Giáo trình Toán ứng dụng A (Ngành/Nghề: Công nghệ thông tin – Trình độ: Cao đẳng) - Trường CĐ Kinh tế - Kỹ thuật Vinatex TP. HCM

(NB) Tài liệu giảng dạy “Toán ứng dụng A” được biên soạn dựa trên các giáo trình Toán cao cấp của Nguyễn Đình Trí dùng cho sinh viên các Trường đại học, cao đẳng (2007), Nhà xuất bản Giáo dục; Giải tích toán học của Ngô Thành Phong (2016), Nhà xuất bản Giáo dục. Tài liệu giảng dạy gồm có 4 chương, giúp cho sinh viên những kiến thức cơ bản về Cực trị hàm hai biến; tích phân kép; tích phân đường; giải phương trình vi phân cấp một, cấp hai và khảo sát sự hội tụ của chuỗi số.

TẬP ĐOÀN DỆT MAY VIỆT NAM TRƯỜNG CAO ĐẲNG CÔNG NGHỆ THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

GIÁO TRÌNH MÔN HỌC/MÔ ĐUN: TOÁN ỨNG DỤNG A NGÀNH/NGHỀ: CÔNG NGHỆ THÔNG TIN

TRÌNH ĐỘ: CAO ĐẲNG

Ban hành kèm theo Quyết định số: /QĐ- ngày ………tháng năm……

……… của ………

TP HCM, năm 2021

Tài liệu này thuộc loại sách giáo trình nên các nguồn thông tin có thể được phép dùng nguyên bản hoặc trích dùng cho các mục đích về đào tạo và tham khảo

Mọi mục đích khác mang tính lệch lạc hoặc sử dụng với mục đích kinh doanh thiếu lành mạnh sẽ bị nghiêm cấm

LỜI GIỚI THIỆU

Tài liệu giảng dạy “Toán Ứng dụng A” được biên soạn dựa trên các giáo

trình Toán cao cấp của Nguyễn Đình Trí dùng cho sinh viên các Trường đại học, cao

đẳng (2007), Nhà xuất bản Giáo dục; Giải tích toán học của Ngô Thành Phong (2016),

Nhà xuất bản Giáo dục

Tài liệu giảng dạy này được dùng làm tài liệu học tập cho sinh viên ngành Công nghệ thông tin, Quản trị mạng máy tính, và được trình bày theo đúng chương trình môn học đã xây dựng

Tài liệu giảng dạy này giúp cho sinh viên những kiến thức cơ bản về Cực trị hàm hai biến; tích phân kép; tích phân đường; giải phương trình vi phân cấp một, cấp hai và khảo sát sự hội tụ của chuỗi số

Tài liệu giảng dạy gồm 4 chương:

Chương I: H M M T I N - GI I H N V T NH I N T C - Đ O

H M V VI PH N - T CH PH N C H M M T I N Chương II: H M H I I N, T CH PH N P, T CH PH N Đ NG Chương III: PH NG TR NH VI PH N

Chương IV: CHU I

Trong quá trình biên soạn, mặc dù đã có nhiều cố gắng nhưng ko tránh khỏi những hạn chế và một số thiếu sót nhất định, nhóm tác giả rất mong nhận được ý kiến đóng góp của quý đọc giả để tài liệu giảng dạy này ngày càng hoàn thiện hơn

Xin chân thành cảm ơn

Tp HCM, ngày … tháng … năm 20…

Tham gia biên soạn

1 Nguyễn Minh Tuấn

2 ê Nguyễn ăng Châu

CHƯ NG I: HÀM MỘT BI N - GIỚI H N VÀ T NH LIÊN TỤC - Đ O

HÀM VÀ VI PH N - T CH PH N CỦA HÀM MỘT BI N 1

I.1 ĐỊNH NGHĨA HÀM SỐ 1

I Các khái niệm 1

I .2 Một số tính chất của hàm số 1

I .3 Hàm số hợp, hàm số ngược 1

I .4 Các số hàm sơ cấp cơ bản 2

I.2 GIỚI H N HÀM SỐ 2

I.2 Giới hạn của dãy số 2

I.2.2 Giới hạn của hàm số 2

I.2.3 Giới hạn một phía của hàm số 3

I.2.4 Giới hạn ở vô tận 3

I.2.5 Giới hạn bằng vô tận 3

I.3 HÀM SỐ LIÊN TỤC 4

I.3 hái niệm 4

I.3.2 Các tính chất của hàm số liên tục 4

I.3.3 Hàm gián đoạn 5

I.4 Đ O HÀM, VI PHÂN CỦA HÀM SỐ 5

I.4 Đạo hàm cấp một 5

I.4.2 Vi phân cấp một 9

I.4.3 Đạo hàm và vi phân cấp cao 9

I.5 PHÉP TÍNH TÍCH PHÂN 10

I.5.1 Tích phân bất định 10

I.5.2 Tích phân xác định 17

I.5.3 Ứng dụng của tích phân xác định 21

I.6 TÍCH PHÂN SUY RỘNG 23

I.6.1 Tích phân có cận ở vô tận 23

I.6.2 Tích phân của hàm không bị chặn 24

CHƯ NG II : HÀM HAI BI N, T CH PH N P, T CH PH N ĐƯỜNG 28 II.1 HÀM HAI BI N 28

II.1.1 Khái niệm hàm hai biến 28

II.1.2 Giới hạn, tính liên tục của hàm hai biến 28

II .3 Đạo hàm riêng và vi phân của hàm hai biến 29

II.2 TÍCH PHÂN KÉP 31

II.2.1 Bài toán thể tích hình trụ cong 31

II.2.2 Định nghĩa tích phân kép 32

II.2.3 Các tính chất của tích phân kép 32

II.2.4 Cách tính tích phân kép trong hệ trục tọa độ Đề - các 33

II.2.5 Cách tính tích phân kép trong hệ tọa độ cực 34

II.2.6 Ứng dụng của tích phân kép 34

II.3 T CH PH N ĐƯỜNG 36

II.3 Tích phân đường loại một 36

II.3.2 Tích phân đường loại hai 37

CHƯ NG III: PHƯ NG TRÌNH VI PH N 42

III.1 PHƯ NG TRÌNH VI PH N CẤP MỘT 42

III.1.1 Khái niệm 42

III .2 Các phương trình khuyết 42

III .3 Phương trình vi phân có biến phân li (phương trình tách biến) 44

III .4 Phương trình đẳng cấp 45

III .5 Phương trình tuyến tính cấp một 46

III .6 Phương trình ernoulli 46

III .7 Phương trình vi phân toàn ph n 47

III.2 PHƯ NG TRÌNH VI PH N CẤP HAI 47

III.2.1 Khái niệm 47

III.2.2 Các phương trình khuyết 48

III.2.3 Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai 50

III.2.4 Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai có hệ số hằng 51

CHƯ NG IV: CHU I 56

IV.1 Đ I CƯ NG VỀ CHU I SỐ 56

IV.2 CHU I SỐ DƯ NG 57

IV.2 Các định lí so sánh 58

IV.2.2 Các tiêu chuẩn hội tụ 58

IV.3 CHU I SỐ CÓ DẤU BẤT KÌ 60

IV.3.1 Chuỗi đan dấu 60

IV.3.2 Chuỗi có dấu bất kì, sự hội tụ tuyệt đối và bán hội tụ 60

IV.4 CHU I LŨY THỪA 61

IV.4.1 Khái niệm 61

IV.4.2 Khai triển một hàm sơ cấp theo chuỗi lũy thừa 63

T I IỆU TH M HẢO

Tên môn học/mô đun: Toán Ứng dụng A

Mã môn học/mô đun: MH 07

Thời gian thực hiện môn học: 60 giờ; ( ý thuyết: 30 giờ; ài tập: 27 giờ; iểm tra: 3

giờ)

I VỊ TR T NH CHẤT CỦA MÔN HỌC/MÔ ĐUN:

- Vị trí: Môn học toán ứng dụng được bố trí học vào năm nhất

- Tính chất: à môn học cơ bản bắt buộc cho các sinh viên thuộc các chuyên ngành

Quản trị mạng máy tính, Thiết kế đồ họa, Công nghệ thông tin

II MỤC TIÊU MÔN HỌC/MÔ ĐUN:

1 Về kiến thức:

- Nắm được các phương pháp tìm giới hạn của hàm số một biến số, các phương

pháp tính tích phân xác định, suy rộng và ứng dụng của nó trong thực tiễn

- Phát biểu được các khái niệm, định lý, tính chất cơ bản trong hàm nhiều biến, phương trình vi phân và chuỗi số

- iết được cách tìm cực trị hàm nhiều biến, tính tích phân bội, tích phân đường, tìm nghiệm phương trình vi phân và xét sự hội tụ của chuỗi số

2 Về kĩ năng:

- Vận dụng các phương pháp tính tích phân bội trong hệ tọa độ cực, phương pháp tính tích phân đường, phương pháp tìm nghiệm phương trình vi phân và các phương pháp xét sự hội tụ của chuỗi số

- iết được ứng dụng của cực trị trong các bài toán tối ưu, tích phân bội

trong việc tính thể tích và diện tích, tích phân đường trong việc xác định độ dài của một đường cong bất kỳ, phương trình vi phân trong các ngành cơ điện, chuỗi số trong các ngành kĩ thuật công nghệ

3 Về năng tự chủ và trách nhiệm:

R n luyện tính cẩn thận, chính xác, tự học, tự nghiên cứu, ham học hỏi

III NỘI DUNG MÔN HỌC/MÔ ĐUN:

1 Nội dung tổng quát và phân phối thời gian:

Bài tập iểm tra*

(LT hoặc TH)

2 Nội dung chi tiết:

- Vận dụng các công thức đạo hàm để tính cực trị của một hàm số và ứng dụng của

nó

- iết được cách tính nguyên hàm, tích phân và ứng dụng trong việc tìm diện tích

và thể tích của một hình trong mặt phẳng

2 Nội dung chương:

Giới hạn và tính liên tục của hàm số Thời gian: 6 giờ

Ánh xạ, giới hạn của dãy số

2 Giới hạn của hàm số

1.3 Hàm số liên tục

2 Đạo hàm của hàm số một biến số

2.2 Vi phân của hàm số một biến số

3 Tích phân của hàm một biến số Thời gian: 6 giờ

3 Nguyên hàm của hàm một biến số

3.2 Tích phân bất định của hàm số một biến số

3.3 Tích phân suy rộng của hàm một biến số

Chương 2: Hàm hai biến,tích phân kép,tích phân đường Thời gian: 17 giờ

1 Mục tiêu:

- Nắm được phương pháp tìm cực trị và các ứng dụng liên quan trong kinh tế,

khoa học kĩ thuật và công nghệ

- Nắm được các cách tính tích phân kép trong hệ tọa độ Oxy và cách tính trong hệ

tọa độ cực và ứng dụng của nó trong thực tế: tính khối lượng, diện tích và thể tích một

vật thể

- iết được cách tính tích phân đường và ứng dụng của nó trong việc tính độ dài

đường cong, trọng tâm của một dây cung bất kì

2 Nội dung chương:

hái niệm hàm hai biến

2 Giới hạn, tính liên tục của hàm 2 biến

3 Đạo hàm riêng ,vi phân của hàm 2 biến

4 Cực trị của hàm 2 biến

2.1 Bài toán dẫn đến khái niệm tích phân kép

2.2 Định nghĩa tích phân kép

2.3 Cách tính chất của tích phân kép

2.4 Cách tính tích phân kép trong hệ tọa độ Đề các

2.5 Cách tính tích phân kép trong hệ tọa độ cực

2.6 Ứng dụng của tích phân kép

3 Tích phân đường loại

3.2 Tích phân đường loại 2

Chương 3: Phương trình vi phân Thời gian: 17 giờ

2 Nội dung chương:

Phương trình vi phân cấp Thời gian: 10 giờ

- Nắm được cách xét sự hội tụ của chuỗi số

- Nắm được ứng dụng của chuỗi số trong khoa học kĩ thuật

2 Nội dung chương:

3 Chuỗi có số hạng với dấu bất kỳ Thời gian: 2 giờ

1

CHƯ NG I: HÀM MỘT BI N - GIỚI H N VÀ T NH LIÊN TỤC - Đ O

HÀM VÀ VI PH N - T CH PH N CỦA HÀM MỘT BI N I.1 ĐỊNH NGHĨA HÀM SỐ

I.1.1 Các khái niệm

Định nghĩa I.1.1: Cho hai tập hợp X và Y Quy luật f cho một ph n tử xX với một ph n tử y  Y gọi là ánh xạ từ tập X vào tập Y, ký hiệu f: X  Y, x gọi là tạo ảnh của y  Y, y gọi là ảnh của x  X Ta viết f: x y = f(x)

- Cho A  X, tập f( ) = {f(x) x  } gọi là ảnh của tập ( qua f )

- Cho B  Y, tập f–1(B) = { x  X  f(x)  } là nghịch ảnh của tập ( qua f )

- f: X  Y là một đơn ánh, nếu: f(x1) = f(x2)  x1 = x2

- f: X  Y là một toàn ánh, nếu: f(X) = Y

- f: X  Y là một song ánh, nếu f vừa đơn ánh vừa là toàn ánh

- Cho các ánh xạ f: X  Y, g: Y  Z Ánh xạ h: X  Z với h(x) = g[f(x)],

x X, gọi là tích của f và g, ký hiệu h = gof

- Cho song ánh f: X  Y, ánh xạ f –1: Y  X thỏa: nếu y = f(x) thì x = f–1(y) ; f

Định nghĩa I.1.2: Cho X  R, X  Ánh xạ f: X  R gọi là một hàm số (biến

số thực) Tập X gọi là miền xác định và tập Y = f(X) là miền giá trị của hàm số Ta viết: y = f(x)

Định nghĩa I.1.3: Cho hàm số y = f(x) Tập hợp điểm M(x,f(x)) (với mọi x thuộc

tập xác định X) trên mặt phẳng tọa độ gọi là đồ thị của hàm số y = f(x)

Định nghĩa I.1.4: Hàm số u : N  R gọi là một dãy số Ta thường ký hiệu dãy

số : u1, u2 , , un , hay {un} Các số u1, u2 , , un gọi là số hạng của dãy số Dãy số{un} có thể hữu hạn nếu hữu hạn số hạng và cũng có thể vô hạn nếu có vô hạn số hạng

3) Hàm số chẵn, hàm số lẻ: Hàm số f xác định trên miền đối xứng X gọi là hàm số

chẵn (lẻ) nếu với mọi x X: f(– x ) = f(x), (f(–x) = –f(x))

4) Hàm số tuần hoàn: Hàm số f tu n hoàn trên miền X nếu tồn tại số k  0, sao cho: f(x+k) = f(x), x X Số t  0 nhỏ nhất trong các số k gọi là chu kỳ của hàm

số

I.1.3 Hàm số hợp, hàm số ngược

Định nghĩa I.1.5: Cho X, Y là hai tập hợp con của R và các hàm số f: X  Y, g:

Y  R Ánh xạ tích: h = gof là hàm số hợp của hai hàm số f và g

2

- Cho song ánh f: X  R, ánh xạ ngược f của f gọi là hàm ngược của hàm f

I.1.4 Các số hàm sơ cấp cơ bản

1) Hàm số lũy thừa: y = x (  R )

2) Hàm số mũ: y = ax ( a  R, a  0, a  1 )

3) Hàm số logarith: y = logax ( a  R, a  0, a  1 )

4) Hàm số lượng giác: y = sinx, y = cosx, y = tgx, y = cotg x

5) Hàm số lượng giác ngược: y = arcsinx, y = arccosx, y = arctgx, y = arccotgx

I.2 GIỚI H N HÀM SỐ

I.2.1 Giới hạn của dãy số

Định nghĩa I.2.1: Số a gọi là giới hạn của dãy số {un} nếu   0,  N  0, sao cho n  N : un – a  ý hiệu: limun a



 , hay un a khi n 

- Nếu a là giới hạn của dãy số {un}, ta cũng nói {un} hội tụ về a

- Dãy số {un} d n đến vô tận, nếu 

Định I.2.5: Nếu {un} tăng và bị chặn trên ( giảm và bị chặn dưới) thì hội tụ

Định I.2.6: Nếu {un},{vn} hội tụ thì tổng, hiệu, tích, thương của chúng cũng hội

n n n n n

n n

n

n

ulimv

ulim

1

2 n

1 1 n

1 n

2

1

2 n

1 1 n

1

 > un , nên dãy số tăng Mặt khác: un =

n 2

1

2 n

1 1 n

n

1 n

1    = 1 Nên dãy số bị chặn trên Vậy nó hội tụ

I.2.2 Giới hạn của hàm số

Định nghĩa I.2.2: Số k gọi là giới hạn của hàm số f(x) khi x  a   > 0 cho trước,  >0 sao cho x – a<  thì f(x) – k<  í hiệu :

3

k)x(flim

x a

a x a

x a

) x ( g lim

) x ( f lim )

x ( g

) x (

f

lim

a x

a x a

lim

0



I.2.3 Giới hạn một phía của hàm số

Định nghĩa I.2.3: Số k gọi là giới hạn bên phải của f(x) khi x  a   > 0 cho trước,  > 0 sao cho x – a >  thì f(x) – k<  í hiệu : lim f ( x ) k

I.2.4 Giới hạn ở vô tận

Định nghĩa I.2.4: Số k gọi là giới hạn của f(x) khi x     > 0 cho trước,

M > 0 sao cho x> M thì f(x) – k<  í hiệu: lim f ( x ) k

I.2.5 Giới hạn bằng vô tận

Định nghĩa I.2.5: Hàm số f(x) có giới hạn bằng vô tận khi x  a (hoặc x   )

 M > 0,  >0 sao cho x> M thì f(x)  > M í hiệu:  

3x2lim

3 x 2 lim

x

1 1 x

x

3 2 x lim

4

Nên:

1 x

3 x 2

x

1 1 x x

3 2 x lim

x

1 1 x

3 2 lim

3 x

x

1 1 x x

3 2 x lim

x

1 1 x

3 2 lim

I.3.1 hái niệm

Định nghĩa I.3.1: Cho hàm số f(x) xác định trong một lân cận của điểm xo nếu:

)x(f

Định nghĩa I.3.2: Hàm số f(x) liên tục trong khoảng (a ; b) nếu nó liên tục tại mọi

điểm thuộc khoảng đó

- Hàm số f(x) liên tục trong đoạn [a ; b] nếu nó liên tục tại mọi điểm thuộc khoảng (a ; b) và (x) liên tục phải tại a, f(x) liên tục trái tại b

Chú ý : Cho hàm số f(x) xác định trong một lân cận V(xo) của điểm xo, với mọi x thuộc V(xo), (x  xo) Đặt: x = x – xo, y = f(x) – f(xo), x và y l n lượt được gọi là số gia của biến x và số gia của f(x) tại xo

Định nghĩa I.3.3: Hàm số f(x) liên tục tại điểm xo lim y 0

1

) 0

x ( x

x cos 1

2

tại điểm x = 0

0 x 0

x cos 1 lim ) x ( f

2

1 = f(0) Vậy f(x) liên tục tại điểm x = 0

I.3.2 Các tính chất của hàm số liên tục

Định I.3.1: Nếu các hàm số f(x), g(x) cùng liên tục tại xo thì tổng, hiệu, tích, thương ( g(xo)  0 ) của chúng cũng liên tục tại x0

Định I.3.2: Nếu hàm số f(x) liên tục tại xo và tương ứng hàm g(u) liên tục tại điểm uo = g(xo) thì hàm hợp gof cũng liên tục tại xo

5

Định I.3.3 (Định Weiest’rass 1): Hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a ; b] thì bị

chặn trên đoạn đó

Định I.3.4 (Định Weiest’rass 2): Hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a ; b] thì

f(x) đạt đến giá trị lớn nhất và bé nhất trên đoạn đó

Định I.3.5 (Định Bonzano – Cauchy 1): Hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a;b]

và f(a).f(b) < 0 thì tồn tại c  (a ;b) để f(c) = 0

Định I.3.6 (Định Bonzano – Cauchy 2): Hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a;b]

thì f(x) nhận mọi giá trị trung gian giữa f(a) và f(b)

Ví dụ: Chứng minh phương trình: x5

+ 3x – = 0 luôn có ít nhất một nghiệm dương

Giải: Đặt f(x) = x5

+ 3x – thì f(x) liên tục trên tập số thực R, ta có: f(0) = – 1,

f( ) = 3 nên f(0).f( ) < 0, vậy phương trình có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng (0; 1)

I.3.3 Hàm gián đoạn

Định nghĩa I.3.4: Hàm số f(x) gọi là gián đoạn tại điểm xo nếu nó không liên tục tại điểm đó

Chú ý: Điểm xogọi là điểm gián đoạn loại 1 nếu f(x) gián đoạn tại điểm đó nhưng tồn tại lim ( x )

là điểm gián đoạn bỏ được của f(x)

- Điểm xogọi là điểm gián đoạn loại 2 nếu nó là điểm gián đoạn của f(x) nhưng không là gián đoạn loại 1

) 0

x ( x

x sin

điểm xo = 0 là điểm gián đoạn bỏ được vì

x

x sin lim

có giới hạn hữu hạn khi x  0 thì giới hạn đó gọi là đạo hàm cấp

1 của hàm số f(x) tại xo Kí hiệu: f(xo) hay y(xo)

Vậy:

x

y lim )

6

- Hàm số f(x) gọi là khả vi trong tập U  R, nếu nó khả vi tại mọi điểm xo U

Lưu ý : - Nếu tồn tại

x

ylim

Định I.4.1: Nếu f(x) khả vi tại điểm xo thì liên tục tại điểm đó

Lưu ý : - Định lí trên chỉ là một điều kiện c n, điều ngược lại chưa chắc đã đúng

Chẳng hạn hàm số f(x) = x liên tục tại điểm x = 0 nhưng không có đạo hàm tại điểm x = 0 ( tự chứng minh )

- Nếu y = y(u) và u = u(x) thì: yx = yu ux

Bảng đạo hàm của các hàm sơ cấp

C = 0

(x) =  x - 1 (  R) (u) =  u - 1 u ( R)

(ax) = ax.lna (a  R, a > 0, a  1 ) (au) = au.lna u (a  R, a > 0, a  1 ) (ex) = ex (eu) = eu u

aln.x

1x

loga   (a  R, a > 0, a  1 )  

aln.u

'uu

ln  

(sinx) = cosx (sinu) = cosu u

(cosx) = – sinx (cosu) = – sinu u

 

xcos

1

ucos

'utgu   2

7

xsin

1gx



usin

'ugu

1)

x(arccosx

'u)

u(arccosu

1)

gxcotarc(arctgx

'u)

gucotarc(arctgu

)1x()2x(x2'

y

2 2

2) Ta có: y'2sincos(2x1) .coscos(2x1).2sin(2x1)

= – 2 sin 2[cos(2x + 1)].sin(2x + 1)

Tính chất của đạo hàm

Định I.4.2 (Định Ro e): Nếu f(x) liên tục trong đoạn [a ; b], khả vi trong

khoảng (a ; b) và f(a) = f(b) thì tồn tại c  (a ; b) sao cho f(c) = 0

Định I.4.2 (Định agrange): Nếu f(x) liên tục trong đoạn [a ; b], khả vi

trong khoảng (a ; b) thì tồn tại c  (a ; b) sao cho :

ab

)a(f)b(f)c('f





Định I.4.3 (Định auch ): Nếu các hàm số f(x) và g(x) đều liên tục trong

đoạn [a ; b], khả vi trong khoảng (a ; b) và g(x)  0 thì tồn tại c  (a ; b) sao cho :

)a(g)b(g

)a(f)b(f)c('g

)c('f

)x('flim)

x(g

)x(flim

c x c

x Nếu trong lân cận của điểm c tồn tại f(x), g(x) (g(x)  0) thì:

)x('g

)x('flim)x(g

)x(flim

c x c

xsinx

x6

xsinlim

0

6

xcoslim

0

61

2) Ta có: 2

xlnlim



x 2x

1lim



 = 0

Cực trị của hàm số

Định nghĩa I.4.2: Cho hàm số f(x) xác định và liên tục trong khoảng (a;b) Ta nói

rằng f(x) nhận giá trị cực đại (giá trị cực tiểu) tại điểm x0  (a;b) nếu tồn tại một lân cận của x0 bán kính , sao cho với mọi x thuộc lân cận đó, ta có:

f(x) < f(x0) (f(x) > f(x0)), (x  x0)

- Điểm x0 gọi là điểm cực trị (c c đại hay c c ti u tương ứng)

Định I.4.4: Nếu f(x) có đạo hàm tại điểm x0 và đạt cực trị tại x0 thì f(x0) = 0

Lưu : Điều kiện f(x0) = 0 chỉ là một điều kiện c n của điều kiện cực trị

Ví dụ: Hàm số f(x) = x2 có f(0) = 0 và đạt cực trị tại x = 0; hàm số f(x) = x3 có

f(0) = 0 nhưng không đạt cực trị tại x = 0 (tự chứng minh)

Định I.4.5: Nếu f(x) có đạo hàm trong một lân cận của x0 bán kính  và f(x) đổi dấu khi x đi qua điểm x0, thì x0 là điểm cực trị của f(x) (f(x) đ i dấu từ dương sang m th x 0 là đi m c c đại, f(x) đ i dấu từ m sang dương th x 0 là đi m c c

ti u)

Lưu : Điều kiện trên không nhất thiết f(x) phải có đạo hàm tại x0, miễn rằng f(x) vẫn xác định tại x0

9

Ví dụ: Tìm cực trị của hàm số  3 2

x12x

y 

Giải: Hàm số có tập xác định R Ta có:  

3

x 3.

1 5x 2

3 CD

5 5.

x('f

0 x o

y = f(xo) x + (x), trong đó (x) là một vô cùng bé bậc cao hơn x

Định nghĩa I.4.3: Ta gọi biểu thức f(xo) x là vi phân cấp 1 của hàm số f(x) tại điểm xo , kí hiệu: dy

- Với y = x thì dy = dx = x Nên ta có: dy = f(x)dx

Định I.4.6: Nếu các hàm số u(x), v(x) cùng có vi phân tại xo, thì tại đó ta có:

d(u  v) = du  dv, d(u v) = vdu + udv, 2

v

udvvdu

Định I.4.7: Cho hàm số f(x), nếu x là biến độc lập hay là một hàm của biến

khác thì vi phân của nó đều có dạng: dy = f(x)dx ( tính bất biến của vi phân )

I.4.3 Đạo hàm và vi phân cấp cao

Đạo hàm cấp cao

Định nghĩa I.4.4: Giả sử hàm số f(x) khả vi tại điểm x, khi đó f(x) cũng là một hàm số của biến x Giả sử f(x) cũng khả vi tại điểm x, khi đó [f(x)] gọi là đạo hàm cấp hai của hàm f(x), kí hiệu: f(x)

Tiếp tục như vậy ta có định nghĩa:

Định nghĩa I.4.5: Giả sử hàm số f(x) khả vi đến cấp n tại điểm x, đạo hàm của đạo

hàm cấp n – 1 của f(x) gọi là đạo hàm cấp n của f(x), kí hiệu: f(n)(x):

f(n)(x) = [f(n – 1)(x)]

Ví dụ:

1) Cho f(x) = x3, tính f(x)

Ta có: f(x) = 3x2 , f(x) = 6x

x(f)x(

Định nghĩa I.5.1: Cho hai hàm số F(x), f(x) cùng xác định trong khoảng (a; b)

Hàm số F(x) gọi là một nguyên hàm của f(x) nếu F(x) = f(x), x  (a; b)

- F(x) gọi là nguyên hàm của f(x) trên đoạn [a; b] nếu F(x) = f(x), x  (a; b) và

F(a+) = f(a), F(b–) = f(b)

Định I.5.1: Nếu hàm số f(x) có các nguyên hàm là F(x) và G(x) thì :

G(x) = F(x) + C , ( C = const)

Định nghĩa I.5.2: Nếu F(x) là một nguyên hàm của f(x) thì F(x) + C gọi là tích

phân bất định của hàm số f(x), kí hiệu: f(x)dx

Vậy: f(x)dx = F(x) + C , trong đó : F(x) = f(x), ( C = const)

Kí hiệu  là dấu tích phân, f(x)dx là biểu thức dưới dấu tích phân

Ví dụ:

11

4

xdx

4dxe3x4cos2

ax

xcos

1

xsin

1

12

2

x1

Phương pháp đổi biến số

Cho hàm số f(x) xác định trong khoảng (a; b) và x = (t) có đạo hàm xác định trong khoảng (; ) với: a = (), b = () và khi a < x < b thì  < t <  Ta có:

1Carctgta

1t1

dta

1xa

t

dt t dxx1x

I

3 2 3

Ví dụ: Tính:

1) Ix3lnxdx

2) Iex cosxdx

dxdu

4

16

x lnx 4

x

dx x4

1 lnx 4

x xdxlnx

I

4 4

3

4 3

dxe

dxe

du x

Vậy: I1exsinxdx excosxexcosxdx excosxI

Vậy: IexsinxI1 exsinxexcosxI

hay: 2I = ex(sinx + cosx) + 2C  C

2

)xcosx(sineI

)x(P

I , trong đó P(x), Q(x) là các hàm đa thức

- Nếu: bậc P(x)  bậc Q(x), ta biến đổi:

)x(Q

)x(R)x(S)

)x(P thành tổng của các phân thức dạng  m

ax

A

 hoặc  2 m

qpxx

14

hi đó:  dx

)x(Q

)x(P

được chuyển thành tổng của các tích phân dạng:   dx

)ax(

A

m

hay    dx

)qpx

A

m

- Nếu m = 1: dx Alnx a C

ax

Adx

a)(x

A

1 m

(

N

M x

m 2

- Nếu m = 1: gọi   

qpxx

dx

2

pq42

px

q4

21

t

dxp

px2arctgp

q4

2I

2 2

dx2

M pNdxqpxx

px22

Mdxqpxx

px2arctgp

q4

MpN2)qpxx

pq

4   , ta đưa Jm về

dạng: m  2  2 m

)αt(

dt

J , Jm được tính theo công thức truy chứng:

m 2 m

2 2 2 1

2mα

12m)

α(t2mα

2 m

2

m

qpxx

dx2

MpNdxqpxx

px22

Mdxqpxx

NMx

I

15

m 1

m 2

2

MpN)

qpxx

3x5

2)   dx

1x

dx2

dx5x2x

2x22

5I

2

1xarctg)

5x2xln(

1xlndx1x

21

x

11x

2 Tích phân các hàm số ượng giác

Với tích phân: IR(sinx,cosx)dx

Có thể đặt:

2

xtg

t1

dt2dx



t1

t2xsin



t1

t1xcos







hi đó ta đưa về tích phân một hàm hữu tỉ

Lưu ý : Trong một số trường hợp đặc biệt, ta có thể dùng các phép thế khác để dẫn

đến một kết quả nhanh hơn

Ví dụ: Tính:

1) Isin3xcos2xdx

xcos

xsin

2

3)  

xcos4

5

dxI

Giải:

1) Ta có : Isinx(1cos2x)cos2xdx (cos2xcos4x)sinxdx

Đặt: t = cosx  dt = – sinxdx

C3

cos 5

xcos C3

t 5

t dt)t

t

(

I

3 5

3 5

2

16

2) Ta có : 

xcos

dxxtg

I 2 2 Đặt : t = tgx 

xcos

dx

dt 2

C 3

xtg C3

t

t1

dt2dx



t1

t2xsin



t1

t1xcos







C3

2

xtgarctg3

1C3

tarctg3

1t

bax

bt.d

hi đó ta đưa tích phân (I.5.7) về tích phân một hàm hữu tỉ

- Với tích phân dạng: Ixm(axn b)pdx, (m,n,p  Q) (I.5.8)

Người ta chứng minh được nếu một trong ba số: p,





là các số nguyên thì có thể hữu tỉ hóa biểu thức trong (I.5.8)

- Khi p nguyên có thể đưa (I.5.8) về dạng (I.5.7) bằng cách đặt: q

- Với tích phân dạng: IRx, ax2 bxcdx (I.5.9)

+ Nếu ax2 + bx + c = 0 có 2 nghiệm thực  và  Ta viết:

ax2 , ta đưa (I.5.9) về dạng (I.5.7)

dxx

I

5x2x

dxI

2

Giải:

1) Đặt: t  x1  x = t2 – 1  dx = 2tdt

C11x

11

x ln C1

t

1

t ln

, đặt: t2

= 1 – x2  tdt = – xdx

x1

x2Ct

1tdtt1dt

1t

t5x

5t2t

Khái niệm và định nghĩa

Bài toán diện tích hình thang cong

- Cho hình thang cong aABb giới hạn bởi:

a  x  b ; 0  y  f(x)

với hàm số f(x) liên tục, f(x)  0 trên [a ;b]

- Chia đoạn [a ;b] thành n đoạn nhỏ bởi các

18

- Có thể xem diện tích hình thang cong xk–1MN xk g n bằng diện tích hình chữ nhật

xk–1PQ xk là f(k).( xk – xk–1 ), nhất là khi khoảng cách xk – xk–1 rất bé Một cách tự nhiên ta xem tổng :

1 k k

k)(x x )(

là giá trị g n đúng của diện tích hình thang cong aABb

- Gọi d = max[xk–1;xk],( k = 0,1,2, ,n) thì khi d  0, nếu tổng (I.5.10) có giới hạn hữu hạn thì giới hạn đó gọi là diện tích hình thang cong aABb Ta có:

1 k k k 0

d f( )(x x )lim

Trong thực tế có nhiều bài toán dẫn tới tính giới hạn (I.5.11) Loại giới hạn đó gọi

là tích phân xác định của f(x) trên [a ;b] lấy từ a đến b

Định nghĩa tích phân xác định

Cho hàm số f(x) xác định trên đoạn [a ; b]

- Chia đoạn [a ; b] thành n đoạn nhỏ bởi các điểm: a = xo < x1 < < xn = b

Mỗi phép chia như vậy gọi là một phép phân hoạch  của đoạn [a ; b]

- Trên mỗi đoạn con [xk–1;xk], lấy điểm k bất kì và lập tổng:

1 k k

k)(x x )(

tổng (I.5.12) gọi là tổng tích phân của hàm số f(x) ứng với phép phân hoạch 

- Gọi d = max[xk–1;xk],( k = 0,1,2, ,n), ta nói  I khi d 0 nếu:  > 0, 

> 0, sao cho với mọi phép phân hoạch  mà d <  và mọi cách chọn điểm k trên mỗi đoạn con [xk–1; xk], ta đều có   – I < 

Định nghĩa I.5.3: Nếu tồn tại giới hạn (hữu hạn) :

1 k k k 0

khi đó hàm số f(x) gọi là khả tích trên đoạn [a ; b], trong đó a, b gọi là các cận của tích phân xác định, a là cận dưới, b là cận trên

19

Chú ý : Nếu hàm f khả tích trên [a ; b] thì: b

a

dx)x(

f b

a

dt)t(

f

Tính chất của tích phân xác định

Định I.5.2: ( Tiêu chuẩn khả tích )

- Nếu hàm f(x) khả tích trên [a ; b] thì nó bị chặn trên đoạn đó

- Nếu hàm f(x) liên tục trên [a ; b] thì khả tích trên đoạn đó

Định lí dưới đây cho ta một lớp hàm khả tích rộng hơn :

Định I.5.3: Nếu hàm f(x) bị chặn trên [a ; b], chỉ có một số hữu hạn điểm gián

đoạn trên đoạn đó thì khả tích trên [a ; b]

iv Tính chất 4 : - Nếu f(x) khả tích trên [a ; b] và k  R thì:

vi Tính chất 6 : - Nếu f(x) khả tích trên [a ; b] và m  f(x)  M,x  [a ; b] thì:

a)-(bM dx)x(f)ab(m

F , thì F(x) là hàm số khả vi tại mọi điểm x và F(x) = f(x), hay F(x)

là một nguyên hàm của f(x) trên đoạn [a ; b]

Định I.5.5: ( công thức Newton – Leibnitz )

- Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a ; b] và F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên đoạn đó, ta có:

)a(F)b(FF(x) dx)x(

a b

1x3x

1

2 2

1

2 3

x

1xln32

xdxx

1x

3xdx

x

1x3x

12

12ln32

Phương pháp đổi biến số

Cho hàm số f(x) xác định trong đoạn [a; b] và x = (t) có đạo hàm xác định trong đoạn [; ] với: a = (), b = () và khi x  [a ; b] thì t  [; ] Ta có:

 (t) '(t)dtf

dx)x(f

dxxa

0

2 2

2

0

2 2 2

dt)t2cos1(2

atdtcosa

tdtcosa.tsinaaI

21

4

a t2sin2

1t2

f trong đó f(x) = u(x).v(x), các hàm số u(x), v(x) cùng các đạo hàm của nó khả tích trong đoạn [a ; b] Ta có:

a

b a b

a

vduv

.uudv

dxdu

Vậy: I  x.e e dx e e 1 1

0 x 1

0

x 1

Ví dụ: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi : y = x2 – 2x + 2, y = 2x – 1

2x3

xdx

22xx

12x

S

3

1 2

3 3

là hàm liên tục trên đoạn [a ; b] trong đó a, b được xác định bởi cao độ của các mặt

phẳng song song với mặt phẳng Oxy và (U) giới hạn giữa hai mặt phẳng đó, ta có:

Nhận xét : - Nếu (U) là khối tròn xoay tạo nên

bởi phép quay quanh trục Ox hình thang cong

f

V

Ví dụ: Tính thể tích khối tròn xoay sinh bởi

hình thang cong (H) giới hạn bởi: y = sinx, y = 0, x = 0, x =

2sin2

1x2dx)x2cos1(2xdxsinV

2 2 0

Độ dài cung đường cong phẳng

Giả sử MN là cung đường cong của đồ thị hàm số y = f(x) với M[a ; f(a)] và N[b ; f(b)], ( a < b ), gọi l là độ dài của cung MN, ta có:

- Nếu đường cong cho bởi phương trình tham số :

x =  (t) , y = (t) ; với  t , trong đó  (t),

(t) có đạo hàm liên tục theo biến t  [ ; ]

Với M[ () ; ()], N[ () ; ()], độ dài cung MN là:

dt)x(')

t('l

Ví dụ: Tính độ dài cung Xycloit cho bởi:

x = a(t – sint) , y = a(1 – cost) ; ( 0  t  2 )

Giải: Ta có : xt = a(1 – cost), yt = asint

dt2

tsina2dttcos22adttsina)tcos1(al

a82

tcosa4

23

Diện tích xung quanh của khối tròn xoay

Cho khối tròn xoay sinh bởi hình thang cong (H) giới hạn bởi:

a  x  b, 0  y  f(x), với f(x) liên tục trong đoạn [a ; b]

Diện tích xung quanh của khối tròn xoay trên là :

Ví dụ: Tính diện tích mặt cong sinh bởi đường Astroit :

x = acos3t, y = asin3t với 0  t  và a > 0

Giải: Ta có: xt = – 3acos2tsint, yt = 3asin2tcost

0

4 2 0

2 4

2 4 2 3

tdtcostsina6dt)tcostsintsint(cosa9tsina2

S

5

a12t

sina5

I.6 TÍCH PHÂN SUY RỘNG

I.6.1 Tích phân có cận ở vô tận

Định nghĩa I.6.1: Cho hàm số f(x) xác định trong [a ; +), khả tích trong mọi đoạn hữu hạn [a ; ] Tích phân suy rộng của f(x) trên [a ; +) được xác định:

dx)x(flimdx

)x(

Nếu giới hạn trên tồn tại hữu hạn, ta nói 

a

dx)x(

f hội tụ, ngược lại ta nói nó phân

)x

)x(f

- Các tính chất của tích phân suy rộng cũng như tích phân hàm số f(x) trên [a ; b]

24

I.6.2 Tích phân của hàm không bị chặn

Định nghĩa I.6.2: Cho hàm số f(x) xác định trong [a ; b) nhưng không bị chặn tại b

và khả tích trong mọi đoạn [a ; ], ( a <  < b) Ta có:



   

a b b

a

dx)x(flimdx

)x(

Nếu giới hạn trên tồn tại hữu hạn, ta nói b

a

dx)x(

f hội tụ, ngược lại ta nói nó phân

a

dx)x(flimdx

)x

)x(f

a b b

limx

1

dxlim

xarcsinlim

x1

dxlim

I

1 0 1

1n

1nn

43lim

3.2

12

2

)1x)(

0 x





8x

x4lim 3

2 2

1

lim 

1x

xπsinlim

1

1 x

1

)8

x ( 8

x

4xx)

)0

x ( x

xsin)

x cosx

2

π x 2 B Asinx

2

π

x 2sinx -

x)

x

)xacos(

)xacos(

)x(

26

6 Tính đạo hàm và vi phân cấp một của các hàm số sau:

1)

xcos

1

xsin

axarctg

3x5

x

xtgx

bx ax 0 x

1lim

0

2 x

)x(sinlim

)0(fa

) k (

3x2



dx1xx

1x

2 2

xsinxcos

xsin

xcos

1

dxx

xln1

x

1 3

12 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường:

27

1) y = – x2, y = – x – 2 2) y2 = x, y = x – 2

13 Tính thể tích các vật thể tròn xoay sinh bởi các hình phẳng:

1) (H): 0  y  2x – x2 quay quanh trục Ox

2) (H) giới hạn bởi các đường: y = x, x= 0, x 2y quay quanh trục Oy

14 Tính độ dài cung của các đường sau đây:

1) y2 = 2px, ( p > 0 ) , 0  x  xo

2) (L) : x = etsint, y = etcost ; 0  t 

4



15 Tính diện tích mặt nhận được bởi phép quay Xicloit:

x = a(t – sint), y = a(1 – cost), 0  t  2 quay quanh trục Ox

28

CHƯ NG II : HÀM HAI BI N, T CH PH N P, T CH PH N ĐƯỜNG

II.1 HÀM HAI BI N

II.1.1 Khái niệm hàm hai biến

Định nghĩa II.1.1: Xét tích Descarter R2

và D  R2 Ánh xạ f: D  R là một hàm

hai biến xác định trên D Tập D gọi là miền xác định của hàm f, cặp số thực có thứ

tự (x,y)  D gọi là các biến độc lập của hàm f

- Ta thường viết hàm hai biến dưới dạng: z = f(x,y)

- Cặp số thực có thứ tự (x,y) có thể xem là tọa độ của một điểm M trong mặt phẳng, nên ta có thể xem hàm hai biến f(x,y) như một hàm điểm z = f(M) với M(x; y)  D

Định nghĩa II.1.2: Ta gọi tập điểm P(x,y,z) trong không gian Oxyz, trong đó z

= f(x,y) là đồ thị của hàm số z = f(x,y) Đồ thị của hàm hai biến là một mặt cong trong không gian

Định nghĩa II.1.3: Xét tích Descarter Rn

và D  Rn Ánh xạ f: D  R là một hàm

n biến xác định trên D

Vậy một hàm n biến là một phép tương ứng cho ứng mỗi bộ n số thực có thứ tự (x1, x2, , xn)  D với một số thực xác định là f(x1, x2, , xn)

II.1.2 Giới hạn, tính liên tục của hàm hai biến

Định nghĩa II.1.4: Ta nói dãy điểm {Mn(xn,yn)} d n tới điểm Mo(xo,yo) nếu:

Định nghĩa II.1.5: Giả sử hàm z = f(x,y) xác định trong một lân cận của điểm

Mo(xo,yo) Ta nói rằng số A là giới hạn của hàm f(x,y) khi điểm M(x,y) d n tới điểm Mo(xo,yo) nếu với mọi dãy điểm {Mn(xn,yn)} d n tới điểm Mo(xo,yo) ta có:

A)y

y y x



 ( , )lim

Chú thích : - Tương tụ như đối với hàm một biến, ta có thể định nghĩa các giới hạn

o o

y y x

y

- Cũng như hàm một biến, ta có định nghĩa sau về giới hạn của hàm hai biến:

1) - y xy(x

1yx

xylim)

1yx)(

1yx(

)1yx(xylim

1yxy2x

1)-yxy(xlim

2 y 1 x 2

y 1 x 2

2 2 y 1

Định nghĩa II.1.7: Xét hàm z = f(x,y) = f(M) xác định trong miền D chứa điểm

Mo(xo,yo) Hàm f(x,y) gọi là liên tục tại Mo nếu:

)y,x(f)y,x(f

y y x x

o o

II.1.3 Đạo hàm riêng và vi phân của hàm hai biến

Đạo hàm riêng và vi phân cấp một

Định nghĩa II.1.7: Xét hàm z = f(x,y) xác định trong miền D chứa điểm

Mo(xo,yo) Cho x biến thiên và cố định y = yo, ta được hàm một biến f(x,yo) Nếu hàm f(x,yo) có đạo hàm theo x tại x = xo thì ta gọi đạo hàm đó là đạo hàm riêng của hàm z đối với biến x tại Mo(xo,yo) và kí hiệu:

- Đặt xz = f(xo + x, yo) – f(xo,yo) : gọi là số gia riêng của f(x,y) theo x tại điểm (xo,yo) Ta có:

x

zlimx

o o