Sở Giáo dục và Đào tạo kiên giang Đề thi chọn học sinh giỏi lớp 9 THCS năm học 2011-2012 Môn: Toán Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Cõu 1(4): Gii cỏc h phng trỡnh sau: a) 7 2 5 2 1 x y x y x y x y b) ( 1) ( 1) 2 1 1 x y y x xy x y y x xy Cõu 2(3): Gi s x, y, z l nhng s dng thay i tha món iu kin x + y + z = 1. Hóy tỡm giỏ tr ln nht ca biu thc 1 1 1 x y z P x y z Cõu 3(3): Cho a, b, c > 0 v tha món iu kin 1 1 1 2 1 1 1 a b c Chng minh rng: 1 8 abc . Cõu 4(4 ): Cho ng trũn tõm O, hai tip tuyn MA v MB (A, B l tip im), C l mt im trờn ng trũn tõm M bỏn kớnh MA v nm trong ng trũn (O). Cỏc tia AC v BC ct ng trũn (O) ln lt ti P v Q. Chng minh rng PQ l ng kớnh ca ng trũn (O). Cõu 5(4): Cho tam giỏc ABC ni tip ng trũn (O) v d l tip tuyn ca (O) ti C. Gi AH, BI l cỏc ng cao ca tam giỏc. a) Chng minh HI // d. b) Gi MN v EF ln lt l hỡnh chiu ca cỏc on thng AH v BI lờn ng thng d. chng minh rng MN = EF Cõu 6(2): Chng minh rng tớch ca mt s chớnh phng v mt s ng trc nú chia ht cho 12 Hết ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM Câu Đáp án Thang điểm a) 7 2 5(1) 2 1(2) x y x y x y x y              Đặt u = 7 x y  , v = 2 x y  ( 0, 0 u v   ) Ta có 5 (*) 1 u v v x y         Do u 2 – v 2 = (7x + y) – (2x+y) = 5x Mà u + v = 5 nên u – v = x Do đó u = 5 2 x  , v = 5 2 x  Từ phương trình thứ hai của (*) ta được y = v + x – 1 = 5 3 1 2 2 x x x      Thay y = 3 2 x  vào phương trình (2) ta được 1 2 3 3 2 1 2 2 1 5 3 5 19 2 2 x x x x x x x x                 Với x = 1 ta được y = 2; x = 19 ta được y = 11 Thử lại hệ phương trình ta được hệ có một nghiệm là (1;2) 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0,25 1 b) ( 1) ( 1) 2 (1) 1 1 (2) x y y x xy x y y x xy              Điều kiện 1, 1 x y   Xét phương trình (2) áp dụng bất đảng thức Cô Si ta có: ( 1 1) 1 ( 1).1 2 2 x y xy x y x y        (3) ( 1 1) 1 ( 1).1 2 2 y x xy y x y x        (4) 0.25 0.5 0.5 Vậy 1 1 x y y x xy     Dấu “=” xảy ra 1 1 1 1 y x         2 x y    Ta thấy x = y =2 củng thỏa mãn phương trình (1) Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất là (2;2) 0.25 0.25 0.25 2 Ta có 1 1 1 (1 ) (1 ) (1 ) 1 1 1 P x y z          1 1 1 3 ( ) 1 1 1 P x y z        Mặt khác, với x, y, z > 0, theo bất đẳng thức Cô Si ta có 3 x y z xyz    , 1 1 1 3 x y z xyz    1 1 1 3 ( )( ) 3 . 9 x y z xyz x y z xyz        Dấu = xảy ra khi x = y = z. Ta có 1 1 1 9 1 1 1 ( 1) ( 1) ( 1) x y z x y z            1 1 1 9 1 1 1 4 x y z        Vậy 9 3 3 4 4 P    1 1 1 3 1 1 4 3 x y z P x y z x y z                  Vậy P đạt giá trị lớn nhất là 3 4 P  tại 1 3 x y z    0.25 0.5 0.25 0.25 0.5 0.25 0.25 0.5 0.25 3 Ta có: 1 1 1 (1 ) (1 ) 1 1 1 a b c        1 2 1 1 1 (1 )(1 ) b c bc a b c b c          Vậy 1 2 1 (1 )(1 ) bc a b c     Tương tự: 1 2 1 (1 )(1 ) ac b a c     1 2 1 (1 )(1 ) ab c a b     Nhân ba bất đẳng thức trên ta được: 0.5 0.5 0.5 0.25 0.25 0.5 1 8 (1 )(1 )(1 ) (1 )(1 )(1 ) abc a b c a b c        8 1 abc   0.5 C P Q O M B A 0.5 4 Để chứng minh PQ là đường kính của đường tròn (O), ta cần chứng minh ba điểm P, Q, O thẳng hàng. Trong đường tròn tâm M ta có: · · 2 AMC ABC  (góc ở tâm chắn cung AC) Trong đường tròn tâm O ta có: · · 2 AOQ ABQ  (góc ở tâm chắn cung AQ) Suy ra · · AMC AOQ  (1) Chứng minh tương tự ta có · · BMC BOP  (2) Tứ giác MAOB có µ µ 0 90 A B  · · 0 180 AMB AOB   (3) Từ (1), (2), và (3) suy ra: · · · · POQ POB BOA AOQ    · · · ( ) BMC AMC BOA    · · 0 180 AMB AOB   Suy ra P, Q, O thẳng hàng. Vậy PQ là đường kính của đường tròn (O) 0.25 0.5 0.5 0.25 0.5 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 x d M F N E A I H C B 0.5 a) Chứng minh HI // d Gọi Cx là tiếp tuyến chắn cung AC Tứ giác ABHI nội tiếp nên · · ABC HIC  (Cùng bù với góc · HIA ) Mà · · ABC ACx  (cùng chắn cung AC) · · // HIC ICx HI d    0.25 0.5 0.25 0.5 5 b) Chứng minh MN = EF d // HI IF=HN  AMCH nội tiếp · · HMN HAC   BICE nội tiếp · · IEF IBC   Mà · · HAC BIC  nên · · HMN IEF HMN IEF      EF MN   0.5 0.25 0.25 0.5 0.5 6 Số chính phương là n 2 (n Î Z) số đứng trước nó là n 2 -1 Ta có (n 2 -1)n 2 =(n+1)(n-1)n 2 = (n-1)n.n(n+1) Tích này có 3 số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 3 Mặt khác (n-1)n là hai số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 2 Và n (n+1) chia hết cho 2 Nên (n-1)n.n(n+1) chia hết cho 4 Mà (3;4) = 1 nên (n-1)n.n(n+1) chia hết cho 12 Vậy (n 2 -1)n 2 chia hết cho 12 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 . tạo kiên giang Đề thi chọn học sinh giỏi lớp 9 THCS năm học 201 1-2 012 Môn: Toán Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Cõu 1(4):. trước nó là n 2 -1 Ta có (n 2 -1 )n 2 =(n+1)(n-1)n 2 = (n-1)n.n(n+1) Tích này có 3 số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 3 Mặt khác (n-1)n là hai số nguyên