Xác ựịnh m ựể hai tiếp tuyến với Cm tại hai ựiểm cố ựịnh ựó là song song.
Trang 1SỞ GDđT THANH HÓA
TRƯỜNG THPT BỈM SƠN
HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN KHỐI B
NĂM HỌC 2012-2013
(Thời gian làm bài 180 phút)
(đáp án gồm 05 trang)
m
1
Cho hàm số y mx 4
x m
+
=
Với m 1= ta có hàm số y x 4
x 1
− +
=
−
1,0
* Tập xác ựịnh: D=R\ 1{ },
( )2
3
x 1
−
′ = < ∀ ∈
* Sự biến thiên:
+ Giới hạn:
lim y lim y 1, lim y , lim y
→−∞ = →+∞ = − → = +∞ →− = −∞
đồ thị (C) có tiệm cận ngang là ựường thẳng y=-1, tiệm cận ựứng là ựường thẳng x=1
0,25
+ Bảng biến thiên:
x -∞ 1 +∞
yỖ - -
y
-1 +∞
-∞ -1
+ Hàm số ựồng biến trên khoảng (−∞;1) và (1; +∞ )
0,25
I 1
* đồ thị:
đồ thị cắt trục tung tại ựiểm (0;4), cắt trục hoành tại ựiểm (0; -4)
đồ thị (C) nhận giao ựiểm hai tiệm cận I(1; -1) làm tâm ựối xứng
0,25
2 Chứng minh rằng ( )Cm luôn ựi qua hai ựiểm cố ựịnh Xác ựịnh m ựể hai tiếp tuyến với ( )Cm tại hai ựiểm cố ựịnh ựó là song song
1,0
2 2
Giả sử M x ; y( o o) là ựiểm mà ( )Cm luôn ựi qua, ta có: o
o o
mx 4
+
⇔m x( o−yo)= −4 x y ; mo o ∀ ∈R; m≠ ổ 2
0,25
y
I -1
-4
Trang 2o o o o
Vậy m∀ ∈R; m≠ ± , 2 ( )Cm luôn ñi qua hai ñiểm cố ñịnh
làA 2; 2 , B 2; 2( ) ( − )
0,25
Hai tiếp tuyến với ( )Cm tại hai ñiểm cố ñịnh A 2; 2 , B 2; 2( ) ( − song song )
y ' 2 y ' 2
0,25
I
m 0
1 Giải phương trình : 3 sin 2x 2 cos x 1( + + =) 2 cos3x+cos2x 3cos x− 1,0
Pt⇔ 3sin2x(2cosx+1)=(cos3x−cosx)+(cos2x−1)−(2cosx+1)
) 1 cos 2 ( sin 2 cos sin 4 ) 1 cos 2 ( 2 sin
0 ) 1 sin 2 2 sin 3 )(
1 cos 2
0,25
6 2 sin(
2 2 cos 2 sin 3 0 1 sin 2 2 sin
x x
x x
x
; 6
π
⇔ = − + ∈ Ζ
0,25
2 3 2
2 3
2 0
1 cos
k x
k x
+
−
=
+
=
⇔
= +
π π
π π
0,25
Vậy phương trình có nghiệm: π 2π
3
2
k
3
2
k
x=− + và x=−π +kπ
2
Giải hệ phương trình :
y 2 2
2
log x 2
4 1 x xy 4 y 0
+
(1) (2)
1,0
ðiều kiện: x> (*) 0
Từ (2) suy ra y< vì nếu y 00 ≥ thì VT 2( )> 0
0,25 ( )
2
2 2 2
16 1 x x y 4 y 4x y 16x x y 16 0
xy 4 4x xy 4 0
xy 4 0; 4x xy 4 0
0,25
2
4 x y
⇔ = , thay vào (1) ta có y 2 y ( )
4
y
+
= ⇔ + − − = (3) (Do y 0< )
Xét hàm số ( ) y ( )
2
f y =4.2 +2 log − − có: y 2
f ' y 4.2 ln 2 0; y 0
y ln 2
− và f( )− = suy ra (3) có nghiệm duy nhất y1 0 = − 1
0,25
II
2
4
y
= − ⇒ = = Kết hơp (*) hệ ñã cho có nghiệm (x, y) là (4, -1) 0,25
Tính tích phân:
e
1
ln x
x 2 ln x 2 ln x
=
ðặt 2 ln+ x+ 2 ln− x= ⇒ +t 4 2 4 ln− 2x=t2⇒4 ln2x=8t2− t4 0,25
2
Trang 3ðổi cận: x= ⇒ =1 t 2 2
x= ⇒ =e t 3 1+
Suy ra :
3 1
2 2
+
I 3 3 1 4 2 3
B
A
C
S
H
M
N
Kẻ SH⊥BC Gọi M, N lần lượt là hình chiếu của S lên AC, AB,
từ giả thiết suy ra: ∠SMH= ∠SNH=60o⇒ ∆SHM= ∆SHN⇒HM=HN
0,25
Ta có
−
o 3 1 a
SH HM.tan 60
4
−
2 ABC
IV
S.ABCD ABC
3 3 a 1
−
Chứng minh rằng: 2 2 2 3
4
Ta có: xyz= −1 (x+ +y z) (+ xy+yz+zx)−xyz
⇔xy+yz+xz=2xyz 1− +(x+ +y z)
Mà: ( )2 2 2 2 ( )
x+ +y z =x +y +z +2 xy+yz+xz
2 2 2 ( ) ( )2
x y z 2 2 x y z x y z 4xyz
0,25
Áp dụng bất ñẳng thức Cauchy ta ñược
2
2 2 2
0,25
Trang 4ðặt t= + +x y z, 0( < <t 3) Ta cú: x2 y2 z2 2 2t t2 4t
27
Xột hàm số: ( ) 2 4t3
f t 2 2t t
27
= ư + ư trờn (0;3) ta cú: f ' t( ) 2 2t 4t2; f ' t( ) 0 t 32
9
t 3
=
=
+ Bảng biến thiờn:
x 0 3
2 3
y’ - +
y
3
0.25
V
suy ra giỏ trị nhỏ nhất của hàm số ( ) 2 4t3
f t 2 2t t
27
= ư + ư trờn (0;3) là 3
4 ủạt ủược khi t=
3 2 Vậy x2 y2 z2 3
4
+ + ≥ Dấu ‘=’ xảy ra khi và chỉ khi x y z 1
3
= = =
0,25
Gọi B, C là hai ủỉnh cũn lại của tam giỏc ủều thỡ B(-m; n), C(m, n) Tam giỏc ABC ủều nội tiếp
elip (E)
2 2
2 2 2
1
16 4
⇔
0,25
2 2
2
2 2
22
4 16
n= loại vỡ A B C2 ≡ ≡ Với
16 3 m
13
n 2
16 3 m
13
=
= ⇒
= ư
0,25
( )2 2
ABC
Gọi r là bỏn kớnh ủường trũn giao tuyến, ta cú 8π = π ⇔ = 2 r r 4 0,25
2 2 2
2 4 3 5 8
d d I; (P)
3
+ ư +
⇒ Bỏn kớnh mặt cầu cần tỡm là:
2
VIa
Vậy phương trỡnh mặt cầu cần tỡm là: ( ) (2 ) (2 )2 208
9
log xưlog x ư >3 5 log x ư 3 1,0
ĐK:
≥
ư
ư
>
0 3 log
log
0
2 2 2
x
0,25
Bất phương trình đã cho tương đương với log log 2 3 5(log2 3) (1)
2 2
2xư x ư > xư
Trang 5BPT (1) t2 −2t−3> 5(t−3)⇔ (t−3)(t+1)> 5(t−3)
<
<
−
≤
⇔
<
<
−
≤
⇔
−
>
− +
>
−
≤
⇔
4 log 3
1 log
4 3 1
) 3 ( 5 ) 3 )(
1 ( 3 1
2 2
x t
t t
t t t
t
0,25
VII.a
<
<
≤
<
⇔
16 8
2
1 0
x
x
Vậy BPT đã cho có tập nghiệm là: ] (8;16)
2
1
; 0
1 Lập phương trỡnh ủường cao qua ủỉnh B của tam giỏc ABC 1,0
B=AB∩BC⇒ Tọa ủộ B là nghiệm của hệ: 2x y 1 0 B 1; 1( )
x 4y 3 0
+ − =
+ + =
Giả sử n AC
(a; b)
(a +b >0) là vộc tơ phỏp tuyến của ủường thẳng AC Lại cú nAB=( )2;1 ,nBC=( )1; 4
tương ứng là vộc tơ phỏp tuyến của AB, BC
AB BC AC BC
AB BC AC BC
0,25
2 2
31a 40a 44b 0
5 17 a b 17
a 2
a 31
=
=
a=2; b 1= loại vỡ (2; 1) là vtpt của AB
0,25
Suy ra n AC
= 22;1 31
−
Phương trỡnh ủường cao ủi qua ủỉnh B là 31x+22y 9− = 0
0,25
2 Tỡm toạ ủộ ủỉnh Q biết rằng ủỉnh N nằm trong mặt phẳng ( )α : x+ − − = y z 6 0 1,0
Gọi I là tõm hỡnh vuụng ⇒ I là trung ủiểm MP và NQ I 7;3; 5
−
Giả sử N a; b; c , ( ) N∈ α( ): x+ − − = ⇒ + − − = (1) y z 6 0 a b c 6 0 0,25
MNPQ là hỡnh vuụng ⇒ ∆MNP vuụng cõn tại N
=
=
⇔
0
.PN
MN
PN MN
2
⇔
0,25
a c 1 0
+ − =
⇔
( ) ( )
2 3
Từ (1) và (2) suy ra b 2a 7
c a 1
= − +
= − +
Thay vào (3) ta cú
2
a −5a+ = 6 0
a 2; b 3; c 1
a 3; b 1; c 2
⇒ = = = −
N 2;3; 1
N 3;1; 2
−
−
0,25
VIIb
Nếu N(2; 3;-1) thỡ Q(5; 3; -4) Nếu N(3; 1;-2) thỡ Q(4; 5; -3) Vậy…… 0,25
log e + 2011 + log π + 2012 ≤ 2 (1)
1,0 VIIb
( )
e 2011 ln 2012 2012 ln 2013
0,5
Trang 6Mà f 0( )= nên bất phương trình 2 f x( )≤f 0( )⇔ ≤ x 0
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S= −∞( ; 0] 0,5