• Gọi I là giao điểm hai đường tiệm cận của đồ thị hàm số.. Đồ thị hàm số có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác vuông 3 0.. Đồ thị hàm số có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác đề
Trang 2TỔNG HỢP CÔNG THỨC TÍNH NHANH CHƯƠNG 1 (LỚP 12) ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO
HÀM ĐỂ KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN CỦA HÀM SỐ
HÀM SỐ ax + b
y =
cx + d
1 Hàm số ax b
y
cx d
đồng biến trên từng khoảng xác định ad bc 0.
2 Hàm số ax b
y
cx d
nghịch biến trên từng khoảng xác định ad bc 0.
3 Hàm số ax b
y
cx d
đồng biến trên
0
0
;
ad bc
a b
x a b
với x0 là nghiệm của mẫu
4 Hàm số ax b
y
cx d
nghịch biến trên
0
0
;
ad bc
a b
x a b
với x0 là nghiệm của
mẫu
5 Đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số làx d
c
6 Đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số a
y c
7 Gọi M điểm thuộc đồ thị của hàm số ax b
y
cx d
Khi đó:
• d M TCD d M TCN( ; ) ( ; ) ad bc2
c
• (d M TCD; )d M TCN( ; ) đạt giá trị nhỏ nhất bằng 2 ab bc2
c
Khi đó hoành độ điểm M
sao cho d M TCD( ; )d M TCN( ; ) đạt giá trị nhỏ nhất là: x d ad bc2
• Hoành độ của điểm M thỏa mãn ( ; d M TCD)k d M TCN k ( ; ), 0là x d k ad bc2
• Gọi I là giao điểm hai đường tiệm cận của đồ thị hàm số Khi đó độ dài IM ngắn nhất
bằng 2ad bc2
c
và hoành độ điểm M sao cho độ dài IM ngắn nhất là: x d ad bc2
• Diện tích hình chữ nhật được tạo bởi hai đường tiệm cận và hai trục tọa độ được bởi công thức S ad2
c
Trang 3HÀM SỐ y = ax + bx + cx + d(a3 2 ≠ 0)
1 Hàm số y ax3 bx2 cx d a ( 0) đồng biến trên 2 0
.
a
2 Hàm số y ax3 bx2 cx d a ( 0) nghịch biến trên 2 0
.
a
3 Nếu a 0 thì hàm số y ax3 bx2 cx d nghịch biến trên một khoảng có độ dài bằng
2
2
2
4( 3 )
9
a
4 Nếu a 0 thì hàm số y ax3 bx2 cx d đồng biến trên một khoảng có độ dài bằng
2
2
2
4( 3 )
9
a
5 Nếu a thì hàm số 0 y ax3 bx2 cx dcó hai điểm cực trị và khoảng cách giữa hai điểm cực trị bằng
2 2 2
4( 3 ) 9
a
0
y ax bx cx d a có hai điểm cực trị b2 3 ac 0.
7 Hàm số y ax3 bx2 cx d a 0 có không có cực trị b2 3 ac 0.
8 Hàm số y ax3 bx2 cx d a 0 có hai điểm cực trị trái dấu a c 0.
9 Hàm số y ax3 bx2 cx d a 0 có hai điểm cực trị cùng dấu khi và chỉ khi
0
a c
10 Nếu hàm số y ax3 bx2 cx d a 0 có hai điểm cực trị x x1, 2 thì
2
Trang 411 Để tìm điểm uốn của đồ thị hàm số y ax3 bx2 cx d a 0 ta thực hiện theo thứ tự: tính y ' tính y '' cho y '' 0 tìm được nghiệm x 0 thế vào hàm số tìm y 0 suy ra tọa độ điểm uốn I x y 0; 0
12 Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số
0
y ax bx cx d a là
2
2 2
.
13 Đồ thị hàm số y ax3 bx2 cx d a 0 có hai điểm cực trị A và B đối xứng nhau
qua đường thẳng : y mx n khi và chỉ khi
2 2
2 2
1,
3 9
b ac
m a I
với I là điểm uốn
của đồ thị hàm số
14 Hàm số đạt cực đại tại 0 0
0
'( ) 0 ''( ) 0
f x
x x
f x
(chỉ áp dụng đối với hàm bậc ba)
15 Hàm số đạt cực tiểu tại 0 0
0
'( ) 0 ''( ) 0
f x
x x
f x
(chỉ áp dụng đối với hàm bậc ba)
16 Hàm số đạt cực trị tại 0 0
0
'( ) 0 ''( ) 0
f x
x x
f x
(chỉ áp dụng đối với hàm bậc ba)
17 Điểm M x y 0; 0 là điểm cực trị của đồ thị hàm số thì 0
'( ) 0
( )
f x
y f x
Trang 5
HÀM SỐ y = ax + bx + c a4 2 ≠ 0
1 Hàm số có ba điểm cực trị ab0
2 Hàm số có một điểm cực trị ab 0
3 Hàm số có một điểm cực đại và hai điểm cực tiểu 0
0
a b
4 Hàm số có một điểm cực tiểu và hai điểm cực đại 0
0
a b
5 Hàm số có một điểm cực tiểu và không có điểm cực đại 0
0
a b
6 Hàm số có một điểm cực đại và không có điểm cực tiểu 0
0
a b
7 Đồ thị hàm số có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác vuông 3 0
8 0
ab
8 Đồ thị hàm số có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác đều 3 0
.
24 0
ab
9 Đồ thị hàm số có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác có bán kính đường tròn ngoại
tiếp R 3
0 8 8
ab
R
a b
10 Đồ thị hàm số có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác có diện tích là S
5
2 3
0 32
ab
b
S a
11 Đồ thị hàm số có ba điểm cực trị nằm trên các trục tọa độ 2 0
.
ab
12 Đồ thị hàm số có ba điểm cực trị tạo với gốc tọa độ một hình thoi: 2 0
.
ab
b ac
13 Đồ thị hàm số có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác nhận gốc tọa độ làm trọng
tâm: 2 0
.
ab
Trang 614 Đồ thị hàm số có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác nhận gốc tọa độ làm trực
.
ab
15 Đồ thị hàm số có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác nhận gốc tọa độ làm
tâm đường tròn ngoại tiếp: 3 0
.
ab
16 Đồ thị hàm số có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác nhận gốc tọa độ làm
tâm đường tròn nội tiếp: 3 0
.
ab
17 Đồ thị hàm số có ba điểm cực trị A B C với , ,
0
2 2
ab
a
18 Đồ thị hàm số có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác có bán kính đường tròn nội tiếp
2 3
0
4 1 1
8
ab b r
r
b a
a
19 Đồ thị hàm số có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác có một góc
0
3
0
120
a b
20 Đồ thị hàm số có ba điểm cực trị A B C sao , , cho
2 2
0
ab
21 Khoảng cách giữa hai điểm cực tiểu của đồ thị hàm số: 1 2 2
2
b
a
22 Khoảng cách giữa hai điểm cực đại của đồ thị hàm số: 1 2 2
2
b
a