124 đề hsg toán 8 xuân phú 2013 2014

2,5 điểm Cho tam giác ABC vuông tại A.. Lấy một điểm M bất kỳ trên cạnh AC.. Từ C vẽ một đường thẳng vuông góc với tia BM, đường thẳng này cắt tia BM tại D, cắt tia BA tại E.

TRƯỜNG THCS XUÂN PHÚ

THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VÒNG 3

NĂM HỌC : 2013 – 2014 Môn thi : TOÁN 8

Câu 1 (2,5 điểm)

a) Phân tích đa thức a b c2   b c a2   c a b2  thành nhân tử

b) Cho các số nguyên , ,a b c thỏa mãn a b 3 b c 3c a 3 Tính giá trị

của biểu thức A a b   b c  c a

Câu 2 (2,5 điểm)

a) Giải phương trình nghiệm nguyên : x2 y2  3 xy

b) Giải phương trình: 6x8 6  x6 6  x72 72

Câu 3 (2,5 điểm)

a) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : Px 20122 x20132

b) Cho các số thực dương , ,x y z thỏa mãn x y z   Chứng minh rằng:3

2

Câu 4 (2,5 điểm)

Cho tam giác ABC vuông tại A Lấy một điểm M bất kỳ trên cạnh AC Từ C

vẽ một đường thẳng vuông góc với tia BM, đường thẳng này cắt tia BM tại D, cắt

tia BA tại E

a) Chứng minh : EA EB ED EC.  .

b) Chứng minh rằng khi điểm M di chuyển trên cạnh AC thì tổng

c) Kẻ DH BC H BC  .Gọi ,P Q lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng

,

ĐÁP ÁN Câu 1.

a) Ta có:

a b c b c a c a b a b c b c a  c b c c a  

                   

b) Đặt a b x b c y c a z  ;   ;    x y z   0 z  x y 

Ta có:

Do , ,x y z là số nguyên có tổng bằng 0 và xyz 70  2 5 7   nên

Câu 2.

a) Ta có: x y 2  0 x2  y2 2xy 3 xy2xy xy1

Lại có: x y 2  0 x2  y2 2xy 3 xy2xy xy3

Suy ra 3 xy Mà 1. x y,  xy  3; 2 1;0;1  

Lần lượt thử ta được x y  ,    2;1 ; 1; 2 ; 2; 1 ; 1;2 ; 1;1            là nghiệm của phương trình

b) Đặt 6x  Ta có:7 t

t1 t 1t2 72 t2  1t2 72 t4 t2  72 0

2

2

2

9 0

3

x

t











Câu 3.

a) Ta có:

2 2

1

2 2 8100313 2 8100312,5 8100312,5

2

Vậy

1 8100312,5

2

P

Áp dụng BĐT

a b c  a b c  và

4

   

   với , ,a b c dương , dấu

bằng xảy ra  a b c 

Ta có:

Bởi vậy

P

                 

 

Câu 4.

I

Q P

H

E

D

B

A

C M

a) Chứng minh EBDECA g g   EB ED EA EB ED EC

b) Kẻ MI BC I BC   Ta có : BIM BDC g g 

BM BD BI BC

Tương tự: ACB ICM g g  CM CI CM CA CI BC (2)

Từ (1) và (2) suy ra BM BD CM CA BI BC CI BC BC BI CI        BC2

(Không đổi)

c) BHDDHC g g( )

2 2

Chứng minh được: DPBCQD g g   BDP DCQ 

Mà BDP PDC   900 DCQ PDC  900  CQPD