Chuyên đề cực trị hàm trị tuyệt đối

được vẽ theo quy tắc sau:· Giữ nguyên phần đồ thị của hàm số yf x  ở phía trên trục hoành.. · Lấy đối xứng qua trục hoành phần đồ thị của hàm số yf x  ở phía dưới trục hoành... Từ

CỰC TRỊ CỦA HÀM TRỊ

TUYỆT ĐỐI

ĐỀ BÀI Câu 1: [2D1-2.1-1] Cho hàm số yf x  x3 3x Tìm số điểm cực trị của hàm số 2 y f x 

 

 

Câu 13: [2D1-2.5-3] Có bao nhiêu số nguyên m   20;20

để hàm số yx22 x2 m

có đúng 5điểm cực trị

Câu 14: [2D1-2.5-3] Có bao nhiêu số nguyên m  20;20

để hàm số y x 4 m1x2m

có 7điểm cực trị

x O

Câu 30: [2D1-2.2-2] Cho hàm số y= f x( ) liên tục trên ¡ , có bảng biến thiên như sau:

Hỏi hàm số y= f x( )

có bao nhiêu điểm cực trị?

Câu 31: [2D1-2.2-2] Cho hàm số yf x  liên tục trên ¡ , có bảng biến thiên như sau

Sô điểm cực trị của hàm số y f x 

Câu 34: [2D1-2.2-2] Cho hàm số f x ( ) có đồ thị như hình vẽ

Số điểm cực tiểu của hàm số f x  

Có bao nhiêu số nguyên mÎ -[ 2019;2019]

sao cho hàm số y= f x( )+m

có ba điểm cực trị?

A 2017 B 2019 C 4036 D 4038

Câu 37: [2D1-2.2-2] Cho hàm số yf x  liên tục trên  và có đồ thị như hình dưới

Gọi S là tập hợp các giá trị nguyên dương của m để hàm số y2f x  m có 5 điểm cực

Số giá trị nguyên thuộc đoạn 10;10của m để hàm số g x   f x( )m có đúng 3 điểmcực trị là:

Câu 44: [2D1-2.6-3] (THPT CHUYÊN HÙNG VƯƠNG - PHÚ THỌ - LẦN 1 - 2018) Hình vẽ bên

có đạo hàm f x   x1 4 x m  5 x33 Có bao nhiêu giá

trị nguyên của tham số m trong đoạn 5;5 để số điểm cực trị của hàm số f x 

bằng 3 ?

Câu 48: [2D1-2.2-3] Cho hàm số yf x  có bảng biến thiên như hình vẽ

Tìm giá trị của m để đồ thị hàm số y f x  2m

có 5 điểm cực trị

A m 4;11. B

112;

2

m   

112;

Gọi S là tập hợp các giá trị nguyên dương của tham số m để hàm số y f x 1m

Câu 1 [2D1-2.1-1] Cho hàm số yf x  x3 3x Tìm số điểm cực trị của hàm số 2 y f x 

Lời giải Chọn D

Ta có: Số điểm cực trị của hàm số y f x 

bằng số điểm cực trị của hàm số yf x  cộng với số giao điểm của yf x  với Ox ( khác điểm cực trị).

Từ đó suy ra hàm số yf x  có 2 điểm cực trị dương hay k  2

Vậy số điểm cực trị của hàm số yf x  2k 1 2.2 1 5 

Câu 3 [2D1-2.1-1] Cho hàm số y2x4 4x2 1 f x  Xác định số cực trị của hàm số

Lời giải Chọn B

Có y' 4 x3 4x

 

 

0 1

Dựa vào bảng biến thiên  TXĐ của hàm số yf x 

là D \ 0   y f x 

cũng không xác định tại x 0  đáp án A, B sai

x x x

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số có yf x 

có 3 cực trị và phương trình f x   0

cóbốn nghiệm phân biệt và khác điểm cực trị nên đồ thị hàm số y f x 

Ta có: số cực trị của hàm số yf x 

bằng (số cực trị có hoành độ dương của hàm số f x 

)*2  số giao điểm f x 

với Oy.Xét hàm số f x x4 8x322x2 24x6 2

ta có:

  4 3 24 2 44 24

f x  x  x  x ; f x 0

123

x x x

là

Lời giải Chọn D

Xét hàm số yf x  x3 2m1x23mx 5

 f x  3x2  2 2 m1x3m

Để hàm số yx3  2m1x2 3m x  5

có 3 điểm cực trị thì hàm số yf x  có đúngmột điểm cực trị dương  f x   có hai nghiệm 0 x x thỏa 1, 2 x1  0 x2  m 0

Kiểm tra lại với m  thì phương trình 0 f x   0

023

x x

Lời giải Chọn D

Lời giải Chọn D

m

m m

Vậy tổng các giá trị nguyên của m bằng 3

TH1: Hàm số y g x   có 3 cực trị và các giá trị cực trị không âm

Để hàm số có 3 cực trị  y0 có 3 nghiệm phân biệt  m  1 0 m 1

Với điều kiện trên, lập BBT dễ thấy để đồ thị nằm phía trên trục hoành thì

TH2: Hàm số y g x   có 1 cực trị (cực tiểu) và giá trị cực tiểu âm

Để hàm số có 1 cực trị  y0 có nghiệm duy nhất  m 1

Với điều kiện đó, ta giải bất phương trình  

Đặt:g x 3x4 4x3 6mx212mx

Ta có:g' x 12x312x212mx12m

12x1 x2 m

Chọn A

Số điểm cực trị của hàm số y f x 

bằng tổng số điểm cực trị của hàm số f x 

với sốnghiệm bội lẻ của phương trình f x   0

.+) f x  x x3 2  1 2 x2  4 x2  9 x g x3  

x x x x

+∞ 0 0

2 0

Kết hợp 2 trường hợp, ta tìm được m  thỏa mãn 3  m0   3  5;1

y

x O

Đồ thị của hàm số y f x 

có bao nhiêu điểm cực trị?

Lời giải Chọn C

được vẽ theo quy tắc sau:

· Giữ nguyên phần đồ thị của hàm số yf x  ở phía trên trục hoành

· Lấy đối xứng qua trục hoành phần đồ thị của hàm số yf x  ở phía dưới trục hoành

y

x O

Từ bảng biến thiên suy ra đồ thị của hàm số yf x 

được vẽ như sau:

Giữ nguyên phần đồ thị của hàm số

 Giữ nguyên phần đồ thị của hàm số yf x 

ở phía trên trục hoành Lấy đối xứng qua trục hoành phần đồ thị ở phía dưới trục hoành

 Giữ nguyên phần đồ thị của hàm số

Từ đồ thị hàm số yf x 

ta thấy A2, B3, do đó đồ thị hàm số y f x 

có 5 điểm cựctrị

bằng 2A 1với A là số điểm cực trị nằm bênphải trục Oycủa đồ thị hàm số yf x 

Từ bảng biến thiên của hàm số yf x 

ta có A 2 Vậy đồ thị hàm số yf x 

có 5 điểmcực trị

Câu 25 [2D1-2.2-3] Cho hàm số y x 3 3x2 x có đồ thị như hình vẽ.3

Đồ thị hàm số y f x 

được suy ra bằng cách:

 Dựng đồ thị hàm số yf x 

từ đồ thị hàm số yf x  ban đầu bằng cách:

 Giữ nguyên phần đồ thị hàm sốyf x  bên phải trục tung

 Bỏ phần đồ thị hàm số yf x  bên trái trục tung

 Lấy đối xứng qua trục tung phần đồ thị bên phải của hàm số yf x 

Số điểm cực trị của hàm số y f x 

là

Lời giải Chọn D

Ta có: Số điểm cực trị của hàm số y f x 

bằng số điểm cực trị của hàm số yf x 

và sốgiao điểm của đồ thị hàm số yf x 

và trục hoành nhưng không trùng với điểm cực trị của

 

f x

Theo bảng biến thiên ta có: số điểm cực trị của hàm số yf x 

là 3

Số giao điểm của đồ thị hàm số yf x  và trục hoành là 4.

Nên số điểm cực trị của hàm số y f x 

Từ đồ thị của đề bài ta vẽ đồ thị hàm số

yax bx c

bằng cách:

1 Giữ nguyên phần đồ thị hàm số y ax 4bx2 ở phía trên trục c Ox

2 Lấy đối xứng qua Ox phần đồ thị hàm số y ax 4bx2  phía dưới trục c Ox

Ta vẽ đồ thị hàm số y f x 

như sau:

 Giữ nguyên đồ thị hàm số yf x  phần phía trên trục hoành

 Lấy đối xứng qua trục hoành phần đồ thị hàm số yf x  phần phía dưới trục hoành

Từ bảng biến thiên, ta suy ra phương trình f x( )=0 có 2 nghiệm phân biệt x1< < 0 x2

Khi đó hàm số y= f x( )

có bảng biến thiên như sau:

Vậy hàm số y= f x( )

có 3 điểm cực trị

Câu 31 [2D1-2.2-2] Cho hàm số yf x  liên tục trên ¡ , có bảng biến thiên như sau

Sô điểm cực trị của hàm số y f x 

là

Lời giải Chọn C

Từ bảng biến thiên của hàm số yf x  suy ra phương trình f x 0  có hai nghiệm phân biệt x x thỏa mãn x  1, 2 1 1 và x 2 1  Hàm số y f x 

có bảng biến thiên như sau

 Hàm số y f x  có 5 điểm cực trị

Câu 32 [2D1-2.2-3] Cho hàm số yf x  liên tục trên ¡ , có đồ thị như hình vẽ

Hỏi đồ thị hàm số y f x  11 có bao nhiêu điểm cực trị?

A 3 B 4 C 5 D 7.

Lời giải Chọn C

Suy ra đồ thị hàm số y f x  11 có 5 điểm cực trị

Cho

 

2 2 1 0

3 25 7

x x x

f x

x x x

Dựa vào BBT ta có hàm số f x ( ) có 2 điểm cực đại dương nên hàm số f x  

có 4 điểm cực đại (lưu ý nếu trên khoảng   2;2  hàm số f x ( ) đồng biến thì f x  

đạt cực tiểu x  0).

Câu 34 [2D1-2.2-2] Cho hàm số f x ( ) có đồ thị như hình vẽ

Số điểm cực tiểu của hàm số f x  

là

A 10. B 4. C 5. D 2.

Lời giải Chọn C

Từ đô thị hàm số f x ( ), ta xóa phần đồ thị bên trái trục tung và lấy phần bên phải trục tung đốixứng qua trục tung Khi đó, đồ thị hàm số f x   có dạng như sau

Từ đồ thị của hàm số y=f x( ), ta suy ra đồ thị hàm số y=f x( )

như sau+ Xóa phần đồ thị bên trái trục tung, giữ lại phần đồ thị bên phải trục tung

+ Vẽ đối xứng qua trục tung phần vừa giữ lại nói trên

+ Hợp cả hai phần, ta được đồ thị hàm số y=f x( )

(hình vẽ)

Vậy hàm số y=f x( )

có 3 điểm cực trị

Câu 36 [2D1-2.3-3] Cho hàm số y=f x( ) có đồ thị như hình vẽ sau

Có bao nhiêu số nguyên mÎ -[ 2019;2019]

sao cho hàm số y= f x( )+m

có ba điểm cực trị?

Lời giải Chọn C

Nhận xét

+ Tịnh tiến đồ thị hàm số y=f x( ) lên trên hoặc xuống dưới dọc theo trục tung m

đơn vị, ta được đồ thị hàm số y= f x( )+m

.+ Giữ lại đồ thị hàm số y= f x( )+m

phần nằm trên trục hoành và lấy đối xứng qua trục hoành phần còn lại, ta được đồ thị hàm số y= f x( )+m

Với m  thì 10 - + ³m 0Û m³ 1

Với m< thì 30 + £ Ûm 0 m£ - 3

Kết hợp điều kiện mÎ ¢ và mÎ -[ 2019;2019], suy ra mÎ -{ 2019; 2018; ; 3;1;2; ;2019- - }.

Có 4036 giá trị m thỏa mãn.

Câu 37 [2D1-2.2-2] Cho hàm số yf x  liên tục trên  và có đồ thị như hình dưới

Gọi S là tập hợp các giá trị nguyên dương của m để hàm số y2f x  m có 5 điểm cực trị

Tính tổng các phần tử của S

Lời giải Chọn D

Bài toán trở thành tìm m để phương trình 2f x  m0

có 3 nghiệm phân biệt khác 1; 1

A 2024 B 2025 C 2107 D 2016

Lời giải Chọn C

Chú ý rằng, hàm số đạt cực trị tại x  vì tại đó 1 f x  không xác định và đổi dấu

Hơn nữa nếu các phương trình  1

;  2 ;  3đều có 2 nghiệm phân biệt thì các nghiệm đó luôn đôi một khác nhau và khác 1

Hàm số có nhiều điểm cực trị nhất khi và chỉ khi y  có nhiều nghiệm nhất 0

 1

 ;  2

;  3 đều có 2 nghiệm phân biệt

Kết hợp điều kiện m   2019; 2019

, m   Suy ra m 3; 4; ; 2018; 2019

.Khi đó, hàm số yf x  1 m

Vì hàm sốyf x  đã cho có 3 điểm cực trị nên hàm số yf x( ) 1 cũng có 3 điểm cực trị

Từ bảng biến thiên của hàm số yf x 

suy ra phương trình f x   1 0 f x  có 41nghiệm đơn phân biệt

Suy ra số điểm cực trị hàm số g x  f x( ) 1 là 3 4 7 

Bổ trợ: Số điểm cực trị của hàm số g x   f x( ) bằng số điểm cực trị của hàm yf x 

cộng với số nghiệm đơn hoặc bội lẻ của phương trình f x   0

Câu 40 [2D1-2.2-2] Cho hàm số bậc bốn yf x  có đồ thị hàm số như hình vẽ bên dưới

Số giá trị nguyên thuộc đoạn 10;10của m để hàm số g x   f x( )m có đúng 3 điểmcực trị là:

Lời giải Chọn B

Vì hàm f x 

đã cho có 3 điểm cực trị nên f x m

cũng luôn có 3 điểm cực trị

Do đó, yêu cầu bài toán  phương trình f x m0 không có nghiệm đơn hoặc nghiệm bội

lẻ  Đồ thị yf x m là ảnh của đồ thị hàm số yf x  qua phép tịnh tiến lên trên ítnhất 2 đơn vị  m2. Suy ra m 2;3;4;5;6;7;8;9;10

Câu 41 [2D1-2.2-2] Cho hàm số yf x  liên tục trên tập  và có đồ thị như hình vẽ Hỏi hàm số

Từ đồ thị hàm số yf x  ta tiến hành:

+) Giữ nguyên phần đồ thị của hàm số yf x nằm phía trên trục Ox

+) Lấy đối xứng phần đồ thị còn lại qua trục Ox, đồng thời bỏ phần đồ thị nằm phía dưới trục

A S   1;3 . B S 1;3.

Lời giải Chọn C

+) Số điểm cực trị của hàm số y f x 

bằng A B với A là số điểm cực trị của hàm số

 

yf x và B là số giao điểm của đồ thị hàm số yf x  với trục hoành ( không tính các

điểm trùng với các điểm đã tính ở A ).

+) Vì hàm số yf x  có hai điểm cực trị nên hàm số yf x m cũng luôn có hai điểm cực trị

Do đó yêu cầu bài toán xảy ra  Phương trình f x m0

có đúng một nghiệm đơn

Để phương trình f x m0

có đúng một nghiệm đơn, ta cần:

+) Tịnh tiến đồ thị hàm số yf x  dọc theo Oy xuống dưới tối thiểu 1 đơn vị (1)

+) Hoặc tịnh tiến đồ thị yf x  dọc theo Oy lên trên tối thiểu 3 đơn vị (2)

Từ đồ thị hàm số yf x  ta được:

31

m m

Lời giải Chọn A

Do đó y f 1 2018 x

có tối đa 9 cực trị

P/S: Số điểm cực trị của hàm số y f x 

bằng tổng số cực trị của hàm số yf x  với số nghiệm bội lẻ của phương trình f x   0.

Câu 44 [2D1-2.6-3] (THPT CHUYÊN HÙNG VƯƠNG - PHÚ THỌ - LẦN 1 - 2018) Hình vẽ bên

Nhận xét: Số giao điểm của  C :yf x  với Ox bằng số giao điểm của  C :yf x 1

x x

Vậy tổng giá trị tất cả các phần tử của S bằng 12

P/S: Cách giải khác không cần vẽ đồ thị hàm trị tuyệt đối, mà chỉ cần đưa về bài toán tương giao.

+) Ta có số điểm cực trị của hàm số yf x 1m bằng số điểm cực trị của hàm số

 

yf x , từ giả thiết suy ra hàm số yf x 1m có 3 điểm cực trị

+) Số điểm cực trị của hàm số y f x 1m

bằng số cực trị của hàm số yf x 1m

cộng với số nghiệm bội lẻ của phương trình f x 1m , nên để hàm số 0 y f x 1m

có đúng 5 điểm cực trị thì phương trình f x 1 m cần có đúng hai nghiệm bội lẻ

+) Đồ thị yf x( 1) có được bằng cách tịnh tiến đồ thị yf x  sang phải 1 đơn vị Vậy để

phương trình f x 1 m có đúng hai nghiệm bội lẻ thì

Tập xác định của hàm số D 0;  

x 

, x  , 1 x  3Vậy hàm số đã cho có 3 điểm cực trị

Câu 46 [2D1-2.1-3] Cho hàm số y f x   xác định và có đạo hàm trên  Biết rằng đồ thị hàm số

5731

Tại x  thì 4 g x 

không tồn tại

Dễ thấy đạo hàm đổi dấu khi x đi qua các điểm x  , 1 x  ,3 x  , 4 x  , 5 x  7

Vậy hàm số đã cho có 5 điểm cực trị

Cách 2:

Nhận xét: Nếu tịnh tiến sang trái đồ thị hàm số y f x   4

ta được đồ thị hàm sốy f x  

Dựa vào đồ thị y f x  

ta thấy hàm số y f x   có hai điểm cực trị dương là x  , 1 x  3Vậy hàm số y f x  

có 5 điểm cực trị, do đó hàm số g x  f x  4

cũng có 5 điểm cực trị

Câu 47 [2D1-2.6-3] Cho hàm số f x  có đạo hàm f x   x1 4 x m  5 x33 Có bao nhiêu

giá trị nguyên của tham số m trong đoạn 5;5

để số điểm cực trị của hàm số f x 

bằng 3 ?

Lời giải Chọn A

+ Nếu m  thì hàm số 1 f x  có hai điểm cực trị là x   và 1 0 x   Khi đó hàm3 0

số f x 

chỉ có 1 điểm cực trị Do đó m  không thỏa yêu cầu đề bài.1

+ Nếu m  thì hàm số 3 f x  không có cực trị Khi đó hàm số f x 

chỉ có 1 điểm cực trị

Do đó m  không thỏa yêu cầu đề bài.3

+ Nếu m  và 1 m  thì hàm số 3 f x  có hai điểm cực trị là x m và x   3 0

Câu 48 [2D1-2.2-3] Cho hàm số yf x  có bảng biến thiên như hình vẽ

Tìm giá trị của m để đồ thị hàm số y f x  2m có 5 điểm cực trị

A. m 4;11 B.

112;

2

m   

112;

2

m   

 

Lời giải Chọn B

Từ bảng biến thiên ta có đồ thị hàm số yf x  có 2 điểm cực trị nên đồ

thị hàm số yf x  2m có 2 điểm cực trị

Để đồ thị hàm số y f x  2m có 5 điểm cực trị thì đồ thị hàm số yf x 

cắt đường thẳng y2m tại 3 điểm phân biệt  4 2 m11

112

đã có 3 điểm cực trị ( bằng số

điểm cực trị của đồ thị hàm số yf x 

), nên đồ thị hàm số yf x m

phải cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt

Ta cóy' 3 x2 2 2 m1x 2 m

Hàm số yf x( ) có 5 điểm cực trị khi chi khi hàm số f x 

có hai cực trị dương, khi đó y ' 0 có 2 nghiệm dương phân biệt,

000

S P

2

03

m m

m m

Nhận xét: Số giao điểm của  C y: f x  với Ox bằng số giao điểm của  C :yf x 1

với Ox

Vì m  nên 0 C:yf x 1m có được bằng cách tịnh tiến  C :yf x 1 lên trên

Vậy tổng giá trị tất cả các phần tử của S bằng 12.

Câu 52 [2D1-2.2-4] Gọi S là tập hợp các điểm cực trị của hàm số g x x4 8x322x2 24x6 2

Tổng giá trị các phần tử của S là

Lời giải Chọn A

Bảng biến thiên của hàm số y f x  

Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy hàm số y f x   có 3 cực trị và phương trình f x   0 có bốn nghiệm phân biệt là x ; 1 x ; 3 x ; 5 x thỏa mãn7

x x  x x  x x  x Đồng thời x ; 1 x ; 3 x ; 5 x là nghiệm của phương trình 7 f x   0 nên theo Định lí Viet ta có

x x x x  Vậy S có 7 phần tử với tổng các giá trị là x1x3x5x7  x2x4x6     8 1 2 3 14