Tich phan xac dinh nang cao

Nói chung để tính được một tích phân chứa các hàm số lượng giác , học sinh đòi hỏi phải có một số yếu tố sau : - Biến đổi lượng giác thuần thục - Có kỹ năng khéo léo nhận dạng được cách [r]

Trang 1

TICH PHAN CAC HAM SO LUONG GIAC

Bai 5 TICH PHAN XÁC ĐỊNH ( tiết 2 ) TICH PHAN CHUA CAC HAM SO LUONG GIAC

I KIEN THUC

1 Thudc cac nguyén ham :

a/ [sin (ax+b) dx = ~~ cos(ax+b) 7 b/ | sin (ax+b) dx = —In|eos(ax+b)|

c/ [ cos (ax+b) dx = | sin (ax+b) Ũ d/ peostaxt) dx = Inlsin (ax+b)| Ũ

2 Đôi với : /= | f (x)dx

a/ Nếu f{x)= R(sin" x;eos"x) thì ta chú ý :

- Nếu m lẻ, n chẵn : dat cosx=t ( Goi tat la 1é sin )

-Néun lé, mchan : dat sinx=t ( Goi tat là lẻ cos )

- Nếu m,n đều lẻ thì : đặt cosx=t hoặc sinx =t đều được ( gọi tắt lẻ sin hoặc lẻ cos )

- Nếu m,n đề chăn : đặt tanx=t ( gọi tắt là chăn sinx , cosx )

b/ Phải thuộc các công thức lượng giác và các công thức biến đôi lượng giác , các

hăng đăng thức lượng giác , công thức hạ bậc , nhân đôi , nhân ba, tính theo tang góc chia đôi

3 Nói chung dé tính được một tích phân chứa các hàm số lượng giác , học sinh đòi hỏi phải có một số yếu tỐ sau :

- Biến đối lượng giác thuần thục

- Có kỹ năng khéo léo nhận dạng được cách biến đỏi đưa về dạng đã biết trong

nguyên hàm

II MOT SO Vi DU MINH HOA

Ví dụ 1 Tính các tích phân sau :

a (DH, CĐ Khối A — 2005) | = pate + SCOS X

COS

Giai

psin2x+sinx | _ †(2cosx+l)sinx

mi

Ji aca r=] V1+3cos x * ( )

2

;Sinxdx=-— tdt

Dat : t=V1+3cosx > 3

x=0-x/=2;x= 2 ->r=l

/—I

ray {2 3 | 2 p2r +1 2/1 2 34

Khi do : [=f A(t )=2f ar Z| re =_—

Suu tam va bién soan : Nguyén Dinh S¥-DT: 0985.270.218

Trang 2

eT eT eT

25 sin 2xcos x 2 2sin xcos” xy 2 COS“X _ 2

TT 5 l+cos x =— “ —.== 5 l+cos x 5 cosx+l (1)

dt=-sinxdx, x=0 > t=2;X=—- >t=1

Dat : t=1+cosx >

ƒ(x)dy= = dt = [1 2+z]d

Do đó : =2] ra0r==2[[r=2+2 J=2| 20? 20 +n ¬ =

t

Vi du 2 Tinh cac tich phan sau

mm

a ĐH- CÐ Khối A—2006 I=Í-—Š" “——œ KQ: 2

0 Vco¢ x + 4sin? x 3

0

Giải

a

2 :

a | = |_——— x Đặt : t=Vcos’x+4sin’ x >? =cos’x+4sin’ x

9 Vcos’ x + 4sin x

2 2tdt = (-2 sin xcos x +8sin xcos x) dx = 3sin 2xdx > sin 2xdx = 3 it

Do đó

xr=0>t=hx=>1=2

Vậy: 7= dx == | = A a = 21) = 2

Ta có : cos3x=4cos*x—3cos x = (4 cos’ x— 3) COSX= (4-4sin”x — 3) COSX= (1-4sin’x) COSX

cos3x ke (1 —4sin? x) 1+sinx l+sinx

Cho nên : ƒ(x)dx= cosxdx (1)

dt=cosxdx,x=0 —> t=1 Ke >t=2

1-4(t-1)

jooeL MY) 9 (5-4-2

Dat : t=1+sinx >

=2-3ln2

1

Vậy : 1=] 7@wxr= [[s~4r~Š | =(gr=2° =3In)

0

Ví dụ 3 Tính các tích phân sau

Trang 2 Sưu tâm và biên soạn : Nguyễn Dinh Sỹ-ĐÐT: 0985.270.218

Trang 3

sin xdx

a CDSP Séc Trang Khoi A — 2005 7 = Í

0 sin’ x + 2cos x.cos” — x

7

b CĐ Y Tê — 2006 l=|————— dx KQ: Inv2

| 11+sn2x Q: Inv2

4

Giai

a] =| sin xdx xa sin xdx =| sinx dx =—In|1+cosx||2 2 =In2

0 sin? x +2.cos x.cos? sin” x+cos x (I+cosx) ọ I†COSX 0

2 SIN X — COSX 2 3 SiN xX — COSX 3 SiINX — COSX

b | = |——— x =|-———=d‹- | ——— ox (1)

~Vi+sn2x ý (sinxtcosx) = |sinx+cosx|

Vi: sinxtcosx= V2 sin [x+2} 4 “<x<^=<x+“<3 Tessin [xi £}" 4) 4 2.72 4 4 4

Do đó : |sinx+cosx| = sinx+cosx

Mặt khac : d(sinx+cosx) =(cosx-sinx) dx

Cho nên : 7= |- A(sinx+008X) in einx+cosx|] 2 = 2 _ -| In1- in }=—in2

/ ——_ sinx+cosx 1

4

Vi du 4 Tinh cac tich phan sau

a CD Su Pham Hai Duong — 2006 | = | ————— ,y dx KQ: — =

9 (SiNx — cosx +3)" 32

4

Giải

a

2

| = |———— 00s2x 3) dx Vi: cos2x=cos*x—sin’ x= (cosx+sinx ) (cosx-sinx )

a ( (s Nx — COSX +

Cho nén: f(x)dx= —%⁄%_ = _(cosxsinx)_ (cosx+sinx)) dx

(sinx-cosx+3) (sinx-cosx+3)

dt=(cosx+sinx ) dx; x = 0 —>í = 2x=S—>f =4

Dat : t =sinx-cosx+3 >

f (x)dx = a = 2 OF

4 1

Vậy: !=|/r@0áxr= [[ 5-3 at = (-* 1 ral 5 , f£ 4t 2

Sưu tâm và biên soạn : Nguyễn Dinh Sỹ-ĐÐT: 0985.270.218 Trang 3

Trang 4

dt = 4cos 2xdx > cos2xdx= di

dx Đặt : ;=1+2sin2x—>

b 1 = f—0282x_ cos2x

Vậy : › I+28n2x cosex a3 [FFI if -in3

Vidu5 Tinh cac tich nhân sau :

2 Aan’

a CD Su Pham Quang Ngai — 2006 | = | ¿ẩn x dx KQ: 2

) 1+ COSX

ñ

b CĐ Bến Tre — 2006 | = jsnx-sn dc,

› I+OOS3X

Giải

a NÌ 0 1+008x" -4|U- 3) ~1+COSX =) simxcxad] (1 cos) sinde=4.1(1- cose) 2=2 A 2 0

cindy an’

b ¡-| n3 sin BX

, 1+COS3x

Ta có : sin3x—sin® 3x = sin3x (1 —sin’ 3x) =sin3x.cos?3x

dt=-3sin3xdx —> sin3xdx=- la

x=0-t=2;x= tel

Vi du 6 Tinh cac tich "hân sau

x 7c _ It

2 2

c I= [ sin* x dx d1- [cos 2x(sin*x+cos* x)dx

Giai

a.1=[ƒ_———————cotgxdx = Í x sin xX x sinx cot xdx

Trang 5

TÍCH PHAN CAC HAM SO LUONG GIAC

1L

= Ỉ 3 II ):e xdx -j oor x cot xdx

x sin’ x

2 d(cosx+sinx )

Ầ Ầ Ầ

c I= [sin xdx = | dx =—| l—2ceos2x+————— |dx

7t

=| ———cos2x+—cos4x |dx =| —x ——sin2x + —sin4x |]? =—

; 4 4 1

d l= [cos 2x(s' x+cOS x)dX „Vì: sin’ x+cos'x=1-—sin’ 2x

0

Cho nén:

6

C 1=| ytg? x +cotg* x — 2dx d */I = | (A/cos x — sin x )dx

° 0

Giải

a l= | sin? xdx = i(! — cos”x sinxdx=-| 1 —~2cos” x + cos*x | d(cosx )

7

=| —COSX+—COS xX — —COS`X 2=—

Trang 6

Ầ

b | = | ———— =x

sin? x4/cot gx

6

2tdt = -—.— dx > —.— dx = —2tdt

Dat : t= Vcotx >t =cotxo m4 m 4

x=—->f=43;x=—-—->í=l

1

Vay : I=- 2a far 13 xen)

Ầ

3

I=Í kg? X+cotg^x— 2dx = i tanx- cotx dx = rm cotx|dx

7U

6

Vì : tanx-cotxe sinx _£eox _ sa x co” x —-2 COS2X —-_2cot2x

COSX SInX SINXCOSX sin2x

tanx-cotx<0;x € 2.2]

Cho nên : ve( 2:2) o2xe[ 4:24 ) > oot2xe| -* _N3 NI

6 3 3° 3 3 tanx-cotx>0;x c| —;— E =

4 3

4 3 4 2X 3 cos2x 1

Vậy : 7= [-(tanx-cotx)dx+ | (tanx-cotx) dx =[ -2°* a+ dx =—

(Inkin2x|)| ~~(Inlsin 2x|)|Ö =In2

Ầ

2

=| (cos x — ¥/sin x )dx (1)

0

Đặt: x=——/->dx=-di,x=0->t=—; x= >1=0

Do đó :

[= ÍlÍ*l5-) “|9 (—dt = | a= | (2)

2

Lay (1) +(2) vé voi vé : 27=0>1=0

a tan* xdx (Y-HN-2000) b I [— 924 — „(NT-2000) c (sinx+cosx+2) cos °x dx (NNI-2001)

sin’ X

4

Trang 7

TÍCH PHÂN CÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

d pa *ax( GTVT-2000) ọ cos’ x e.[- “>4 ọ 4—COS“X rÍLEảha ) i+sin2x 2sin” x '.(KB-08)

Giải

a an” xảx Ta có : Feo tant x = Sins | 7 = — —2 — +1

4

Do đó : 1=] r@áx= | 9 vt )dr= f(ttan? x) 4> _[2tanx+x||°

a

-[tameLian’ x8 [z#- 2+7 =|2M5-Š -|243- 2+2 -⁄+Z 3 3 12

4

* Chú ý : Ta còn có cách phân tích khác :

ƒ(1) = tan” x= tan” x(tan” x+1—1) = tan” x(I+ tan” x)— tan” x = tan” x(1+ tan” x)—(tan” x+1)+1

Vay : J = || tan’ x(1+tan* x)—(tan* x+1)+1 [dx = | tan” x.——— ay J[ tan x( + tan x) (tan x+ )+ Jax Jin x y Ion J@

7

rs[ antx=tamee |) =[ a8-jB+Ã | [HỆ |=i*ˆ

4

7

b lan cOS2X dx

» (Sinx+cosx+2)

Ta có: ƒ@)= cos2x _ (cos x—sin hi _ (cosx sinx) (cosxtsinx)

(sinx+cosx+9) — (sinx+cosx+9) (sinx+cosx+9)

7

Do dé: I= [ fax = | (cosx-sinx)dx (1)

ọ (sinx+cosx+2)

Z cosx+sinx=t-2.x=0 > (3x57 >t= V2 +2,

Dat : t =sinx+cosx+2 >

dt = (cosx-sinx) dx > f (x)dx = at = Ẹ - 2z] dt t

t t?

Vay :

3 t? tr t t 3 24/2 (z+v2} 3 9 (s+v2}

(sin ƒ + coSL sint + cost

~ ed (sine cost) = can te —sint)dt = f(x)

Suu tam va bién soan : Nguyén Dinh S¥-DT: 0985.270.218 Trang 7

Trang 8

2 cos®x

C dx =

lạ

4

sin’ x sin’ x sin’ x sin'x sin’ x

3 3 dx 2 3 1—cos2x

Vậy : 7= |(l+cotfx —3 +31 dx- d

x

= —sotẺ x+3cotx+3x—-Lx+ Tsin 2x 2_3Z 23

3 2 4 a 8 12

4

= |(1+tan* x —|(1+tan’ x = |(1+2tan? x+tan* x)d(tan x)— | (1+tan? x)d(tdnx

=| tanx+—tan x+—tan x—tanx-—tan x ||4 =| —-tan x+—tan' x ||4 =—

3 5 3 0 0 15

e, fe sin 2x diez [—?”_- sin2x xz joe sin 2x - jess) Ì ~_In|?—eos2x 2 =ln—

2 4—cOSˆx D4— 1+cos2x 7 — cosdx 9 T—COS2X 0 4

2

f je 2sin* x n= [a _0s2x_ x=—| d( a(t sin2x) — Ty sin2x 4-412

> it tan 2x ” 9 l+sin2x 25 1+sin2x 0 2

Ví dụ 9 Tính các tích phân sau :

» 1+ 2cos3x

$ sin” x $ COS”x 1 COS2X

c [= |——=— dx vJ = {_———_ dx = K= | — =a

o sinx+V3cosx o sinx+V3cosx vx COSX- 3 sinx

a

x

4 2 4 4

a | sin’ xcos’ xdx = | (1-cos x)cos x.sinxdx = [(cos”x—cos x)d (cosx)

=| —cOS x——cOS x ||2 =—

Trang 9

b [_ TP —œ&= —_[_ 3sin3x_ — + 20834) *) = —+(in|1+2c0s3x)) 2 -1n3

») 1+ 2cos3x 611s 2c0s3x 65 1+2cos3x 6 6

c Ta có : 1+7 = [SP x19 + eas tÈ#2|Í—E— ¬ ! dx

Z

9 SINK+V 3COSK ° + sinx+ XỞ sosx 0 sn|x+ 5]

2 2 3

1 1 1 1 af an( +2)

Z {x 2 Z x Z4 5(x 2 x Z4

sin{ x4) asin[ 4 Joos{ x4 tan 24) 2cos [242] tan 24)

3 2 6 6 2 6 2 6 2 6

Vay: r=—| =—Inltanl *+^— |[6 =—In^/3 =—In3 (1)

sin” x—3cos7 Xa (sin x-43 3cosx] (sin x+43 3cosx]

dx

z v=|

0

7

- Mat khac : /-3J =

" | iaxaBeosx sinx+V3cosx

Do dé: J-3/ = {(sinx-Vicosx) d= (- COSX- V3 sinx)|6

0

S inx+V3 3cOSx

6 =1-v3 (2)

0

3 3-1

1371-48 | pe Lina„3-I

16 4

Dé tinh K ta dat (= 1-35 > dt=deeox=35st=

0x=5T—->í==

3

Vậy : K=Ï : cos(2t+3Z) › |—%—_ : cos2t #t=I-J= lina_M3- l

» +sin 2x ) 2+S8iNX+COSX

c | (sin x+cos"’x—sin* xcos* x)dx (SPI-2000)d | ——+——~ x (MDC-2000)

Giải

| an o (sinx+cosx) 0 2cos) Kì + lo

Trang 10

dx

2 +S1nX+cosx

b

Đặt : (tan >< dt =

2cos? =

Vay : 1=[ 24 2 te (+) > at = i Pr +2+3 4 (t+) =| = (2)

dt - V2

Dat : t+1- V2 tanu =>

1 2

5 1¬

COS“H 2

=J2(u,—u,)= | ssn ° - eta 5]

Vay: T= | V2du = V2u °

th

C (sin" x+cos'°x—sin? xcosf x) dx

ct®——h'›)|R

Ta CO: sin’’ x+cos °y—sin X COS x(sin X+ COS x) =(cos X—Ssin x)(cosx— sin” x)

= (cos”x —sin* x) (cos”x —sin’ x) (cos*x +sin? x+cos”xsin x)

= cos’ 2x 1 sin? 2x |= cos?2x—— sin? 4x = I+ cos4x I~ cos8x _ bt | cos4x+~L_cos8x

4 16 2 32 32 2 32

Vậy : 7 E= - 2 +! singe 2 _19Z

›\32 2 32 322 8 0 32.8 0 64

5

Z sI1nxsIin| X+— csimsin(x+

Taco: [x+2)-1=% sin (x42) =sin{ 1-4 ]eesaimeo|x+2 ]=2 (9

6 6 6 6 6/ 2

1 — + 4 COSX-SInXCO 2 + =) sin

Do đó: f(x)= 2

sinxsin( x42 ) “sims 2) sinxsin{ x =

7 cos| x+—

COSX 6

sinx Z

sin [+ + s)

SinX Mã

3 Z \||Z sin} X+— ll—

=

>/=

1

+—

COSX cos{ x 4

f(x)dx = — dx =2 In|sinx|—In

sinx Z

WU sin| X+—

6 |

03-1

Trang 10 Sưu tầm và biên soạn : Nguyễn Dinh S¥-DT: 0985.270.218

Trang 11

* Chú ý : Ta còn có cách khác

1 1 2

simein| xi | sim X simð can, sin’ x( V3 +cot x)

Vậy: 7= | —=w=-|~ CC — ~ =-2In|M3+eoxi 3=2In=

Ví dụ 11 Tính các tích phan sau

a | “dx (HVBCVT-99) b | cos’xcos? 2xdx ( HVNHTPHCM-98)

1+cos*x

ọ C05 5 + sinẾ X ọ C05 xX

Giải

¬ =>

5 l+coS“x 23 ]l+cos7x

dt = —2sin xcos xdx = —sin2xdx

Dat : t=1+cos*x>

p(t

21 2

——————.Ễ

Z anh

2

0=3[[ -!]Je=s( (Inl|—? l T—

1

b cos’xcos’ 2xdx

Ta có : f(x) =cos’xcos’ 2x = = *, = ‘= q(t cos2x+cos4x+cos4x.cos2x)

— i + coS2x+cos4x+ ý (eos6xteos2x)) = ; + : cOS2x+ I cos4x+ s cOSÓX

1

Vậy: 7 = |[ $+ Zeosane Leos t cosox Jdr=[ Tx TC n2 +7 sin4y + sin6] 2==

sin 4x

cos°’x + sin® x

` ° 4 4

VỊ: ad (sin® x+ cos°x} = (6 sin’ xcos x— 6cos’xsin x) dx = 6sin xcos x(sin X—cOS x)

ood (sin® x+ cos*x) = 3sin 2x(sin x—COS x) (sin x+cOS x) dx = —3sin 2x cos 2xdx

= -Ssin 4xdx => sin 4xdx = _ (sin® x+ cos°x}

7z

A SS) 6

sin 4x 24 (sin X+COS x) 2 cos°x+sin° x (

%=- 3 wxruenn] S36 xress] 4 =am2

4

Vậy: |——

0

Sưu tầm và biên soạn : Nguyễn Đình Sỹ-ĐÐT: 0985.270.218 — Trang II

Trang 12

ar z

d | a = | — a = J(t+ tan” x)d (tanx) = [tant tan ì 4= 4

) COS X 0 COSỐXCOSỐX 45 3 0 3

a | sin" xdx ( HVQHQT-96) b | sin? xcos* xdx (NNI-96)

C [cos”xcos4xdx (NNI-98 ) d | V1+cos2xdx (DHTL-97 )

Giải

7z

a [sin" xdx

0

Ta có :

5

sin!’ x= sin” x.sinx= (I-cos”x) sinx= (1 -5cos’x +10cos* x—10cos* x+5cos’ x— cos*x) sinx

Cho nên : 7= [(I-5cos°x+10cosỶ x—10cos* x+5cos” x—cos°x)sinxdx

0

1 7 5 6 5 5 4 3 Ie —118

=| —cos’x——cos°x+2cos’ x——cos’*x+—cos’x—cosx || =——

q

b [ sin? xcos" xdx

0

Ha bac :

1- 5|“ cos2x Ï 1 sin? xcos* x -( =<(I-eos2x)(I+2cos 2x+cos?2x)

2 2 8

1

= 8 (1 + 2cos 2x + cos’ 2.x —cos2x-2cos’ 2.x —cos* 2x)

1 4 1 4

= 1 (1 +cos2x-cos”2x— cos” 2x) = 1 l+cos2x- —xS cOS2X —

8 8 2 2

= - (I + cos2x-cos4x+cos4x.cos2x ) = ` [i +cos2x-cos4x+ an)

= (2 +3cos 2x + cos6x-cos4x )

Vay I= [(2+3cos 2x +cos6x-cos4x 39 )dx =| —x+—sin 2x +—— sin 6x -—— sin 4x 32° | 64 32.6 ||4 = 0

7

cosxdx — | cosxdx

t—›

d [vi + cos2x dx = [ V2cos? xdx = V2 {|cosx| dx = A2

2

=42| sinx|2 —sinx|x~ =42(+!)=242

Trang 12 Sưu tầm và biên soạn : Nguyễn Đình Sÿ-ĐT: 0985.270.218

Trang 13

TICH PHAN CÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

LH MỘT SỐ CHU Y QUAN TRONG

1 Trong phuong phap đối biến số dạng 2

* Sứ dụng công thức : | f (x)dx = | f (b—x)dx

C hứng minh :

=0>5t=b

e Dat : b-x=t, suy ra x=b-t va dx=-dt , > {:

x=b>t=0

« Dođó: [ ƒ(+)dx= | ƒŒ®—0)(—#) = | ƒ(b—0i = | ƒ(b—x)äảx Vì tích phân không

phụ thuộc vào biên sô

Ví dụ : Tính các tích phân sau

ọ (sinx+cosx ) ọ (sinx+cosx )

Giải

3

a/ [= 4sin xdx -.(1) Đặt: san

ọ (sinx+cosx)'

dt =—dx,x=—>t=;x=—>r=0 2 2

| Z

f (x)dx = x(#}=———————xđi = f (dt

sin| ——f |+cos| ——f

|#,(5-)*4(§¬)

Nhưng tích phân không phụ thuộc vào biễn số , cho nên :

l= ị f (dt = ai

2

4cosx

x (2)

(sinx+cosx)’

Lay (1) +(2) vê với vệ ta có : 2i = | XS) =2] ! + dx

Ọ (sinx+cosx ) Ọ (sinx+cosx)

D

= J axtcosx) >cosx74sin x Tương tự như ví dụ a/ ta có kết quả sau :

0 (sinx+cosx)' S

Sưu tầm và biên soạn : Nguyễn Đình Sÿ-ĐT: 0985.270.218 — Trang 13

Định dạng
Số trang	17
Dung lượng	486,87 KB