LUYỆN THI ĐÁNH GIÁ NĂNG LỰC TOÀN QUỐC – EMPIRETEAM PAGE | 1 CHINH PHỤC MỌI MIỀN KIẾN THỨC FULL KIẾN THỨC + KỸ NĂNG CHƯƠNG NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN CÁC CÔNG THỨC CẦN NHỚ CHƯƠNG NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN Đạo[.]
Trang 1FULL KIẾN THỨC + KỸ NĂNG CHƯƠNG NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN CÁC CÔNG THỨC CẦN NHỚ CHƯƠNG NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN
( )k ' 0= (k là hằng số)
a a– 1
x a.x ( )' =
( )kx ' k = (k là hằng số)
a a– 1
u a.u ( )'= u'
' 1
x = 2
1
x
−
u
u
'
1 ' =−
( )'
x =
x
2
1
u
u u
2
'
'
=
( ) (csinx) cosx
' '
=
2
1 tan x ' tan x 1
cos x
2
1'
sin x
( ) (cosu – u 'sinu u '.cos u) u
'
=
2
u ' tan u ' u ' tan u 1
cos u
2
u '
sin u
( )e ' ex = x
( )ax '=a lnax (a là hằng số)
( )e u ' = u '.eu
a '=u’a lna (a là hằng số) (l x '| |) 1
x
x
log x
.ln a
=
(l | | ') u '
u
n u =
(lo a| | ') u '
a
g u
u.ln
=
Tính chất của đạo hàm
1 (u v w+ – )′ = +u v w′ ′– ′ 2 ( )ku ′ = ku′ (k là hằng số)
3 ( )u v ′ = u v′ + uv′ 4 ' ' 2 '
v
uv v
u v
v
v =−
∗ Công thức tính đạo hàm nhanh của hàm hữu tỉ :
CHINH PHỤC 900+ ĐGNL 2022
CÔNG THỨC NGUYÊN HÀM SIÊU HOT
Trang 2 Dạng : y =
' ' ' 2
2
c x b x a
c bx
ax
+ +
+ +
)' ' ' (
) ' ' ( ) ' ' ( 2 ) ' '
(
c x b x a
c b bc x c a ac x
b a
ab
+ +
− +
− +
−
Dạng : y =
e dx
c bx
ax
+
+ + 2
⇒ y’ = 2 2
) (
) (
2
e dx
dc be x ae x
ad
+
− + +
Dạng : y =
d cx
b
ax
++ ⇒ y’ = 2
) (cx d
cb
ad
+
−
NGUYÊN HÀM
Bảng nguyên hàm các hàm số đơn giản
u là hàm số theo biến
x, tức là u u x= ( )
*Trường hợp đặc biệt
u ax b a= + ≠
*Nguyên hàm của các hàm số đơn giản
2.∫k dx k x C = + , k là
hằng số
k du k u C= +
∫
3.
1
1
x
x dxα α C α
α
+
+
1 1
u
u duα = α α+ +C
+
1
ax b
a
α α
α
+ +
+
∫
∫
2 dx x C
u dx= − +C
∫
a
∫
*Nguyên hàm của hàm số mũ
a
∫
8.∫e dx−x = −e−x+C ∫e du−u = −e−u+C
Trang 3x a
x
a dx
a+ < ≠
=
u a u
a du
a+
=
m
mx n a
mx n
+
∫
*Nguyên hàm của hàm số lượng giác
10.∫cos x dx=sinx+C ∫cos u du=sinu+C cos(ax b dx) 1sin(ax b C)
a
∫
11.
sin x dx= −cosx C+
+
= −
a
∫
12.
2
cos x dx= x C+
∫
2 cos u du= u C+
cos (ax b+ )dx=a ax b C+ +
∫
13.
2
sin x dx= − x C+
∫
2 sin u du= − u C+
sin (ax b+ )dx= −a g ax b C+ +
∫
Một số ví dụ trong trường hợp đặc biệt
1. cos 1sin
k
2
1 cos2 x dx= sin 2x C+ k=
∫
2. sin 1cos
k
k
∫ ∫e dx2x =12e2x+C
1
ax b
a
α α
α
+ +
+
1 (2 1) (2 1) x dx x + C= 2 1)x C
+
+
∫
(ax b+ )dx=a ax b C+ +
3 1x− dx= x− +C
∫
a
3 5x+ du= x+ +C= x+ +C
∫
7. e ax b dx 1e ax b C
a
m
mx n a
mx n
+
2
2 1 1
2 1
ln5
x
∫
9. cos(ax b dx) 1sin(ax b C)
a
10. sin(ax b dx) 1cos(ax b C)
a
∫ ∫sin(3 1)x− dx= −13cos(3 1)x− +C
cos (ax b+ )dx=a ax b C+ +
cos (2 1)x+ dx= x+ +C
∫
Trang 42
sin (ax b+ )dx= −a ax b C+ +
2 sin (3 1)x+ dx= − x+ +C
∫
*Chú ý: Những công thức trên có thể chứng minh bằng cách lấy đạo hàm vế trái hoặc
tính bằng phương pháp đổi biến số đặt u ax b= + ⇒du=.?.dx⇒dx=.?.du
HÀNG LOẠT DẠNG ĐẶC BIỆT CÁC EM NHỚ ĐƯỢC THÌ TUYỆT VỜI ÔNG MẶT
TRỜI
1
α+
α +
ln a
7 cos udu sin u C∫ = + 8 tan udu ln cos u C∫ = + 9 cot udu∫ = −ln cos u C+
10.
2 2
du arcsinu C
a
a +u =a a +
+
−
15. u a du2 2 u a2 2 a ln a u a2 2 C
2 2 2
2 2
2 2
u u a
+
2 2
2 2 2
a u
u u a
+
+
21.
+ +
23.
2 2
u a u
−
a u
∫
−
Trang 529 2 2 2 2 2 2
2
2 2
2
2 2 2
a u
u u a
−
−
32.
u a− u a− = −a u a− +
udu 1 a bu aln a bu C
34.
2
3
35. a a bu( du ) 1aln a buu C
+
+
36.
+
+
( )2 2( ) 2
b a bu b
38.
u a bu
+
+ +
2 3
u du 1 a bu a 2a ln a bu
a bu
+
2
2
15b
3b
3
u du 2 8a 3b u 4abu a bu C
15b
2
44. cos udu2 1(u sin 2u C)
2
46.∫cot udu2 = −cot u u C− + 47. sin udu3 1(2 sin u cos u C2 )
3
48. cos udu3 1(2 cos u sin u C2 )
3
2
50. cot udu3 1cot u ln sin u C2
2
52 cos udun 1cos u.sin un 1 n 1 cos udun 2
Cụ thể với n lẻ thì tách, còn n chẵn thì hạ bậc
n 1
−
n 1
−
−
( ) ( ( ) )
sin a b u sin a b u
2 a b 2 a b
( ) ( ( ) )
cos a b u cos a b u
60.∫u cos udu u sin u n u sin udun = n − ∫ n 1 − 61. ( ) bx
bx
2 2
a.sin ax b.cosax e
a b
+
+
bu
2 2
bsin au a cosau e
a b
−
+
Trang 664. ln au du 1 ln au( ) ( ( ) )2 C
a
66. ln u a du u ln u a( 2 2) ( 2 2) 2a.arctanu 2u C
a
ln u a du u ln u a a.ln 2u C
u a
+
−
∫
68.
2
69. e duau 1eau C
a
2
u 1
a a
= − +
72. u e dun au u en au n u e du Cn 1 au
−
∫ ∫ 73.∫u.e du−au2 = −2a1 e−au2 +C
I - PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ
A Phương pháp biến đổi số thuận t v x= ( )
Tính tích phân b ( ) b ( ( ) ) '( )
I =∫ f x dx=∫g v x v x dx
Bước 1: Đặt t v x= ( ),v x có đạo hàm liên tục và đổi cận ( )
Bước 2: Biểu thị f x dx( ) theo t và dt: f x dx g t dt( ) = ( )
( )
( )
v b
v a
I = ∫ g t dt
Nếu phân tích được như trên ta áp dụng trực tiếp
( ) ( ( ) ) '( ) ( ( ) ) ( ( ))
I =∫ f x dx=∫g v x v x dx=∫g v x d v x
B Phương pháp biến đổi số nghịch x u t= ( )
Bước 1: Đặt x u t t= ( ), ∈[α β; ] sao cho u t( ) có đạo hàm liên tục trên đoạn [α β; ], f u t( ( ) )
được xác định trên đoạn [α β và ; ] u( )α =a u; ( )β =b
Bước 2: Biểu thị f x dx theo t và dt: ( ) f x dx g t dt( ) = ( )
Bước 3: Tính I g t dt( )
β
α
=∫
C Phương pháp biến đổi số u x( )=g x t( ),
x
β
α
=∫ đặt u lnx du 1dx
x
Trang 7Dạng 2: ln ln( ) 1
ln
x x
β
α
=∫ đặt u lnx du 1dx
x
ln
x x
β
α
=∫ đặt u e= x ⇒du e dx= x
Nếu hàm số dưới dấu tích phân có dạng a e b x+ ta có thể giải theo hướng đặt
x
t = a e +b
Dạng 4: I f[cos sin x] x dx
β
α
=∫ đặt u =cosx⇒du= −sindx
a
I =∫ f x xdx đặt u =sinx⇒du=cosxdx
Để tính tích phân dạng sin 2 .
a x b sinxdx
c d cosx
+ +
∫ ta đổi biến bằng cách đặt t= c d cosx+
cos
b a
x
x
sin 2 cos
u
x
= ⇒ − =
cos
ax b
β α
= +
+
cos
ax b
+
Hoặc: I β f tan(ax b) (1 tan2(ax b dx) )
α
cos
ax b
+
sin
ax b
β
α
= +
+
sin
ax b
+
Hoặc: I f cot(ax b) (1 cot2(ax b dx) )
β
α
sin
ax b
+
Dạng 9: I β f (sinx cosx)(sinx cos x dx)
α
=∫ + − đặt u=sinx+cosx⇒du= −(sinx−cosx dx)
α
=∫ − , (a 0> )
Hoặc:
2 2
a x
β
α
=
−
∫ , (a 0> )
Đặt x a= sint ⇒dx a= cost, với ;
2 2
t∈ − π π
(Biến đổi để đưa căn bậc hai về dạng A tức là 2 a2 −a2sin2 x = a2cosx a= cosx
Đổi cận:
'
'
;
2 2
;
2 2
t x
x
t
π π α
α
=
Trang 8
Chú ý: vì ; ', ' ; cos 0
t∈ − π π⇒α β ∈ − π π⇒ t >
2 2 2 2sin cos2 2 cos2
Đến đây ta hạ bậc tính bình thường
Hoặc:
sin
TỔNG QUÁT:
Tính I β a2 u x dx2( )
α
=∫ − , (a >0) hoặc:
( )
2 2
1
β α
=
−
∫ , (a >0) Tương tự: Đặt u x( )=asint
- Nếu hàm dưới dấu tích phân có dạng: a2 −b x2 hay
2 2
1
a −b x ta đặt: x asint
b
;
2 2
t∈ − π π
khi đó dx acostdt
b
= và a2 −b x2 2 =acost hoặc t = a2 −b x2 2
- Nếu hàm dưới dấu tích phân có dạng: b x a2 − 2 hay
2 2
1
b x a− ta đặt:
sin
a x
=
- Nếu hàm dưới dấu tích phân có dạng: x a bx( − ) ta đặt: x asin2t
b
=
α
=∫ + , (a > hoặc 0) I 21 2 dx
β α
=
+
∫
Đặt x a= tant
a x
+
=
−
Ví dụ : Tính tích phân sau: 1
0
3 1
x
x
−
= +
Giải:
=
=
Khi đó: 1 28 2 2 8 3 22 2
I
−
Trang 9Đặt tan , ; (tan2 1)
2 2
t= u u∈ − π π ⇒dt = u+ du
3
3
u t
π
π
=
=
=
2
+
4
3
π
Chú ý:
Phân tích 1
0
3 1
x
x
−
= +
∫ , rồi đặt t = 1+x sẽ tính nhanh hơn
β
α
Ví dụ: Tính tích phân sau: 2a 2 2
a
I = ∫ x −a dx, (a >0)
2 2
x
x a
−
⇒
2 2
tdt
dx
t a
=
a t dt a t a a dt a a a dt
( 2 2 2)
1
n
f x
= + với n =1;2;3; …thì ta
có thể đặtx atant
b
2 2
t∈ − π π
Dạng 16: Tính tích phân: I β f x( )n 1 x dx n
α
+
=∫ đặt u x= n+ 1 ⇒du=(n+1)x dx n
x
2
x
KĨ THUẬT TÁCH THÀNH TÍCH
- Thực chất cũng là phương pháp biến đổi số nhưng ta tách một cách khôn khéo đế đặt
- Thông thường có một số dạng sau đây:
Trang 10a I f x( )n 1 x dx n
β
α
+
=∫ đặt t x= n+ 1 ⇒dt =(n+1)x dx n
Ví dụ 1: (ĐH Kiến Trúc – 1997) Tính tích phân sau: 1 5( 3)6
0
1 1
168
I =∫x −x dx=
HD:
2
3
dt
x
−
I = t −t dt = t −t dt = − =
Ví dụ 2: (ĐH TK2 - A2003) Tính tích phân: 1 3 2
0
1
I =∫x −x dx
Cách 1: Đặt t = 1−x2
1 1
(1 )
I = t −t dt = t − t =
∫
Cách 2: Đặt t= −1 x2
Cách 3: Đặt t x= 2
Cách 4: Đặt 2 2 3
0
π
0 sint u= ⇒ costdt du= ⇒ =I ∫u (1−u du)
Cách 4.2. 2 2 2
0 sin (1 sin ) (sin )
π
1 sin 2 cos 1 1 cos 4 cos 1 cos 1 cos 4 cos
t
−
KĨ THUẬT NHÂN
Ví dụ 1: Tính tích phân sau: 2
3
1 1
dx I
=
+
∫
Giải:
Ta có: ∫2 dx =∫2 x dx2
Trang 11Đặt: 1 3 2 1 3 2 3 2 2 2
3
tdt
t= +x ⇒t = +x ⇒ tdt = x dx⇒ x dx=
=
=
Khi đó:
2
2
t
t
t
Ví dụ 2: Tính tích phân sau: 1 3
2
x
=
∫
Giải:
1 1
0
J
x
x
+ −
Đặt: t x= 2 + ⇒1 dt =2xdx
⇒
Khi đó:
1
J = t− t dt= t −t dt = t dt− t dt= t − t
KĨ THUẬT CHIA
- Thực chất cũng là phương pháp biến đổi số hay phương pháp phân tích:
β
α
= ± ⇒ =
Trang 12Ví dụ: (ĐHTN – 2001) Tính tích phân sau:
1 5
2 2
4 2 1
1
4 1
x
x x
π
+
+
∫
Giải:
Ta có:
2
2
2
1
1 1
1
1
x
Đặt: t x 1 dt 1 12 dx
= − ⇒ = +
Đổi cận:
1
0
2
t x
=
=
Khi đó: 1 2
01
dt I
t
=
+
∫
Đặt: t =tanu⇒dt = +(1 tan2u du)
1
4
u t
=
=
⇒
=
4
+
KĨ THUẬT BIẾN ĐỔI TỬ SỐ CHỨA ĐẠO HÀM Ở MẪU SỐ
Ví dụ : Tính tích phân sau: 1 3 8
01
x
x
= +
∫
Giải:
Ta có:
( )
01 01
Đặt: 4 tan 3 1(1 tan2 )
4
x = t⇒x dx= + t dt với ;
2 2
t∈ − π π
1
4
t x
=
=
⇒
Khi đó:
( )
4
+
Trang 13KĨ THUẬT CHỒNG NHỊ THỨC
99 1
101 0
x
x
−
=
+
∫
HD:
Phân tích:
2
100
100 1
0
x x
−
+
KĨ THUẬT TÍNH TÍCH PHÂN LIÊN KẾT
Ví dụ 1: Tính tích phân sau: 2
0
sin sin
x
π
=
+
∫
Giải:
Đặt:
2
0 2
π π
=
Khi đó:
2
sin
t
π
π
sin cos
+
+
0
sin sin
x
x cos x
π
=
+
∫
Giải:
Trang 14Đăt
2
x=π − ⇒t dx= −dt Đổi cận: 0 2
0 2
π π
=
Khi đó:
3
2
sin
2
t
π
π
−
− + −
sin cos
+
+
Ví dụ 3: Tính tích phân sau: 1
0
x
x x
e
e e−
= +
0
x
x x
e
−
−
= +
∫
Giải:
0 1
I J+ = ∫dx=
1
x x
x x
x x
d e e
e
−
−
+
Từ đó suy ra: 1 1 ln 2 1
e I
e
e J
e
+
MỘT SỐ DẠNG ĐẶC BIỆT CẦN NHỚ
1.Ta luôn có : ∫1 ( − ) =∫ ( − )
0
1
0 1
2.Chứng minh rằng nếu f (x) là hàm lẻ và liên tục trên đoạn [−a, a] thì :
∫ ( )
−
=
= a
a
dx x
f
3.Cho a>0 và f( )x là hàm chẵn , liên tục và xác định trên R
Ta có : ( ) ( )
−
= +
α
α
α
dx x f dx a
x
f
x
0
1
4.Cho hàm số f( )x liên tục trên [ ]01, Ta luôn có :
sin 2
sin
x
5.Cho hàm số f( )x liên tục,xác định , tuần hoàn trên Rvà có chu kì T
Ta luôn có : a∫+T ( ) =∫ ( )
a
T dx x f dx x f
0
Trang 15Nếu hàm số f( )x liên tục,xác định , tuần hoàn trên R và có chu kì T , thì ta luôn có :
( ) ( )
−
=
T
dx x f dx
x
f
0
2
2
II-TÍCH PHẦN HÀM TRỊ TUYỆT ĐỐI, MAX – MIN
Muốn tính =∫b ( )
a
dx x f
I ta đi xét dấu f( )x trên đoạn [ ]a, b , khử trị tuyệt đối
Muốn tính =∫b [ ( ) ( ) ]
a
dx x g x f
I max , ta đi xét dấu f( ) ( )x −g x trên đoạn [ ]a, b
Muốn tính =∫b [ ( ) ( ) ]
a
dx x g x f
I min , ta đi xét dấu f( ) ( )x −g x trên đoạn [ ]a,b
Hoặc ta đưa dấu giá trị tuyệt đối ra ngoài ( áp dụng cho từng khoảng nghiệm)
IV- NGUYÊN HÀM CỦA HÀM SỐ VÔ TỈ
Trong phần nầy ta chỉ nghiên cứu những trường hợp đơn giản của tích phân Abel
Dạng 1: ∫R(x, ax2 +bx+c)dx ở đây ta đang xét dạng hữu tỷ
∆
−
+ +
∆
−
= + +
→
<
∆
4 0
a c bx ax
a
R
b ax t
∫
∫
∆
+
=
+
= + +
2
2
Dạng 2:
∆
−
+
−
∆
−
= + +
→
<
∆
4 0
a c bx ax a
R
b ax t
∫
∫
∆
+
=
−
= + +
2
2
Dạng 3:
−
∆
−
+
∆
= + +
→
>
∆
>
1
2 4 0
a c bx ax a
R
b ax t
∫
∫
∆
+
=
−
= + +
2
2
u
t
sin
1
Dạng 4 (dạng đặc biệt) :
∫
+
= + +
+
β
β
α
x
dt c
bx ax x
dx
Trang 16Một số cách đặt thường gặp :
(x a x )dx
S
∫ , 2 − 2 đặt x=a.cost 0≤t≤π
(x a x )dx
S
∫ , 2 + 2 đặt
2 2
tan
x
(x x a )dx
S
∫ , 2 − 2 đặt t π kπ
t
a
2 cos
(x ax bx c)dx
S
>
±
±
= + +
= + +
−
= + +
>
±
= + +
0
;
0
;
0
; 2
0 0 0
2 2
a t
x a c
bx ax
c bx ax x
x t c bx ax
c c xt c bx ax
∫ m cx++d
b
ax
x
+
+
d cx
b ax
V-TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN
Cho hai hàm số u và vcó đạo hàm liên tục trên đoạn [ ]a, b , thì ta có :
[ ]
a
b a
b
a vdu uv
udv
Trong lúc tính tính tích phân từng phần ta có những ưu tiên sau :
*ưu tiên1: Nếu có hàm ln hay logarit thì phải đặt u ln= xhay u=loga x
*ưu tiên 2 : Đặt u=?? mà có thể hạ bậc
Nhớ “ NHẤT LỐC, NHÌ ĐA, TAM LƯỢNG, TỨ MŨ".
* - KỸ THUẬT TÍNH NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN THEO SƠ ĐỒ
Câu 1: Một nguyên hàm (x 2)sin 3xdx (x a)cos3x 1sin 3 2017x
−
bằng
Trang 17Giải
Sơ đồ giải
x-2 (+) sin3x
1 (-) cos3
3
x
9
x
Theo sơ đồ ta có
2 cos3 sin 3
9
a
c
=
=
Câu 2 : Biết ∫x e dx x2 x =( 2+mx n e C+ ) x+ Giá trị mn là
Giải
Ta có sơ đồ
2
2x (-) e x
2 (+) e x
Vây
2
4( ) 2
m
n
= −
Câu 3 : Biết I = 1
0
−
+
b là phân số tối giản,
khẳng định nào sau đây đúng
A a + b = 2c B a + b = 3c C a + b = c D a + b = 4c
Trang 18Giải
Ta có sơ đồ
4
ln
4
x
x
−
+ (+) x
2
8
16
x − ( - )
2 16 2
x − ( kỹ thuật thêm bớt trong từng
phần) Vậy ta có 2
3 1
0
4
a
x
c
=
+
Với hàm logarit ta đạo hàm đến khi nào mà tích của cột trái và cột phải tính được nguyên hàm thì dừng
Câu 4 : Biết 2 2
1
3
c
=∫ + = − với a b c∈, , và b* c tối giản Tính S = ab + c
Giải
Ta có sơ đồ
lnx (+) x2+x
1
x (-)
3 2
x +x
14
1
36
a
c
=
Câu 5: Cho 2 2
0
.sin 3
c
π
π
−
A c a b− − =8 B.c a b− − =9 C.c a b− − =12 D.c a b− − =7
Giải
Ta có sơ đồ
2
x
e
9sin 3x
4
x
e
Trang 19Vậy 2 2 2 2
0
x I
π π
2
13
c
π
Với dạng bài có hai hàm tuần hoàn, ta đạo hàm ( hoặc nguyên hàm) đến khi nào hàm lượng giác quay về ban đầu thì dừng
VI - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN
a Công thức tính diện tích :
• Cho hàm số y f x= ( ) liên tục trên đoạn [ ]a b Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ ; thị hàm số y f x= ( ), trục hoành và hai đường thẳng x a= , x b= là:
( )
=∫b
a
S f x dx
• Cho hai hàm số y f x= ( ) và y g x= ( ) liên tục trên đoạn [ ]a b Diện tích hình phẳng ; giới hạn bởi đồ thị các hàm số y f x= ( ), y g x= ( )và hai đường thẳng x a= , x b= là:
b
a
S =∫ f x g x dx−
b Công thức tính thể tích :
• Cho hàm số y f x= ( ) liên tục trên đoạn [ ]a b Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số ;
( )
y f x= , trục Ox ( y =0) và hai đường thẳng x a= , x b= quay xung quanh trục Ox
tạo thành một khối tròn xoay có thể tích là: [ ]2
( )
b a
V =π∫ f x dx
c Thể tích vật thể
d Bài toán vật lí
e Tính tổng
Trang 20f Tính độ dài dây cung