền là một dãy ô sao cho:

 Trên một dòng hay cột có tối đa 2 ô.

 Hai ô liên tiếp phải ở trên 1 dòng hay 1 cột

 Vòng là 1 dây chuyền khép kín có tối thiểu 4 ô

 Những ô ứng với x ij > 0 của một PA được gọi là ô chọn, những ô còn lại được gọi là ô loại

Ô chọn đặc trưng cho tuyến đường có vận tải.

 Một phương án mà các ô chọn không tạo thành vòng gọi là phương án cực biên.

 Một PA.CB có đủ m+n-1 ô chọn gọi là PA.CB không suy biến.

 Một PA.CB ít hơn m+n-1 ô chọn gọi là PA.CB suy biến.

4.2.Một số tính chất cơ bản của bài toán vận tải:

Tính chất 1: Bài toán vận tải cân bằng thu phát luôn có phương án tối ưu.

Tính chất 2: Trong mọi PA.CB, số ô chọn không bao giờ vượt quá (m+n-1) ô.

Tính chất 3: Với một PA.CB có đủ (m+n-1) ô chọn thì 1 ô loại bất kỳ sẽ tạo nên một vòng duy nhất với một số ô chọn.

4.3 Giải thuật thế vị:

Định lý 1:

Nếu lần lượt cộng vào chi phí ở hàng 1,2 , … , m một lượng u 1 ,u 2 , … , u m và vào cột 1,2 , … , n

một lượng v 1 , v 2 , … , v n , tức là thay thế c ij bởi

c ij '

= c ij + u i + v j

thì ta được bài toán mới tương đương bài toán cũ.

Định nghĩa:

Các số u i , v j thỏa c ij + u i + v j =0 ô chọn (i,j) được gọi là các thế vị. Ɐ Đối với các ô loại, lượng ∆ ij = c ij + u i + v j được gọi là các lượng kiểm tra

Định lý 2:

 Nếu ∆ ij ≥ 0 , ∀(i, j)  ta có PA.TƯ

 Nếu ∃(i, j) sao cho ∆ ij <0 PA chưa tối ưu Cách tìm các thế vị:

 Việc tìm các thế vị thực chất chính là giải hệ phương trình c ij + u i + v j =0 ô chọn (i,j) Ɐ

 Chúng ta cho một u i (dòng i) hoặc v j (cột j) một giá trị bất kỳ, thông thường là chọn dòng hay cột có nhiều ô chọn nhất và gán giá trị 0 để giải hệ nhanh hơn.

 Tiếp theo chúng ta tính các thế vị u i và v j truy hồi như sau:

 u i =− c ij − v j

 v i =− c ij − u j

Các bước thực hiện:

Bước 1: Kiểm tra điều kiện cân bằng thu phát Bước 2: Tìm PA.CB X 0 bằng phương pháp chi phí nhỏ nhất Bước 3: Tính các thế vị

Bước 4: Tính các lượng kiểm tra:

 Nếu ∆ ij ≥ 0 , ∀(i, j)  X 0 là PA.TƯ.

 Ngược lại chọn ∆ rs = min { ∆ ij | (i , j )là ô lo i ạ }  lập phương án mới X '  quay lại bước 3 Cách lập phương án mới X ' :

 Tìm vòng V tạo bởi ô (r,s) với một số các ô chọn của PA X 0

.

 Đánh dấu (+) vào ô (r,s), dấu (-) vào ô kế tiếp và đánh xen kẽ như vậy cho đến hết vòng.

 Chọn q=min ¿

 Tính X ' :

 x ij '

= { x ij

0

− q n u ế (i, j)∈ V − ¿ ¿

x ij

0

+ q n u ế (i, j)∈ V + ¿¿

x ij

0

n i ơ khác

Ví dụ 4.3:

4.4 Bài toán vận tải suy biến:

Khái niệm về bài toán vận tải suy biến:

Nếu một PA.CB của bài toán vận tải có số ô chọn bé hơn m+n-1 thì lúc này ta gọi bài toán suy biến.

Khi bài toán suy biến ta khắc phục như sau:

 Ta thêm các ô chọn mới từ cái ô loại cho đủ m+n-1 ô chọn.

 Ô loại được chọn phải thỏa các tính chất:

 Không cùng các ô chọn khác tạo thành vòng

 Giúp tính được một thế vị mới

Ví dụ 4.4:

4.5 Toán vận tải không cân bằng thu phát:

Bài toán vận tải không cân bằng thu phát chia làm 2 trường hợp:

 Trường hợp 1: Phát lớn hơn thu: Ta thêm trạm thu giả b n+1 với lượng hàng là:

b n+1 = ∑

i=1

m

a i − ∑

j=1

n

b j và c i ,n +1 =0 , ∀ i= ´ 1 ,m

 Trường hợp 2: Phát nhỏ hơn thu: Ta thêm trạm phát giả a m+1 với lượng hàng là:

a m+1 = ∑

j=1

n

b j − ∑

i=1

m

a i và c m +1 , j =0 , ∀ j= ´ 1 , n

Ví dụ 4.5: