136 đề HSG toán 8 thái thụy 2015 2016

5,0 điểm Cho O là trung điểm của đoạn AB Trên cùng một nửa mặt phẳng có bờ là.. cạnh AB vẽ tia Ax By cùng vuông góc với ., AB Trên tia Ax lấy điểm C khác A, qua O kẻ đường thẳng vuông g

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

THÁI THỤY

ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI HUYỆN

NĂM HỌC : 2015—2016 Môn: Toán 8 Bài 1 (4,0 điểm)

Cho biểu thức :

P

a) Rút gọn P

b) Tìm các giá trị của x để P 6

Bài 2 (4,0 điểm)

a) Cho các số , , ,a b c d nguyên dương đôi một khác nhau và thỏa mãn:

6

    Chứng minh A abcd là số chính phương

b) Tìm a nguyên để a3  2a2 7a 7chia hết cho a 2 3

Bài 3 (3,0 điểm)

a) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: Ax 1 2  x 1 2  x2  3x 12017

b) Tìm a nguyên để a3  2a2 7a 7chia hết cho a 2 3

Bài 4 (3,0 điểm)

a) Gọi , ,a b c là độ dài ba cạnh của tam giác thỏa mãn a3 b3c3 3abc Chứng minh tam giác đều

b) Cho , ,x y z dương và x y z   Chứng minh rằng :1

9

Bài 5 (5,0 điểm)

Cho O là trung điểm của đoạn AB Trên cùng một nửa mặt phẳng có bờ là .

cạnh AB vẽ tia Ax By cùng vuông góc với , AB Trên tia Ax lấy điểm C (khác A),

qua O kẻ đường thẳng vuông góc với OC cắt tia By tại D

a) Chứng minh AB2 4AC BD.

b) Kẻ OM CDtại M Chứng minh AC CM .

c) Từ M kẻ MH vuông góc với AB tại H Chứng minh BC đi qua trung điểm

MH

d) Tìm vị trí của C trên tia Ax để diện tích tứ giác ABDC nhỏ nhất

Bài 6 (1,0 điểm) Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình

2016 2015

2

ĐÁP ÁN Bài 1.

2 4

2

)

a P

Vậy

x

P

x





 b) ĐK:

1 2

x 

4

4

2

1

x

x





Ta có  1  x2  2x  1 2 x 12 2

tmdk

 2  x22x 1 4 x12 4(VN)

Vậy S  1 2

Bài 2.

2 2 2 2

2

a

   

0 0 0 0

0 0 0

b d ac bd

b d ac bd

Vậy A abcd ac2là số chính phương

b) Thực hiện phép chia a3 2a2 7a 7cho a  được kết quả:2 3

Để phép chia hết thì 4a  phải chia hết cho 1 a 2 3

2

2

2

a







Tìm ,a thử lại và kết luận a   2;2

Bài 3.

     

2

Dấu " " xảy ra

2

0

2

x

x







 



Vậy

min

0

2

x A

x







 



b

Đặt

1

2

x

a x





Phương trình (*) trở thành:

 3   4  0 3

4





 +Nếu a3bthì 1 3 2  1  4 3 2 (2 )

+Nếu a4bthì

     2

3( )

5









Vậy

4 3;

5

S  

Bài 4.

a) C/m:a3 b3c3 3abc a b c a    2 b2 c2  ab bc ca  

+)Từ giả thiết suy ra : a b c a    2 b2c2 ab bc ca   0

Biến đổi được kết quả: a b 2 b c 2 c a 2 0

0

0

a b

c a







  

b) Đặt a x 2 2 ;yz b y 2 2 ;xz c z 2 2xy

, , 0

a b c

  và a b c  x y z  2 1

Chứng minh: a b c 1 1 1 9

a b c

9

Bài 5.

I

K H

M

D

O

C

a) Chứng minh ( ) . .

2

AB AB

Mà

OA OB

+) Chứng minh : OAC DOC c g c   ACO OCM

+)Chứng minh : OAC OMC ch gn(  ) AC MC dfcm ( )

c) Ta có OAC OMC OA OM CA CM ;   OClà trung trực AM

,

Mặt khác OA OM OB AMBvuông tại M

/ /

 (vì cùng vuông góc với AM) hay OC / /BI

+)Xét ABI có OM đi qua trung điểm AB, song song BI suy ra OM đi qua trung điểm AI  IC AC

+)MH / /AI theo hệ quả định lý ta let ta có:

Mà IC AC MK HK  BCđi qua trung điểm MH dfcm( )

d) Tứ giác ABCD là hình thang vuông

1

2

ABDC

Ta thấy AC BD  , nên theo BĐT Cô si ta có:, 0

2

2

1

AB

Dấu " " xảy ra 2

AB

Vậy C thuộc tia Ax và cách điểm A một đoạn bằng OA

Bài 6.

+) Với , , ,a b c d dương, ta có:

   

   

   

2

4

F

a b c d

  

(theo bất đẳng thức 1 2)

4

Mặt khác:

2 a b c d ab ad bc cd    a b c d  

 2  2

Suy ra F  và đẳng thức xảy ra 2  a c b d ; 

+)Áp dụng F  với 2 a 2016,b x c y d ,  , 2015ta có:

2

Đẳng thức xảy ra  y2016,x2015