50 bài tập về cực trị của hàm số (có đáp án 2022) – toán 12

CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ A LÝ THUYẾT 1 Định nghĩa Cho hàm số xác định và liên tục trên khoảng và điểm Nếu tồn tại số sao cho với mọi và thì ta nói hàm số đạt cực đại tại Nếu tồn tại số sao cho với mọi và th[.]

CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ

A LÝ THUYẾT

1 Định nghĩa.

Cho hàm số xác định và liên tục trên khoảng và điểm

thì ta nói hàm số đạt cực đại tại

thì ta nói hàm số đạt cực tiểu tại

2 Điều kiện cần để hàm số có cực trị.

Định lý 1: Giả sử hàm số f(x) đạt cực trị tại điểm xo Khi đó, nếu f(x) có đạo hàm

tại điểm xo thì f‘(xo) = 0.

Lưu ý:

- Đạo hàm f‘(x) có thể bằng 0 tại điểm xo nhưng hàm số f(x) không đạt cực trị tại  điểm xo.

- Hàm số có thể đạt cực trị tại một điểm mà tại đó hàm số không có đạo hàm.

- Hàm số chỉ có thể đạt cực trị tại một điểm mà tại đó đạo hàm của hàm số bằng 0, hoặc tại đó hàm số không có đạo hàm.

- Hàm số đạt cực trị tại xo và nếu đồ thị hàm số có tiếp tuyến tại điểm (xo ; f(xo)) thì tiếp tuyến đó song song với trục hoành.

Ví dụ : Hàm số y = |x| và hàm số y = x 3

3 Điều kiện đủ để hàm số có cực trị.

Định lý 2: Giả sử hàm số liên tục trên và có đạo hàm trên hoặc trên , với

điểm cực đại của hàm số

điểm cực tiểu của hàm số

Minh họa bằng bảng biến thiến

Lưu ý:

- Như vậy: Điểm cực trị phải là một điểm trong của tập hợp D (D ⊂ ℝ) Nếu f’(x)

không đổi dấu thì hàm số không có cực trị.

(Nhấn mạnh: xo ∈ (a; b)⊂ D nghĩa là xo là một điểm nằm ở giữa trong của D).

Ví dụ: Hàm số   xác định trên D= [0,+∞). Ta có y ≥ y (0) với mọi x, nhưng 

x = 0 không phải là cực tiểu của hàm số vì D không chứa bất kì 1 lân cận nào của  điểm 0. 

- Nếu hàm số y = f (x) đạt cực đại (cực tiểu) tại x0 thì x0 được gọi là điểm cực đại

(điểm cực tiểu) của hàm số; f (x0) được gọi là giá trị cực đại (giá trị cực tiểu) của hàm số, kí hiệu là f CĐ ( fCT ), còn điểm M (x0;f( x0)) được gọi là điểm cực đại (điểm cực tiểu) của đồ thị hàm số.

-  Các điểm cực đại và cực tiểu được gọi chung là điểm cực trị. Giá trị cực đại (giá  trị cực tiểu) còn gọi là cực đại (cực tiểu) và được gọi chung là cực trị của hàm số.

- Giá trị cực đại (cực tiểu) f(xo) nói chung không phải là GTLN (GTNN) 

của  f(x) trên tập hợp D.

- Hàm số có thể đạt cực đại hoặc cực tiểu tại nhiều điểm trên tập hợp D. Hàm số  cũng có thể không có điểm cực trị.

- xo là một điểm cực trị của hàm số f(x) thì điểm (xo ; f(xo)) được gọi là điểm cực trị  của đồ thị hàm số f(x) .

4 Định lý 3: Giả sử hàm số f  có đạo hàm cấp một trên khoảng (a; b) chứa

điểm xo ; f ‘(xo) = 0 và f  có đạo hàm cấp hai khác 0 tại điểm xo

a) Nếu f ”(xo) < 0 thì hàm số f  đạt cực đại tại điểm xo

b) Nếu f ”(xo) < 0 thì hàm số f  đạt cực tiểu tại điểm xo

Lưu ý:

- Không cần xét hàm số f(x) có hay không có đạo hàm tại điểm x = xo nhưng không thể bỏ qua điều kiện hàm số liên tục tại điểm xo.

B CÁC KỸ NĂNG GIẢI TOÁN CƠ BẢN.

1 Quy tắc tìm cực trị của hàm số.

Quy tắc 1

Bước 1: Tìm tập xác định của hàm số.

Bước 2: Tính Tìm các điểm tại đó bằng 0 hoặc không xác định

Bước 3: Lập bảng biến thiên.

Bước 4: Từ bảng biến thiên suy ra các điểm cực trị.

Bước 4: Dựa vào dấu của suy ra tính chất cực trị của điểm

2 Kỹ năng giải nhanh các bài toán cực trị hàm số bậc ba

Hoặc khi đó đường thẳng qua hai điểm cực trị liên quan tới: (CASIO hỗ

trợ)

3 Kỹ năng giải nhanh các bài toán cực trị hàm trùng phương.

- Tìm các nghiệm xi (i = 1, 2, 3,…) của phương trình f ‘(x) = 0 

- Với mỗi xi tính f ”(xi)

- Nếu f ”(xi) < 0 thì hàm số đạt cực đại tại điểm xi

- Nếu f ”(xi) > 0 thì hàm số đạt cực tiểu tại điểm xi

2 Ví dụ minh hoạ.

Ví dụ 1 (Đề thi THPTQG năm 2021) Cho hàm số có bảng biến thiênnhư sau:

Giá trị cực đại của hàm số đã cho là

Lời giải

Dựa vào bảng biến thiên, giá trị cực đại của hàm số là

Chọn A.

Ví dụ 2 (Đề tốt nghiệp 2020 - Đợt 2 Mã đề 103) Cho hàm số có đạo hàm

Số điểm cực đại của hàm số đã cho là:

Lời giải

.Lập bảng biến thiên của hàm số

Vậy hàm số đã cho có một điểm cực đại

Chọn D.

Ví dụ 3 (Đề tốt nghiệp 2020 - Đợt 1 Mã đề 101) Cho hàm số bậc bốn cóbảng biến thiên như sau:

Vậy số điểm cực trị của hàm số là

Suy ra đồ thị hàm số đã hai điểm cực trị là và

Khi đó, đường thẳng đi qua hai điểm cực trị chính là đường thẳng có phươngtrình

Chọn B.

Suy ra phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị là phần dư trong phépchia, đó là

3 Bài tập tự luyện.

Câu 1 Cho hàm số xác định, liên tục và có đạo hàm trên khoảng .Mệnh đề nào sau đây là sai?

A Nếu đồng biến trên thì hàm số không có cực trị trên

B Nếu nghịch biến trên thì hàm số không có cực trị trên

C Nếu đạt cực trị tại điểm thì tiếp tuyến của đồ thị hàm số tạiđiểm song song hoặc trùng với trục hoành

D Nếu đạt cực đại tại thì đồng biến trên và nghịchbiến trên

Câu 2 Cho khoảng chứa điểm , hàm số có đạo hàm trên khoảng (có thể trừ điểm ) Mệnh đề nào sau đây là đúng?

A Nếu không có đạo hàm tại thì không đạt cực trị tại

B Nếu thì đạt cực trị tại điểm

C Nếu và thì không đạt cực trị tại điểm

D Nếu và thì đạt cực trị tại điểm

Câu 3 Phát biểu nào sau đây là đúng?

A Nếu đổi dấu từ dương sang âm khi qua điểm và liên tục tại thì hàm số đạt cực đại tại điểm

B Hàm số đạt cực trị tại khi và chỉ khi là nghiệm của

C Nếu và thì không là điểm cực trị của hàm số

D Nếu và thì hàm số đạt cực đại tại

Câu 4 Giả sử hàm số có đạo hàm cấp hai trong khoảng

với Khẳng định nào sau đây là sai?

A Nếu và thì là điểm cực tiểu của hàm số

B Nếu và thì là điểm cực đại của hàm số

C Nếu và thì không là điểm cực trị của hàm số

D Nếu và thì chưa kết luận được có là điểm cực trị củahàm số

Câu 5 (Đề tốt nghiệp 2020-Đợt 2 Mã đề 103) Cho hàm số có bảng biếnthiên như sau :

Điểm cực đại của hàm số đã cho là

Câu 7 (Đề tốt nghiệp 2020-Đợt 1 Mã đề 101) Cho hàm số liên tục trên

và có bảng xét dấu của như sau:

Số điểm cực đại của hàm số đã cho là

Câu 8 Cho hàm số có bảng xét dấu của đạo hàm như sau:

Số điểm cực trị của hàm số đã cho là

Câu 11 Cho hàm số liên tục trên và có đồ thị như hình bên

Hỏi hàm số có bao nhiêu điểm cực trị?

A 0 B 1.

C 3 D 2.

Câu 12 Cho hàm số liên tục trên và có đồ thị như hình bên

Hỏi hàm số có bao nhiêu điểm cực trị?

Câu 18 Đồ thị hàm số nào sau đây có đúng 1 điểm cực trị?

Câu 20 Cho hàm số liên tục trên và có đạo hàm

Hỏi hàm số có bao nhiêu điểm cực trị?

A Phương trình vô nghiệm trên tập số thực.

B Phương trình có đúng một nghiệm thực

C Phương trình có đúng hai nghiệm thực phân biệt

D Phương trình có đúng ba nghiệm thực phân biệt

Câu 24 Cho hàm số liên tục tại và có bảng biến thiên sau:

Mệnh đề nào sau đây là đúng?

A Hàm số có hai điểm cực đại, một điểm cực tiểu.

B Hàm số có một điểm cực đại, không có điểm cực tiểu.

C Hàm số có một điểm cực đại, hai điểm cực tiểu.

D Hàm số có một điểm cực đại, một điểm cực tiểu.

Câu 25* Cho hàm số có bảng biến thiên sau:

Hàm số có bao nhiêu điểm cực trị ?

Câu 26 (ĐỀ THPT QG 2017) Đồ thị của hàm số y = x3 – 3x2 – 9x + 1 có hai điểm cực trị A và B Điểm nào dưới đây thuộc đường thẳng AB ?

Câu 27 (ĐỀ THPT QG 2017) Đồ thị của hàm số y = – x3 + 3x2 + 5 có hai điểm

cực trị A và B Tính diện tích S của tam giác OAB với O là gốc tọa độ.

Câu 28 Khoảng cách giữa hai điểm cực đại và cực tiểu của đồ thị hàm số

là:

Câu 29 Trong các đường thẳng dưới đây, đường thẳng nào đi qua trung điểm đoạn

thẳng nối các điểm cực trị của đồ thị hàm số ?

A là một nghiệm của phương trình.

B Trên khoảng hàm số có duy nhất một cực trị

C Hàm số đạt cực tiểu tại

Câu 35 Độ giảm huyết áp của một bệnh nhân được đo bởi công thức

trong đó x(mg) và x > 0 là liều lượng thuốc cần tiêm chobệnh nhân Để huyết áp giảm nhiều nhất thì cần tiêm cho bệnh nhân một liều lượngbằng:

Câu 36 Hỏi hàm số có tất cả bao nhiêu điểm cực trị?

A Không có điểm cực trị B Có một điểm cực trị.

C Có hai điểm cực trị D Có ba điểm cực trị.

y’ = 0 ⇔ 3ax2 + 2bx + c = 0 (1) ; Δ’y’ = b2 – 3ac

- Phương trình (1) vô nghiệm hoặc có nghiệm kép thì hàm số đã cho không có cựctrị

- Nếu (C)có một điểm cực trị thì y' = 0 có 1 nghiệm x = 0 ⇔ -b/2a ≤ 0 ⇔ ab ≥ 0.

- Nếu (C)có ba điểm cực trị thì y' = 0 có 3 nghiệm phân biệt ⇔ -b/2a > 0 ⇔ ab < 0

Chú ý

* Hàm số f (xác định trên D) có cực trị ⇔ ∃ xo ∈ D thỏa mãn hai điều kiện sau:

- Tại đạo hàm của hàm số tại xo phải bằng 0 hoặc hàm số không có đạo hàm tại xo

- f ‘(x) phải đổi dấu qua điểm x o hoặc f ”(xo ) ≠ 0.

A cùng dấu và bất kì B trái dấu và bất kì.

Lời giải

Ta có

Để hàm số có ba điểm cực trị có hai nghiệm phân biệt khác

Khi đó trái dấu và bất kì

Yêu cầu bài toán có hai nghiệm hoặc .

Thay x = 3 và x = 5 vào y’ ta có hệ phương trình:

Điểm là điểm cực tiểu

Câu 6 Hàm số có ba cực trị khi:

Câu 7 Đồ thị hàm số có điểm cực tiểu A(2;-2) Tìm tổng a + b

Câu 8 Đồ thị hàm số có điểm đại A(0;-3) và có điểm cực tiểu B(-1;

- 5) Khi đó giá trị của a, b, c lần lượt là:

Câu 14 Biết rằng hàm số có hai điểm cực trị Mệnh đề nào sau đây là đúng?

Câu 15 Tìm các giá trị của tham số để hàm số không

có cực trị

cực trị của đồ thị hàm số Tính giá trị của hàm số tại

trị Mệnh đề nào sau đây là đúng?

Tìm tất cả các giá trị của để hàm số đạt cực trị tại

Câu 19 Biết rằng hàm số có một điểm cực trị Tìm điểm cực trị còn lại của hàm số

Tìm tất cả các giá trị của để hàm số đạt cực đại tại

Câu 21 Hàm số có hai điểm cực trị khi m thỏa mãn điềukiện:

Câu 29 Cho hàm số Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số.

a, Hàm số bậc ba y = ax3 + bx2 + cx + d (a ≠ 0, a, b, c, d phụ thuộc vào tham số)

Bước 1: Tính y’ = 3ax2 + 2bx + c, y’ = 0 ⇔ 3ax2 +2bx + c = 0 (1)

Để hàm số có cực đại, cực tiểu ⇔ y’ = 0 có hai nghiệm phân biệt

⇔ (1) có hai nghiệm phân biệt

⇔ Giá trị tham số thuộc miền D nào đó (*)

Bước 2: Từ điều kiện cho trước dẫn tới một phương trình hoặc một bất phương

trình theo tham số, giải phương trình này ta được tham số sau đó đối chiếu với điềukiện (*) và kết luận

Một số điều kiện thường gặp: (Không dùng dấu tương đương như vậy)

- Để hàm số y = f(x) có 2 cực trị ⇔ a ≠ 0, Δy′ > 0 hoặc a ≠ 0, Δy′ > 0

- Để hàm số y = f(x) có 2 cực trị nằm về 2 phía đối với trục hoành ⇔ yCD.yCT < 0

- Để hàm số y = f(x) có 2 cực trị nằm về 2 phía đối với trục tung ⇔ xCD.xCT < 0

- Để hàm số y = f(x) có 2 cực trị nằm phía trên trục hoành ⇔ yCD+yCT > 0 và

yCD.yCT > 0

- Để hàm số y = f(x) có 2 cực trị nằm phía dưới trục hoành ⇔ yCD+yCT < 0 và yCD.yCT > 0

- Để hàm số y = f(x) có cực trị tiếp xúc với trục hoành ⇔ yCD.yCT = 0

- Đồ thị có 2 điểm cực trị khác phía đối với đường thẳng d: Ax + By + C = 0

+ Gọi M1(x1; y1) và M2(x2; y2) là cực đại và cực tiểu của đồ thị hàm số

+ Gọi t1 và t2 là các giá trị khi thay M1 và M2 vào đường thẳng d:

t1 = Ax1 + By1 + C; t2 = Ax2 + By2 + C

+ Đồ thị có 2 điểm cực đại, cực tiểu nằm ở hai phía của đường thẳng d:

⇔ y′ = 0 có 2 nghiệm phân biệt và t1t2 < 0

+ Đồ thị có 2 điểm cực đại, cực tiểu nằm ở cùng một phía của đường thẳng d:

⇔ y′ = 0 có 2 nghiệm phân biệt và t1t2 > 0

Chú ý: Khi thay đường thẳng d bằng trục Ox, Oy hoặc đường tròn thì vẫn áp dụng

kết quả trên Với các điều kiện khác thì tuỳ từng trường hợp

: cực tiểu

: cực đại

: cực đại, cực tiểu

: cực đại, cực tiểu

- Xét trường hợp có ba cực trị toạ độ các điểm cực trị

+ Phương trình qua điểm cực trị: và

+ Diện tích tam giác là

+ Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác là

+ Bán kính đường tròn nội tiếp tam giác là

7) Tam giác vuông cân tại

8) Tam giác đều

9) Tam giác có góc

10) Tam giác có góc nhọn

11) Tam giác có diện tích

12) Tam giác có trọng tâm

14) Tam giác có trực tâm

16) Tam giác có là tâm đường tròn nội tiếp

17) Tam giác có là tâm đường tròn ngoại tiếp

18) Tam giác có điểm cực trị cách đều trục hoành

+ Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại điểm lập thành một cấp số

cộng thì điều kiện là

2 Ví dụ minh hoạ.

Ví dụ 1 (ĐỀ CHÍNH THỨC 2016 – 2017) Tìm giá trị thực của tham số để

đường thẳng vuông góc với đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số

Đường thẳng có một VTCP là

Yêu cầu bài toán

Chọn D.

giá trị của để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị tạo thành tam giác có trọng tâm

Yêu cầu bài toán:

Chọn D.

Cách áp dụng công thức giải nhanh: Điều kiện để có ba cực trị

Yêu cầu bài toán:

Câu 3 Giá trị của tham số m bằng bao nhiêu để đồ thị hàm số

có ba điểm cực trị A(0;1), B, C thỏa mãn BC = 4?

Câu 4 Cho hàm số , với m là tham số thực Tìm m để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác vuông

Câu 5 Tìm tất cả các giá trị thực của tham số sao cho đồ thị của hàm số

có ba điểm cực trị tạo thành tam giác vuông cân

tạo thành tam giác có trọng tâm là gốc tọa độ

A B C D

Câu 7 (ĐỀ THPT QG 2017) Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị

hàm số có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác có diện tích nhỏ hơn 1

Câu 11 (ĐỀ THPT QG 2017) Tìm giá trị thực của tham số m để đường thẳng

vuông góc với đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của

Câu 12 (ĐỀ THPT QG 2017) Tìm tất cả các giá trị thực của tham số  để đồ

thị hàm số y = x3 – 3mx2 + 4m3 có hai điểm cực trị A và B sao cho tam giác OAB 

có diện tích bằng 4 với O là gốc tọa độ

Câu 13 Nếu x = 1 là hoành độ trung điểm của đoạn thẳng nối hai điểm cực đại,

các giá trị của m là:

A m = -1 B m ≠ -1 C D Không có giá trị m Câu 14 Giá trị của m để khoảng cách từ điểm M(0;3) đến đường thẳng đi qua hai

sao cho thì giá trị của m là:

Câu 17 Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số

có hai điểm cực trị nằm trong khoảng (0;+∞)?

A m > 2 B m < 2 C m = 2 D 0 < m < 2.

Câu 18 Với các giá trị nào của m thì hàm số có các điểm cực trị nhỏ hơn 2?

Câu 19 Cho hàm số Nếu gọi x1, x2 lần lượt

là hoành độ các điểm cực trị của đồ thị hàm số thì giá trị |x1 – x2| bằng:

Câu 22 Cho hàm số với m là tham số, có đồ thị là

Xác định m để (Cm) có các điểm cực đại và cực tiểu nằm về hai phía đối vớitrục hoành ?

Câu 23 Cho hàm số với m là tham số, có đồ thị là (Cm) Xác định m để (Cm) có các điểm cực đại và cực tiểu nằm về cùng một phía đối với trục tung ?

Câu 26 Với giá trị nào của tham số m thì đồ thị hàm số có hai điểm cực trị A, B sao cho A, B và M(1;-2) thẳng hàng

Câu 27 Với giá trị nào của tham số m thì đồ thị hàm số có hai điểm cực trị A, B sao cho tam giác OAB vuông tại O, với O là gốc tọa độ ?

Câu 28 Cho hàm số với là tham số thực Tìm giá trị của

để đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số tạo với đường thẳng

Câu 33 (ĐỀ MINH HỌA 2016 – 2017) Tìm giá trị thực của tham số sao cho

đồ thị của hàm số có ba điểm cực trị tạo thành tam giác vuông cân

giá trị của để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị tạo thành tam giác có một góc bằng

Câu 35 (ĐỀ CHÍNH THỨC 2016 – 2017) Tìm tất cả các giá trị thực của tham số

để đồ thị của hàm số có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác

có diện tích nhỏ hơn 1

Câu 36 Cho hàm số với là tham số thực Tìm giá trị của

để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác có bán kính đường tròn nội tiếp bằng